第1章 一元二次方程 综合与实践（课件） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“优美的黄金分割”展开，通过观察帕特农神庙、《蒙娜丽莎》等图片引导学生发现比例共性，从历史背景引入定义，结合一元二次方程推导黄金比，再通过尺规作图验证及应用实例拓展，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学史、艺术与自然实例，以“数学眼光”引导学生发现美，通过方程推导和作图培养“数学思维”中的运算与推理能力，分组交流应用实例发展“数学语言”表达。学生能感受数学应用价值，教师可依托丰富素材提升教学效果。

授课老师： 授课时间：202X.X 第1章 一元二次方程 综合与实践 优美的黄金分割 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 认真观察古希腊帕特农神庙、《蒙娜丽莎》、蝴蝶翅膀结构等图片. 思考这些事物在比例上的共同特点，尝试用自己的语言描述. 学习任务 1.初步感受黄金分割 2 学习任务 黄金分割最早由古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形时发现，欧多克斯提出了其数学表达式. 意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇将其命名为“黄金分割”，并在艺术创作中广泛应用. 视觉生理学的研究成果表明，黄金分割比与人的视觉比例(1：1.618)最接近，所以符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感. 因此黄金分割比被认为是美的比例关系. 3 学习任务 1.如图1(1)，蜻蜓腹部长BC与全身长 AB之比等于头部和胸部总长AC与腹部长 BC之比，这个比值就是黄金比，点C称为 线段AB的黄金分割点.请求出黄金比的值. 2.探究黄金比的数值 4 学习任务 黄金分割的定义：如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，这个比值叫作黄金比. 5 学习任务 如何计算黄金比的值？ 设线段AB的长度为1，线段BC的长度为x，则线段AC的长度为1－x，根据比例关系列出方程. 整理得到一元二次方程x2＋x－1＝0. 解方程，取正根得到黄金比的数值为≈0.618. 6 学习任务 思考如何用直尺和圆规作出一条线段的黄金分割点. 作图操作： (1)过点B作BD⊥AB，使BD＝AB. (2)连接AD，在AD上截取DE＝DB. (3)在线段AB上截取AC＝AE，则点C即为所求. 3.用尺规作黄金分割点 7 学习任务 验证作图的正确性. 设AB＝2a，则BD＝a， 由勾股定理得AD＝＝a， 则AE＝AD－DE＝a－a＝(－1)a，所以AC＝(－1)a. 所以＝. 8 学习任务 作黄金分割点的其他方法. ①在线段AB上作一个正方形ABDE. ②取线段AE的中点F，连接FB. ③延长线段EA至G，使得FG＝FB. ④在线段AB上截取AC＝AG，那么点C就是线段AB的黄金分割点. 9 学习任务 1.分组交流课前收集的黄金分割应用实例. 2.每组推选代表在全班展示，介绍黄金分割在建筑、绘画、摄影、音乐、自然等领域的具体应用. 3.讨论黄金分割被广泛应用的原因. 4.了解黄金分割的应用 10 学习任务 查阅“兔子繁殖”问题的相关资料，自主推导并列出“斐波那契数列”，计算相邻两项的比值，观察其逐渐趋近黄金比. “兔子繁殖”问题：假设每对兔子在出生两个月后具有繁殖能力，每月生一对兔子，从一对兔子开始，一年后共有多少对兔子？请查阅相关资料，了解与该问题相关的“兔子数列”(也称“斐波那契数列”)及它与黄金比的联系. 5.应用拓展 11 学习任务 观察或查阅资料，收集自然界(如向日葵籽盘、鹦鹉螺壳、松果鳞片等)以及科学、艺术领域(如人体比例、建筑、绘画等)中蕴含黄金分割的具体事例，整理后在小组中进行交流分享. 12 学习任务 我国著名数学家华罗庚于20 世纪六七十年代在我国推广“0.618法”，并在各个领域广泛应用.请了解“0.618法”的来历及其应用，并与同学交流. 13 C 课堂练习 14 2．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．现有长为4 m的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为________________． x2＝4(4－x) 3. 研究发现，当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，主持人现站在6米长的舞台的左边端点处，要站在最佳位置处，至少要走___________米(结果保留根号)． 4 解：如图，在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G(EG＞FG)，过点G作一条直线交AD于点M，交BC于点N，则MN就是梯形的黄金分割线． 理由：设梯形的高为h，∵点G是EF的黄金分割点， ∴EGEF＝GFEG， ∴EG×hEF×h＝GF×hEG×h， 易得S梯形ABNM＝EG×h，S梯形MNCD＝GF×h，S梯形ABCD＝EF×h， ∴S梯形ABNMS梯形ABCD＝S梯形MNCDS梯形ABNM，∴MN是梯形的黄金分割线． ∵过G且与AD，BC都相交的直线有无数条， ∴符合题意的黄金分割线有无数条．任意再画四条即可，画图略． 证明：由题意得ATAB＝TBAT，S矩形QRST＝S矩形BCGF， ∴AT×S矩形QRSTAB×S矩形BCGF＝TB×S矩形BCGFAT×S矩形QRST，设该长方体体积为V，截面QRST将该长方体分成体积分别是V1，V2的左右两部分，则V1:V＝V2:V1， ∴截面QRST是该长方体的黄金分割面． 1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(　　) A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割 B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割 C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫作黄金比 D．0.618是黄金比的近似值 (9－3) 4．以下是由《几何原本》中给出的找黄金分割点的作法：①如图①，以线段AB为边作正方形ABCD；②取AD的中点E，连接BE；③在DA的延长线上取点F，使EF＝EB；④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点． 以下是证明点H是线段AB的黄金分割点的部分过程： 证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1. ∵点E是AD的中点，∴AE＝AD＝. 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝＝＝.… 任务：(1)请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整； 解：补全证明过程如下：∴EF＝BE＝， ∴AF＝EF－AE＝－＝， ∵四边形AFGH是正方形，∴AH＝AF＝， ∴BH＝AB－AH＝1－＝， ∴＝＝，＝＝，∴＝. 故点H是线段AB的黄金分割点． (2)如图②，点C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AC＝2－2，则AB＝________，BC＝________． 6－2 点拨：∵点C是AB的黄金分割点， ∴AC＝AB＝2－2，解得AB＝4， ∴BC＝AB－AC＝4－(2－2)＝6－2. 5．如图①，点C将线段AB分成两部分，如果＝，那么称点C为线段AB的黄金分割点． (1)某研究小组在进行课题学习时， 类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．试在图②的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由． (2)类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面a将一个体积为V的图形分成体积为V1，V2的两个图形，且＝，则称截面a为该图形的黄金分割面．如图③，长方体ABCD－EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点(AT＞BT)，证明经过T点且平行于平面BCGF的截面QRST是该长方体的黄金分割面． $