1.4 用一元二次方程解决问题（第1课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决矩形面积问题”，通过知识回顾（列方程步骤、判别式）搭建学习支架，以劳动实践中“篱笆围矩形菜园”问题情境导入，衔接旧知与新知，引导学生从实际问题中抽象等量关系。 其特色在于以问题驱动分层探究，结合“周长固定围矩形”“图形镶边/裁剪”模型，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（用判别式分析解的合理性）。课堂小结明确步骤与易错点，学生能提升建模能力，教师可借助系统案例高效教学。

1.4 用一元二次方程解决问题（1） 第一章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 能根据矩形面积类实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解． 掌握一元二次方程解实际应用题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答． 3 会利用根的判别式判断实际问题是否存在符合条件的解． 知识回顾 1．列方程解应用题的一般步骤是什么？ 审→设→列→解→验→答 Δ＞0，有两个相等实根；Δ＝0，有两个相等实根；Δ＜0，无实根． 2．一元二次方程根的判别式 Δ＝b2－4ac 有哪些情况，分别代表什么？ 问题情境 在劳动实践中，九年级 (1) 班想用长22m 的篱笆围成面积是 30m2 的矩形菜园，九年级 (2) 班想用同样长的篱笆围成面积是 32m2 的矩形菜园，他们可以做到吗？ 分析：① 22 m 的篱笆围成的矩形菜园周长是多少？ ② 若设一边长为 x m，则另一边如何表示？ ③ 矩形面积如何计算？ 新知探究 设篱笆围成的矩形的一边为 x m，则邻边为 (11－x) m． 若要围成面积是 30 m2 的矩形菜园，则 解这个方程， 得 x1＝5， x2＝6． 当一边为5m时,邻边为11－5＝6(m);当一边为6m时,邻边为11－6＝5(m)． 所以可以围成面积是 30 m²的矩形菜园． x (11－x)＝30， 即 x2－11x＋30＝0． 新知探究 若要围成面积是 32 m2 的矩形菜园，则 由 Δ＝(－11)2－4×1×32＝－7＜0， 可得此方程没有实数根． 所以不能围成面积是 32 m²的矩形菜园． x (11－x)＝32， 化简，得 x2－11x＋32＝0． 设篱笆围成的矩形的一边为 x m，则邻边为 (11－x) m． 当题目问“能否做到（是否存在）”时， 可以利用根的判别式 Δ＝b2－4ac 分析方程是否有实数根： 方程有正实数根→方案可行； Δ＜0(无实根)→方案不可行． 新知探究 用 22 m 长的篱笆围成矩形菜园的最大面积是多少？ 解：设篱笆围成的矩形的一边为 x m，则邻边为 (11－x) m． x (11－x)＝－x2＋11x＝－ ∵ － ≤0， ∴ －≤． ∴ x (11－x)的最大值为（30.25）． 答：用 22 m长的篱笆围成矩形菜园的最大面积是． 例题讲解 例1 如图，要在一幅长 80cm，宽 50cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400 cm2，金色纸边的宽应为多少厘米？ ①镶边后的挂图的长和宽如何表示？ ② 这个问题中的相等关系是什么？ 挂图的长＝风景画长＋2金色纸边的宽，宽＝风景画宽＋2金色纸边的宽 挂图的长×挂图的宽＝5400 cm² 例题讲解 解：设金色纸边的宽为x cm，则挂图的长 为 (80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm． 根据题意，得 (80＋2x)(50＋2x)＝5400， 化简，得 x²＋65x－350＝0． 解这个方程，得 x1＝5，x2＝－70 (不合题意，舍去)． 答：金色纸边的宽应为5 cm． 双重检验：既要满足原方程， 又要符合实际意义． 讨论交流 用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ (3) 列：根据题目中的等量关系，列出方程； (4) 解：化成一元二次方程的一般形式并求解(先用根的判别式分析方程是否有实数根)； (2) 设：设未知数（直接设或间接设），注意写好单位名称； (5) 验：既要检验根是否满足原方程，又要检验根是否符合实际意义； (6) 答：写出完整规范的答语（注意单位）． (1) 审：审清题意，找出已（未）知量，明确等量关系； 如：根是否为正、是否符合图形尺寸范围、 新知巩固 1．一个长方形广场的面积是 600 m2．如果它的长减少10m，那么就成为正方形广场．求该长方形广场的长和宽． 解：设该长方形广场的宽是 x m，则长为(x＋10)m． 根据题意，得 x(x＋10)＝600， 解这个方程，得 x1＝20， x2＝－30 (不合题意，舍去)． 长为 20＋10＝30m． 答：该长方形广场的宽是20m，长是30m． 解：设盒子的高为 xcm． 根据题意，得 (31－2x)(18－2x)＝300， 化简，得 2x²－49x＋129＝0． 解这个方程，得 x1＝3， x2＝21.5＞ (不合题意，舍去)． 答：盒子的高为 3 cm． 新知巩固 2．有一块长方形纸板，长 31 cm，宽 18 cm，在四个角都剪去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使盒子的底面积是 300 cm2． 求盒子的高． 除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意：超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去． 新知巩固 3．如图，一段水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm的矿物沉淀物，导致水管过水的横截面面积减少到原来的 ，求该水管原来的内径． 解：设该水管原来的内径是 x mm． 根据题意，得 π ＝ π ． 解这个方程，得 x1＝18， x2＝． 当 x2＝ 时， ＜3（舍去）． 答：水管原来的内径是 18 mm． 新知巩固 4．如图，在长 40 m、宽 22 m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的地面铺上草坪，要使草坪的面积达到 760 m²，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为 x m． 根据题意，得 (40－x)(22－x)＝760 ． 解这个方程，得 x1＝2， x2＝60＞40（舍去）． 答：道路的宽应为 2 m． 解：(1) 设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70＋2－2x＝(72－2x) m． 根据题意，得 x(72－2x)＝640． 化简，得 x2－36x＋320＝0． 解得 x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72−2x＝72－32＝40m； 当x＝20时，72−2x＝72－40＝32m． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈． 思维提升 1．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ 解：(2) 解：不能，理由如下： 由题意，得 x(72－2x)＝650． 化简，得 x2－36x＋325＝0． ∵ (－36)2－4×325＝－4＜0， ∴ 一元二次方程没有实数根． ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2． 思维提升 1．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料）． (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 思维提升 2．把一根长 80 cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形． (1) 要使这两个正方形的面积的和等于 200 cm2，应该怎样剪？ 解：(1) 设一段绳子长 x cm，则另一段长(80－x)cm． 根据题意，得 ＋＝200． 解得 x1＝ x2＝40． 答：将绳子剪成两段各 40cm 长． 思维提升 2．把一根长 80 cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形． (2) 这两个正方形面积的和可能等于 488 cm2 吗？ 解：(2) 设一段绳子长 x cm，则另一段长(80－x)cm． 根据题意，得 ＋＝488． 整理，得 x2－80x－704＝0 ． Δ＝(－80)2－4×1×(－704)＝9216， x＝ ， x1＝ ＝88，x2＝＝－8， 因为绳子长度不能为负数或超过80cm，所以x1＝88和x2＝－8均不符合题意． 答：这两个正方形面积的和不可能等于488cm²． 课堂小结 1.4 用一元二次方程解决问题（1） 一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 两类模型：① 周长固定围矩形问题；② 图形四周加宽/裁剪问题 易错提醒：检验时，除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意：超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去 感谢聆听！ $