1.1 一元二次方程的概念（课件） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，通过上海东方明珠电视塔比例关系、鸟儿身体比例等现实情境导入，引导学生从实际问题中列出方程，建立数学与现实的联系，为后续概念学习搭建支架。 其亮点在于以情境创设培养数学眼光，通过实际问题抽象方程特征发展抽象能力，结合例题辨析（如二次项系数不为0）和代入检验法强化推理意识，实际应用题目（如梯子问题）培养模型意识。学生能在探究中理解概念本质，教师可借助结构化资源提升教学效率。

授课老师： 授课时间：202X.X 第1章 一元二次方程 1.1 一元二次方程的概念 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 上海“东方明珠”电视塔是城市的标志，它的设计蕴含了数学之美——整个塔体挺拔秀丽，各部分比例协调. 把“东方明珠”电视塔看作一条线段AC，其中的一个球体看作点B，有＝. 设AC＝1，AB＝x，能根据上述比例关系列出关于x的方程吗？ 通过比例关系推导，得到＝， 整理得x2＋x－1＝0. 2 导入新课 看自然界中美丽的鸟儿，身体各部分之间适当的比例给人以匀称的美感. 把鸟儿的躯干看作一条线段DF，尾部看作线段EF，有＝. 设DF＝1，DE＝x，能根据上述比例关系列出关于x的方程吗？ 通过比例关系推导，得到＝， 整理得x2＋x－1＝0. 3 新知探究 任务一：自主探究，根据实际问题列方程 根据下列问题，设未知数列方程. (1)面积为2 m2的正方形桌面的边长是多少？ 设正方形桌面的边长是x m，可得方程x2＝2. 4 新知探究 (2)矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，花圃的面积是24 m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 如图1-1，设花圃垂直于墙的一边是x m， 可得方程x(19－2x)＝24. 5 新知探究 (3)我国在2020 年底实现农村贫困人口全部脱贫. 已知我国2017 年农村贫困人口为3 046 万人，2019 年农村贫困人口为551 万人，求我国2017－2019 年农村贫困人口平均每年下降的百分率. 设农村贫困人口平均每年下降的百分率为x，可得方程 3 046(1－x)2＝551. 6 新知探究 观察x2＋x－1＝0、x2＝2、x(19－2x)＝24、3 046(1－x)2＝551这四个方程，它们有什么共同特征？ ①都是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 7 新知探究 结合刚才的特征，能给这类方程下个定义吗？ 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根. 任务二：生成概念，归纳定义与一般形式 8 一元一次方程有一般形式ax＋b＝0(a≠0)，类比一元一次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是什么？ 方程x2＝2可化为x2－2＝0， x(19－2x)＝24可化为－2x2＋19x－24＝0， 3 046(1－x)2＝551可化为3 046x2－6 092x＋2 495＝0. 关于x的一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0). 新知探究 9 一元二次方程的一般形式中，ax2，bx，c分别叫什么？a，b分别叫什么？a，b，c有什么要求？ ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项； a，b分别叫作二次项系数、一次项系数； a≠0(否则就不是二次方程). 各项系数是包括符号的，比如一元二次方程－2x2＋19x－24＝0中，二次项系数是－2，不是2. 新知探究 10 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 ax2+bx=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 一元二次方程 特殊形式 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. ＋2x＝3是一元二次方程吗？ 不是一元二次方程，因为不是整式. 新知探究 12 练习 下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A. ax2＋x＝2 C. x2－xy＝2 点拨 A. 只有当a≠0时，ax2＋x＝2才是一元二次方程，故该选项不符合题意. B. x2－2x－3＝0是一元二次方程，故该选项符合题意. C. x2－xy＝2含有两个未知数，故该选项不符合题意. D. 2(x－1)＝x是一元一次方程，故该选项不符合题意. 新知探究 B. x2－2x－3＝0 D. 2(x－1)＝x B 13 新知探究 练习 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解 去括号，得3x2－3x＝5x＋10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2－8x－10＝0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10. 14 一元二次方程必须同时满足的条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2； ④二次项的系数不为0. 新知探究 15 新知探究 解 梯子与墙面、地面围成一个直角三角形. 根据题意，得x2＋(x＋1)2＝52. 化简，得所求方程为x2＋x－12＝0. 16 新知探究 例1 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底 端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m. 设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程. (1)梯子与墙面、地面围成一个什么三角形？能想到什么定理？ 围成一个直角三角形，勾股定理. (2)梯子的底端到墙面的距离怎样用x表示？ (x＋1) m. 任务三：知识迁移与运用 17 新知探究 由x2＋(x＋1)2＝52，能根据勾股数猜到x的值可能是多少吗？ 对照勾股数3，4，5可以发现，x＝3，x＝－4都满足这个方程. 称这个一元二次方程有两个实数根x1＝3，x2＝－4. 在这个实际问题中，x1＝3，x2＝－4这两个根都符合题意吗？ 在例题中，因为x表示距离，所以其中一个根x2＝－4不符合题意. 18 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 例2 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 例2 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法） 数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 1．下列方程中是一元二次方程的是( ) A．3x2＋x3＝0 B．(3x－1)(3x＋1)＝3 C．x2－2x＝x2 D．2x－3y＋1＝0 B 课堂练习 2．下列各数是一元二次方程x2－2x＝－1的解的是( ) A．－1　　　　　　 　 B．0 C．1　　 　 D．2 C 3.填空: (1)若关于x的方程(k+1)x2-4x-1=0是一元二次方程,则k满足　　　　　;  (2)若要使(k+1)x|k|+1+(k-1)x+2=0是关于x的一元二次方程,则k=　　　　.  (3)(2026青岛模拟)若关于x的方程(m-4)x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程,则m=　　　　.  k≠-1 1 0 (3)若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋x＋m2－9＝0有一个根是0，则m的值是 。 (4)已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若a，b，c满足关系式4a＋2b＋c＝0，则必有一个根为 。 (5)定义：方程cx2＋bx＋a＝0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0。若x＝－1是一元二次方程2x2＋x＋c＝0的“倒方程”的解，则c的值为 。 -3 2 -1 4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数a、一次项系数b和常数项c. 方程 一般形式 a b c -4+3x=-5x2         x(x+3)=1         (x+1)2=x         5x2+3x-4=0 5 3 -4 x2+3x-1=0 1 3 -1 x2+x+1=0 1 1 1 5．已知关于x的方程(m＋1)＋1＋(m－2)x－1＝0。 (1)当m取何值时，它是一元二次方程？ (2)当m取何值时，它是一元一次方程？ 解：(1)根据题意，得解得m＝1。 (2)当m2＋1＝1，即m＝0时， 此时方程为－x－1＝0。 当m2＋1≠1时，则m＋1＝0，即m＝－1。 此时方程为－3x－1＝0。 综上所述，当m＝0或－1时，它是一元一次方程。 6.(2026河南模拟)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,求代数式(m+5)(m-1)的值. 解:∵m是方程x2+4x-1=0的一个根, ∴m2+4m-1=0,即m2+4m=1, ∴(m+5)(m-1)=m2+4m-5=1-5=-4. 7.根据题意,列出一元二次方程: (1)已知直角三角形的三边长为连续整数,求它的三边长; (2)有一面积为54 m2的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少? 解:(1)设最短的边长为(x-1), 则另外两边长分别为x,(x+1), 依题意,得(x-1)2+x2=(x+1)2. (2)设这个正方形的边长为x m, 那么长方形的两边长分别为(x+5)m,(x+2)m, 依题意,得(x+5)(x+2)=54. 7.如图,小区物业规划在一个长60 m,宽22 m的矩形场地ABCD上,修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽x m的道路,中间是宽2x m的道路.如果阴影部分的总面积是600 m2,请列出x满足的方程,并将其化为一般形式. 解:由题可知阴影部分可转化为(60-2x)m,宽为(22-2x)m的矩形, ∴根据题意可列出方程为(60-2x)(22-2x)=600, ∴化为一般形式,得4x2-164x+720=0.   8.(2026北京模拟)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+2cx-c2=0的一个根,求代数式(c+3)(c-3)+c(c-4)的值. 解:∵x=1是方程x2+2cx-c2=0的一个根, ∴12+2c×1-c2=0,化简,得c2=2c+1, ∴(c+3)(c-3)+c(c-4)=c2-9+c2-4c =2c2-4c-9=2(2c+1)-4c-9 =4c+2-4c-9=-7, 即代数式(c+3)(c-3)+c(c-4)的值为-7. 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 2.一元二次方程与一元一次方程有什么联系和区别？ 3.学习概念时，我们用了什么方法？对你今后的学习有什么启发？ 33 $