1.2 一元二次方程的解法 第1课时 （课件） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，通过正方形面积问题导入，从\(x^2=2\)到\((x+1)^2=2\)，搭建从具体问题到抽象方程形式的学习支架，衔接平方根意义与方程解法。 其亮点在于以数学眼光抽象现实问题，通过分类讨论\(p\)的正负零培养推理意识，结合例2解方程\((x-3)^2=9\)等实例和分层练习发展模型意识。学生能提升抽象能力和运算能力，教师可借助清晰结构高效教学。

授课老师： 授课时间：202X.X 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 第1课时 配方法（1） 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 如果一个正方形的面积是2，那么这个正方形的边长是多少？ 设这个正方形的边长为x. 根据题意列出方程为x2＝2. 如果一个正方形的边长增加1后，面积是2，那么原正方形的边长是多少？ 设原正方形的边长是x. 根据题意列出方程为(x＋1)2＝2. 2 新知探究 1.平方根的意义是什么？ 如果x2＝a，那么x叫作a的平方根，记作x＝±(a≥0). 2.如何解一元二次方程x2－2＝0？ 将原方程化为x2＝2. 根据平方根的意义，x是2的平方根，即x＝±. 所以一元二次方程x2＝2有两个根，它们分别记为x1＝，x2＝－. 任务一：探究形如x2＝a的方程的解法 3 一般地，对于方程 x2=p， （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有x2 ≥ 0，所以方程无实数根. 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 新知探究 例1 解下列方程： (1) x2－16＝0；(2) 9x2－1＝0. 解 (1)移项，得x2＝16. 所以原方程的两个实数根为x1＝4，x2＝－4. (2)移项，得9x2＝1. 两边都除以9，得x2＝. 所以原方程的两个实数根为x1＝，x2＝－. 5 新知探究 如何解方程(x＋1)2＝2？ 设y＝x＋1，则方程变为y2＝2， 可以用直接开平方法求解，得到y＝±， 即x＋1＝±， 所以x＝－1±. 任务二：探究形如(x＋h)2＝k的方程的解法 6 例2 解下列方程： (1) (x－3)2＝9；(2) (x＋2)2＝5. 解 (1)直接开平方，得x－3＝3或x－3＝－3. 解得x＝6或x＝0. 所以原方程的两个实数根为x1＝6，x2＝0. (2)直接开平方，得x＋2＝或x＋2＝－. 解得x＝－2＋或x＝－2－. 所以原方程的两个实数根为x1＝－2＋，x2＝－2－. 新知探究 7 一般地，根据平方根的意义，方程(a＋h)2＝k (h，k为常数，k≥0)的两个实数根为x＝－h±. 当k＜0时，方程(a＋h)2＝k是否有实数根？ 当k＜0时，方程没有实数根. 新知探究 8 一般地，对于形如 （x + m）2 = n（n ≥ 0）的方程，利用平方根的意义直接开平方，这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。 归纳 （x + m）2 = n（n ≥ 0） 变形 开方后，等式的右边取“正、负”两种情况 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 1．方程x2－8＝0的解为( ) A．x1＝4，x2＝－4　　 B．x1＝2，x2＝－2 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝2 B 课堂练习 2．一元二次方程(x＋7)2＝81可转化为两个一元一次方程，其中一个是x＋7＝9，则另一个是( ) A．x－7＝－9 B．x－7＝9 C．x＋7＝9 D．x＋7＝－9 D 3．关于x的方程x2＝p： (1)当p＞0时，方程有 的实数根； (2)当p＝0时，方程有 的实数根； (3)当p＜0时，方程 。 两个不相等 两个相等 无实数根 (4)如果方程(x-5)2=m-7可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是 　　　　.  m≥7 4.解方程: (1)x2=9; (2)4x2=8; (3)(x+1)2=16; (4)(x-2)2=3. (1)解:x2=9,所以x1=3,x2=-3. (2)解:x2=2,所以x1=,x2=-. (3)解:(x+1)2=16,所以x+1=±4,所以x1=3,x2=-5. (4)解:(x-2)2=3,所以x-2=±, 所以x1=2+,x2=2-. 5．用直接开平方法解下列方程： (1)2x2－98＝0； (2)100(1－x)2＝64。 解：移项，得2x2＝98， 两边同除以2， 得x2＝49， 两边开方，得x＝±7， ∴x1＝7，x2＝－7。 解：两边同除以100，得(1－x)2＝0.64， 两边开方， 得1－x＝±0.8， ∴x1＝0.2，x2＝1.8。 6.定义新运算:x❋y= 例如:4❋3=4-2×3=-2,-1❋2=(-1)2+2=3.若x❋1=17,求x的值. 解:∵x❋y=, x❋1=17, ①当x≥1时, x❋1=x-2×1=17, 解得x=19; ②当x<1时, x❋1=x2+1=17,整理得x2=16, 解得x=4(不符合题意,舍去)或x=-4. 综上所述,x的值为19或-4. 7.已知一元二次方程(x-2)2=3的两根为a,b,则2a+b的值为多少? 解:解方程(x-2)2=3,得x1=2+,x2=2-, ∵方程(x-2)2=3的两根为a,b, ∴a=2+,b=2-,或a=2-,b=2+, ∴2a+b=2(2+)+2-=6+, 或2a+b=2(2-)+2+=6-. 故2a+b的值为6±. 课堂总结 回顾本节课学习的主要内容： 1.直接开平方法的依据：平方根的意义. 2.直接开平方法适用的方程形式：x2=a(a≥0)和(x+h)2=k(k≥0). 3.用直接开平方法解方程的基本步骤：将方程转化为可以直接开平方的形式,然后根据平方根的意义求解. 17 $