1.2 一元二次方程的解法 第4课时 （课件） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件核心内容为一元二次方程的因式分解法，通过配方法回顾x² - x = 0的解法，引导学生观察方程左边可因式分解，搭建从旧知到新知的学习支架，突出降次转化的核心思想。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过观察方程结构培养数学眼光，辨析小明漏根错误发展推理意识，总结“右化0，左分解，两因式，各求解”步骤强化数学语言。实例丰富如提取公因式、平方差公式应用，助力学生掌握简便解法，教师可借结构化内容提升教学效率。

授课老师： 授课时间：202X.X 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 用配方法解一元二次方程，这种方法的核心思想是什么？ 降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 2 导入新课 能用配方法解方程x2－x＝0吗？ 配方，得x2－x＋()2＝()2. 即(x－)2＝. 解这个方程，得x－＝±. 因此，原方程的两个实数根为x1＝1，x2＝0. 3 导入新课 方程x2－x＝0有没有更方便的解法呢？观察x2－x＝0这个方程的 特点，左边的多项式是否可以进行因式分解？如果可以分解，能否简化解题过程？ 方程左边可提取公因式x，方程变形为x(x－1)＝0，因式分解后可以简化解题过程. 4 新知探究 观察方程x(x－1)＝0，这个方程的特征是什么？可以如何求解？ 方程右边为0，左边是两个一次因式的乘积. 根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，可得x＝0或x－1＝0，进而解出两个根. 即x1＝0，x2＝1. 与上面的配方法进行比较，哪种方法更简单？ 此问题用因式分解法比配方法更简单. 任务一：自主探究，生成因式分解法概念 5 新知探究 结合这个解题过程，能总结什么是因式分解法解一元二次方程吗？ 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 6 新知探究 例1 用因式分解法解下列方程： (1) x2＝－4x；(2) x＋3－x(x＋3)＝0. 对于第(1)题中的方程，要求解需要先做什么？ 先移项，将方程化为右边为0的形式，即x2＋4x＝0. x2＋4x＝0这个方程能用因式分解法求解吗？怎样因式分解？ 可以，提取公因式x. 任务二：基础应用，用提取公因式法解方程 7 新知探究 对于第(2)题中的方程，怎样因式分解？需要去括号、合并同类项吗？ 不需要，可以直接提取公因式(x＋3). 8 新知探究 解 (1)原方程可变形为x2＋4x＝0. x(x＋4)＝0. 所以x＝0或x＋4＝0. 所以原方程的两个实数根为x1＝0，x2＝－4. (2)原方程可变形为(x＋3)(1－x)＝0. x＋3＝0或1－x＝0. 所以原方程的两个实数根为x1＝－3，x2＝1. 9 新知探究 因式分解法解题的第一步关键是什么？ 必须先将方程整理为一边为0的形式，再对另一边因式分解. 10 新知探究 例2 用因式分解法解方程：(2x－1)2－x2＝0. 观察这个方程结构，有什么发现？ 方程左边符合平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)，可以将(2x－1)看作a，x看作b. 任务三：进阶提升，公式法因式分解解方程 11 新知探究 解 原方程可变形为(2x－1＋x)(2x－1－x)＝0. (3x－1)(x－1)＝0. 3x－1＝0或x－1＝0. 所以原方程的两个实数根为x1，x2＝1. 12 新知探究 用因式分解法解一元二次方程的步骤是什么？ 用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)将方程右边化为零； (2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积； (3)两个一次因式乘积为0，则至少有一个因式为0，得到两个一元一次方程； (4)求两个一元一次方程的解. 简记：右化0，左分解，两因式，各求解. 13 新知探究 问题：小明解方程(x＋2)2＝4(x＋2)的过程如下. 原方程两边都除以(x＋2)，得x＋2＝4. 解得x＝2. 所以原方程的实数根是x＝2. 小明的解法正确吗？ 不正确，小明直接除以含未知数的因式x＋2，默认了x＋2≠0，遗漏了x＋2＝0的情况，导致漏根. 任务四：易错辨析，突破解题误区 14 新知探究 如何解方程(x＋2)2＝4(x＋2)呢？ 移项，得(x＋2)2－4(x＋2)＝0. 提取公因式(x＋2)，得(x＋2)(x＋2－4)＝0. 即(x＋2)(x－2)＝0. 所以原方程的两个实数根为x1＝－2，x2＝2. 解方程时，不能直接在方程两边同时除以含未知数的因式，避免 漏根. 15 新知探究 例3 用因式分解法解下列方程： (1) 3x(2x＋1)＝4x＋2； 原方程可变形为3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0. (2x＋1)(3x－2)＝0. 所以2x＋1＝0或3x－2＝0. 所以原方程的两个实数根为x1＝－，x2＝. 任务五：巩固例题，深化知识运用 16 新知探究 (2) (x－4)2＝(5－2x)2. 原方程可变形为(x－4)2－(5－2x)2＝0. (x－4＋5－2x)(x－4－5＋2x)＝0. (－x＋1)(3x－9)＝0. 所以－x＋1＝0或3x－9＝0. 所以原方程的两个实数根为x1＝1，x2＝3. 17 1．方程x2＝3x的解为( ) A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 D 课堂练习 2．已知某一元二次方程的两根分别为x1＝－2，x2＝－3，则这个方程可以为( ) A．(x－2)(x＋3)＝0 B．(x＋2)(x－3)＝0 C．(x＋2)(x＋3)＝0 D．(x－2)(x－3)＝0 C 3. A 已知关于x的方程(x＋a)(x－2)＝0与方程x2＋x－6＝0的解相同，则a的值为(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－6 4. C 甲、乙、丙三人解方程x(x－1)＝3(x－1)的过程如下表所示，则(　　) A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确 甲 乙 丙 两边同时除以(x－1)， 得x＝3. 整理，得x2－4x＝－3. 配方，得x2－4x＋2＝－1. ∴(x－2)2＝－1. ∴x－2＝±1. ∴x1＝1，x2＝3. 移项，得x(x－1)－3(x－1)＝0. ∴(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0. ∴x1＝3，x2＝1. 5．小明在解方程(x－7)2＝x－7时，只得出一个根为x＝8，原因是 ，漏掉的一个根是 。 未考虑x－7＝0 x＝7 6．解方程x2－mx－6＝0，若将左边因式分解后有一个因式是(x－3)，则m的值是 。 7．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2＋3x＋m－1＝0为“友好方程”，则m的值为 。 1 1或－9 【解析】通过解方程x2－2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x＝2为两方程相同的实数根两种情况考虑。 8．用因式分解法解下列方程： (1)2(x－6)2＝x2－36； (2)3x(x－5)＝2x－10； 解：2(x－6)2＝(x＋6)(x－6)， [2(x－6)－x－6](x－6)＝0， (x－18)(x－6)＝0， x－18＝0或x－6＝0， ∴x1＝18，x2＝6。 解：(3x－2)(x－5)＝0， 3x－2＝0或x－5＝0， ∴x1＝，x2＝5。 (3)x(x－4)＝－4； (4)(x－2)(2x－3)＝6。 解：x2－4x＋4＝0， (x－2)2＝0， ∴x1＝x2＝2。 解：2x2－3x－4x＋6＝6， 2x2－7x＝0， (2x－7)x＝0， ∴x1＝，x2＝0。 9．已知方程mx2＋mx＋5＝m有相等的两实根，求方程的解。 解：方程化为一般形式为mx2＋mx＋5－m＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴m≠0且Δ＝m2－4m(5－m)＝0， 解关于m的方程5m2－20m＝0得 m1＝0(舍)，m2＝4。 当m＝4时，原方程为4x2＋4x＋1＝0， 解得x1＝x2＝－， ∴原方程的根为x1＝x2＝－。 课堂总结 1.本节课我们学习了哪种解一元二次方程的方法？它的核心原理是什么？ 2.因式分解法常用的两种分解技巧是什么？解题的关键步骤有哪些？ 3.解题过程中最容易出现的错误是什么？如何规避？ 26 课堂总结 总结：本节课我们核心学习了因式分解法解一元二次方程，核心思想是“降次转化”，将二次方程转化为一次方程求解. 主要运用提取公因式、平方差公式两种方法，解题时必须先将方程整理为“右边为0”的形式，严禁随意除以含未知数的因式. 因式分解法是解一元二次方程最简便的方法之一，后续可结合其他方法灵活解题. 27 $