1.4 用一元二次方程解决问题 第2课时（课件） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决增长率类和运动类问题，通过回顾上节课几何图形面积问题的解题步骤（审题—设元—列方程—解方程—检验—作答）导入，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如例1通过4个问题拆解降价百分率问题，变式拓展总结出a(1±x)^n=b的通用模型，运动类问题结合几何直观分析（如直角三角形勾股定理），课堂练习融入红色教育基地参观人数等实际情境。体现数学眼光（抽象能力、几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），帮助学生提升解决实际问题的能力，为教师提供结构化的教学流程与丰富例题资源。

授课老师： 授课时间：202X.X 第1章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题 第2课时 用一元二次方程解决问题（2） 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 上节课学习了用一元二次方程解决几何图形面积问题.能回忆一下，解决这类问题的一般步骤是什么吗？ 审题—设元—列方程—解方程—检验—作答. 2 新知探究 任务一：探究增长率类问题 3 新知探究 例1 某种药品原价125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 问题1：题目中已知量有哪些？要求什么？ 已知量有原价125 元/盒、现价80 元/盒、连续两次降价；求平均每次降价的百分率. 问题2：“连续两次降价”是什么意思？每次降价的幅度相同吗？ “连续两次降价”是指先后进行两次降价操作；每次降价的幅度是相同的. 4 新知探究 问题3：如果设平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格是多少？ 第一次降价后的价格是125(1－x)元/盒. 问题4：第二次降价是在哪个价格基础上进行的？第二次降价后的价格如何表示？ 第二次降价是在125(1－x)元/盒的基础上进行的，第二次降价后的价格为125(1－x)2元/盒. 5 新知探究 分析 设这种药品平均每次降价的百分率是x，可以列表分析如下： 解 设这种药品平均每次降价的百分率是x. 根据题意，得125(1－x)2＝80. 解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8(不合题意，舍去). 答：这种药品平均每次降价的百分率是20%. 6 新知探究 变式拓展： (1)如果题目改为连续三次降价，方程应该如何列？ 125(1－x)3＝80. (2)如果将降价改为涨价，原价125 元/盒在连续两次涨价后变成180元/盒，方程应该如何列？ 125(1＋x)2＝180. 7 新知探究 (3)能用一句话总结连续n次经过相同百分率变化的规律吗？(用a表示初始量，b表示变化后的量) 一般规律：初始量为a，经过n次相同百分率x变化后变为b， 如果是降价：a(1－x)n＝b，其中b＜a； 如果是涨价：a(1＋x)n＝b，其中b＞a； 可以统一写成：a(1±x)n＝b，降价用减号，涨价用加号. 8 新知探究 例2 某乡村快递站收到一份急件，准备用配送 无人机分发给快递员小赵. 如图，管理员通过管理 平台发现小赵在快递站(C处)正北方向9 km的A处， 正以48 km/h的速度驾车向正东方向行驶，无人机立即从C处出发以 60 km/h的速度沿直线飞行，恰好在B处将急件交给小赵. 无人机从C处到B处需飞行多长时间？ 任务二：探究运动类问题 9 新知探究 问题1：图中A点、B点、C点分别代表什么位置？ A点表示小赵初始所在位置，B点表示小赵与无人机相遇位置，C点表示快递站所在位置. 问题2：AC的长度为多少？ AC＝9 km. 问题3：AB，CB的长度分别代表什么？ AB的长度代表小赵驾车行驶的路程，CB的长度代表无人机行驶的路程. 10 新知探究 分析 设无人机从C处到B处需飞行x h，则AB＝48x km，BC＝ 60x km. 根据题意，△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程. 解 设无人机从C处到B处需飞行x h. 根据题意，得△ABC是直角三角形，AC＝9 km，AB＝48x km，BC＝60x km. 于是(48x)2＋92＝(60x)2. 解这个方程，得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去). 答：无人机从C处到B处需飞行15 min. 11 1. 在曲靖，你可以穿越时空隧道，唤醒红色记忆，阅读波澜壮阔的革命史诗，追溯激情燃烧的岁月，感怀先辈的爱国主义和革命英雄主义精神，赓续红色血脉，阔步新的长征．据了解，今年3月份曲靖某红色教育基地接待参观人数1 000人，5月份接待参观人数增加到1 210人．设这两个月平均增长率为x，根据题意可列方程为(　　) A．1 000(1－x)2＝1 210 B．1 000(1＋x)2＝1 210 C．1 210(1＋x)2＝1 000 D．1 210(1－x)2＝1 000 B 课堂练习 12 2. 2023年生产1吨某种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，2025年生产1吨该种药品的成本是3 200元．已知这种药品成本每年的平均下降率相同，并设为x，下列说法错误的是(　　) A．生产1吨这种药品成本的年平均下降额是900元 B．2024年生产1吨这种药品的成本为5 000(1－x)元 C．x＝20% D．按照这种下降速度，2026年生产1吨这种药品的成本为2 300元 D 3. 甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．若甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份销售额的月平均增长率的2倍，则乙店这两个月的月平均增长率是________． 60% 4. 2t 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发， 当点Q移动到点C时，两点停止移动． 设移动时间为t s(t＞0)． (1)填空：BQ＝________cm，PB＝________cm.(用含t的代数式表示) (5－t) (2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 16 5. 解：设该服装每次降价的百分率为x. 根据题意，得60(1－x)2＝48.6， 解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)． 答：该服装每次降价的百分率是10%. 某种服装原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． (1)求该服装每次降价的百分率． (2)若该服装每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该服装20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 18 6. 江阴模拟如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q从点C向点D移动，随点P的停止而停止移动，经过多长时间P，Q两点之间的距离是10 cm? 21 4或6 (2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止，点P随点Q的停止而停止移动，当经过________s时，△PBQ的面积为12 cm2. 22 【点拨】 7. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB＝BC＝10 cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1 cm/s的速度做直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设点P的运动时间为t s，△PCQ的面积为S cm2. (1)求出S关于t的函数表达式． 26 (2)当点P运动几秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积？ 27 解：线段DE的长度不会改变． 如图，过点Q作QM⊥AC，交直线AC于点M， 连接EQ，PM，易知QM∥EP. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠ACB＝∠QCM＝45°. (3)当点P在边AB上运动时，作PE⊥AC于点E，请问：线段DE的长度是否改变？如果不改变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 28 课堂总结 1.本节课我们学习了用一元二次方程解决哪两类实际问题？ 2.解决连续降价(增长)问题的一般步骤是什么？关键是什么？ 3.解决运动类问题时，为什么一定要先画图？列方程的依据是什么？ 4.在检验环节，我们需要注意什么？你遇到了哪些需要舍去的解？ 30 解：存在．由题意得×2t×(5－t)＝4， 解得t1＝1，t2＝4(不符合题意，舍去)， ∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4 cm2，此时t的值为1. 解：设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20－a)件． 由题意，可得[60(1－10%)－40]a＋(48.6－40)×(20－a)≥200，解得a≥5. ∵a为整数，∴a的最小值是6. 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价． 解：过点P作PE⊥CD于E， 设x s后，点P和点Q的距离是10 cm.由题意得 (|16－2x－3x|)2＋62＝102，解得x1＝，x2＝. ∴经过 s或 s，P，Q两点之间的距离是10 cm. 设经过y s后△PBQ的面积为12 cm2. ①当点P在AB上，即0≤y≤时，PB＝(16－3y)cm， ∴PB·BC＝12，即×(16－3y)×6＝12，解得y＝4； ②当点P在BC上，即当＜y≤时，BP＝(3y－16)cm，QC＝2y cm，∴BP·CQ＝(3y－16)×2y＝12， 解得y1＝6，y2＝－(舍去)； ③当点P在CD上，即＜y≤8时，CQ＝2y cm， PC＝(3y－22)cm，∴QP＝CQ－PC＝(22－y)cm， ∴QP·CB＝(22－y)×6＝12，解得y＝18(舍去)． 综上所述，经过4 s或6 s，△PBQ的面积为12 cm2. 解：当0＜t＜10时，点P在线段AB上，此时CQ＝t cm，PB＝(10－t)cm，∴S＝×t(10－t)＝(10t－t2)．当t＝10时， △PCQ不存在．当t＞10时，点P在线段AB的延长线上，此时CQ＝t cm，PB＝(t－10)cm，∴S＝×t(t－10)＝(t2－10t)．综上可知，S关于t的函数表达式为S＝ 解：S△ABC＝AB·BC＝50 cm2， 当0＜t＜10时，(10t－t2)＝50， 整理得t2－10t＋100＝0，此方程无实数解； 当t＞10时，(t2－10t)＝50， 解得t＝5＋5(已舍去负值)， ∴当点P运动(5＋5)s时，△PCQ的面积等于△ABC的面积． ∴易得△APE和△QCM都是等腰直角三角形． 由AP＝CQ＝t cm， 易知PE＝AE＝CM＝QM＝t cm. ∴四边形PEQM是平行四边形．∴DE是对角线EM的一半． 易得EM＝AC＝10 cm，∴DE＝5 cm. $