2.1 一元二次方程的概念课件 2026-2027 学年苏科版九年级数学上册

2.1 一元二次方程的概念 学习目标 1.能根据实际问题列出等量关系式，整理得到整式方程，归纳一元二次方程的定义。 2.掌握一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 3.会将任意一元二次方程整理成一般形式，理解方程根的含义，能检验数值是否为方程的根。 情景引入 根据下列问题，设未知数列方程： 1、面积为2 m2的正方形桌面的边长是多少？ 2、矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，如果花圃的面积是24 m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 问题 新课讲解 在问题1中，设正方形桌面的边长是x m，可得方程： . x2=2 在问题2中，如图，设花圃垂直于墙的一边是x m， 可得方程：  . x(19-2x)=24 新课讲解 像方程 x2=2 ，x(19-2x)=24 ，3046(1-x)2=551 ，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程（quadratic equation with one unknown）.一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根. 关于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).其中，ax2，bx，c分别叫作二次项，一次项和常数项，a,b分别叫作二次项系数、一次项系数.例如，方程x(19-2x)=24可以化为一般形式-2x2+19x-24=0,二次项系数、一次项系数、常数项分别为-2,19，-24 1.下列方程中,是一元二次方程的为(　　) A. ax2+bx+c=0 B. x2+x=x(x-1) C. x2-=2 D. x2=3x 2.一元二次方程3x2-2x-1=0的一次项系数为(　　) A. 3 B. -2 C. -1 D. 0 D B 牛刀小试 尝试练习 3.若方程(a-4)x|a|﹣2﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为-4 尝试练习 4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项. (1)x2－x=2； (2)4x+1=x2； (3)2x2=－3x； (4)x(x+3)=－2. 解：(1)一般形式：x2－x－2=0 二次项系数是1，一次项系数是－1，常数项是－2. (2)一般形式：x2－4x－1=0 二次项系数是1，一次项系数是－4，常数项是－1. (3)一般形式：2x2+3x=0 二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是0. (4)一般形式：x2+3x+2=0 二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是2. 5.将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a<0)后,二次项和一次项分别是-3x2、4x 例如图2-2，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的低端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m，设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程. 解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形.根据题意，得 x2+(x+1)2=52 化简，得 x2+x －12=0 由x2+(x+1)2=52，对照勾股数3，4，5可以发现，x=3，x=－4都满足这个方程，我们称这个一元二次方程有两根实数根x1=3，x2=－4.在例题中，因为x表示距离，所以其中一个根x2=－4不符合题意 拓展延伸 1.已知关于x的一元二次方程(a-3)x2+a2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则a的值为 (　　) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 2.已知关于x的一元二次方程(m-5)x2+x+|m|-5=0的一个根是x=0,则实数m的值为 (　A　) A. -5 B. 0 C. 5 D. -5或5 D (1) 若方程是一元二次方程，求m的值． (2) 若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解． 3. 当堂练习 检测： A 2．将一元二次方程 化成一般形式后，二次项系数和一次项 系数分别为（    ） A D 4．若x=1是关于x的一元二次方程x2-mx=0的一个根，则m的值为(  C  ) A．2 B．-2 C．1 D．-1 5．若一元二次方程中ax2+bx+c=0的a,b,c满足4a-2b+c=0，则方程必有根（ C   ） B x (8＋x)＝240 8.一元二次方程x2-4x+a=0的一个解为x=1,则a的值为　　　. 9. 已知矩形的周长为14,面积为12.设一边的长为x,则可列一元二次方程为　　　 　　(化为一般形式).  10. 近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月的售价为23万元/辆,5月的售价为16万元/辆.设该款汽车这两个月售价的月平均下降率是x,则可列方程为　　　　　　　　　. 3 x2-7x+12=0 23(1-x)2=16 11.已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)+1的值为　 . 12.若m是方程x2-2x-1=0的根,则m2++1的值为　　　　. -3 分析：把x=m代入方程,得m2+4m-1=0,即m2+4m=1.∴ (m+5)(m-1)=m2-m+ 5m-5=m2+4m-5+1=1-5+1=-4+1=-3. 7 分析：∵ m是方程x2-2x-1=0的根,∴ m2-2m-1=0,且m≠0,∴ m-2-=0,即m-=2.两边分别平方,得=4,即m2-2+=4,∴ m2++1=7. 课堂小结 课堂小结 1.等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程 2.关于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).其中，ax2，bx，c分别叫作二次项，一次项和常数项，a,b分别叫作二次项系数、一次项系数. 谢 谢 观 看 $