1.2 一元二次方程的解法1（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程配方法（1），核心内容为根据平方根意义解形如x²=a（a≥0）与(x+h)²=k（k≥0）的方程。课堂导入通过回顾实数平方根性质和一元二次方程概念，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探索解法。 其亮点是以平方根意义为逻辑起点，通过问题链和整体思想（如视x+h为整体）培养学生推理意识与运算能力，用表格结构化呈现x²=a解的情况，课堂反馈含概念辨析与动手解方程及时巩固。学生能理解算理掌握解法，教师可借助清晰结构突出重难点提升教学效率。

苏科版九年级上册 1.2 一元二次方程的解法 第 1 课时　配方法（1） 从平方根的意义出发，探索形如 x² = a 与 (x+h)² = k 的方程解法. 1.7.2013 同学们好，上节课我们学习了一元二次方程的概念和一般形式。从这节课开始，我们学习一元二次方程的解法。本节课是第一课时，学习直接开平方法。我们将从平方根的意义出发，探索如何解形如x²=a和(x+h)²=k的方程。 ‹#› 学习目标 通过本节课的学习，你将能够： 1 理解原理：根据平方根的意义，理解配方法的算理. 2 掌握解法：会根据平方根的意义解形如 x² = a（a ≥ 0）的方程. 3 整体思想：会用整体代换解形如 (x+h)² = k（k ≥ 0）的方程. 重点：用平方根的意义解形如 (x+h)² = k（k ≥ 0）的方程的步骤与格式.　　 难点：整体思想的运用与根的情况判断. 1.7.2013 本节课有三个学习目标。第一，理解直接开平方法的原理，它来源于平方根的意义。第二，掌握形如x²=a（a≥0）的方程的解法。第三，运用整体思想解形如(x+h)²=k（k≥0）的方程。重点是直接开平方法的步骤和书写格式，难点是整体思想的运用以及判断方程有没有实数根。 ‹#› 知识回顾：你准备好了吗？ 回顾一：实数平方根的性质 正数有 两个 平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0； 负数 没有 平方根. 回顾二：下列哪些是一元二次方程？ ① x² = 4 ② 2x² + y = 5 ③ −x² ④ −2x² + 19x = 24 ⑤ x² > 0 ⑥ x² + 2x = 0.44 ⑦ x³ + x² + 1 = 4 ⑧ 4x² − 1 = 0 答案： ①④⑥⑧ 是一元二次方程 ②含两个未知数　③不是方程　⑤是不等式　⑦最高次数为3 思考引入 我们已经知道 x² = 4 是一元二次方程， 那么它的解是什么？ 根据平方根的意义，x = ±2 . 1.7.2013 上课前我们先回顾两个知识。第一，平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。第二，判断一元二次方程，答案是①④⑥⑧。②有两个未知数，③不是方程，⑤是不等式，⑦最高次数是3。然后请大家思考，x²=4的解是什么？根据平方根的意义，x等于正负2。这就是我们今天要学习的直接开平方法。橙色答案可点击显示。 ‹#› 活动一 · 探索与思考 如何解方程 x² − 2 = 0？ 这是一个一元二次方程， 它没有一次项，只有二次项和常数项. 我们已经会求一个数的平方根， 能否利用平方根的意义来解这个方程？ 关键思路：把方程化为 x² = a 的形式，再根据平方根的意义求解. 1.7.2013 现在进入活动一，探索与思考。请看这个方程x²−2=0，它是一个一元二次方程，但没有一次项，只有二次项和常数项。我们已经学过求一个数的平方根，那么能不能利用平方根的意义来解这个方程呢？关键思路是把方程化为x²=a的形式，再开平方。下一页我们来具体探究。 ‹#› 例1：怎样解形如 x²a=0 的方程？ 分析：先移项，把方程转化为 x² = a 的形式，再直接开平方. （1）x² − 16 = 0 解：移项，得 　　x² = 16 两边直接开平方，得 　　x = ± = ±4 ∴原方程的两个实数根为 x₁ = 4， 　 x₂ = −4. （2）9x² − 1 = 0 解：移项，得 　　9x² = 1 两边同除以 9，得 　　x² = 两边直接开平方，得 　　x = ± ∴原方程的两个实数根为 x₁= ，x₂= − . 1.7.2013 例1有两道题。第(1)题x²−16=0，移项得x²=16，开平方得x等于正负4，所以两个根是4和−4。第(2)题9x²−1=0，先移项得9x²=1，两边除以9得x²=1/9，再开平方得x等于正负1/3。注意第(2)题需要先把二次项系数化为1，再开平方。提醒学生书写格式要规范，移项、系数化1、开平方三步不能少。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 探究：从平方根到方程的解 第一步：填空，回顾平方根 2 的平方根是 ，　4 的平方根是 ，　0 的平方根是 . 第二步：类比，当 x² = 2 时 x 就是 2 的 ，所以 x = 第三步：写出方程 x² − 2 = 0 的解 移项得 x² = 2，利用平方根的意义得： ∴ 方程的两个根为 x₁= ，x₂ = 总结：把方程化为 x² = a 的形式，根据平方根的意义，得到 x = （a ≥ 0）. ± ± 平方根 ±2 0 ± 1.7.2013 我们分三步来探究。第一步，回顾平方根：2的平方根是正负根号2，4的平方根是正负2，0的平方根是0。第二步，类比：当x²=2时，x就是2的平方根，所以x等于正负根号2。第三步，回到方程x²−2=0，移项得x²=2，两边开平方，得到两个根x₁等于根号2，x₂等于负根号2。由此提炼出直接开平方法：把方程化为x²=a的形式，两边直接开平方。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 方法总结：方程 x² = a 的解有几种情况？ 一般地，根据平方根的意义，方程 x² = a 的解分以下三种情况： a 的取值 平方根情况 方程的解 根的个数 a > 0 a = 0 a < 0 解形如x² a=0的方程 的步骤： ① 移项：把常数项移到等号右边，化为 x² = a 的形式； ② 判断：看 a 是否非负（a ≥ 0）； ③ 利用平方根的意义：写出 ，注意两个根. x = ± 有两个平方根 互为相反数 两个不相等的 实数根 平方根为 0 x = 0 两个相等的 实数根 没有平方根 无实数根 没有实数根 1.7.2013 我们来总结方程x²=a的解的三种情况。当a大于0时，有两个不相等的实数根x等于正负根号a；当a等于0时，有两个相等的实数根x等于0；当a小于0时，没有实数根。直接开平方法分三步：第一步移项，化为x²=a的形式；第二步判断a是否非负；第三步开平方，写出两个根。特别提醒学生注意正负号不要漏掉。橙色答案可点击显示。 ‹#› 例2：括号里是代数式，还能直接开平方吗？ 关键思想：把括号内的代数式看作一个整体（设 y = x+1），方程就化为 y² = a，仍可用平方根的意义解. （1）(x + 1)² = 2 解：由平方根的意义，得 　　x + 1 = ± ∴ x = −1 ± 即 x₁ = −1 + ， 　 x₂ = −1 − 把 x+1 看作整体，利用平方根的意义解. （2）(x − 1)² − 4 = 0 解：移项，得 　　(x − 1)² = 4 由平方根的意义，得 　　x − 1 = ±2 ∴ x = 1 ± 2 即 x₁ = 3，x₂ = −1 先移项，再把 x+1 看作整体，利用平方根的意义解. 1.7.2013 例2的方程左边不是x²，而是(x+1)²或(x−1)²。这里要用到整体思想：把括号里的代数式看作一个整体，比如设y=x+1，方程就变成y²=2，就可以用例1的方法直接开平方了。第(1)题(x+1)²=2，开平方得x+1=±√2，所以x=−1±√2。第(2)题先移项得(x−1)²=4，开平方得x−1=±2，所以x=1±2，即x₁=3，x₂=−1。注意第(2)题需要先移项。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› （3）(3 − x)² − 3 = 0 解：移项，得 　　(3 − x)² = 3 两边同乘 2，得 　　(3 − x)² =, 3 − x = , ∴ x = 3 即 x₁ = 3.5，x₂ = 2.5. 展示小结 一般地，根据平方根的意义，方程 (x + h)² = k（h、k 为常数，k ≥ 0） 的两个实数根为 x = −h ± . 用平方根的意义解一元二次方程，就是将左边化为完全平方式，右边化为常数. 注意：要养成检验的习惯！ 易错提醒 ① 利用平方根的意义后不要漏掉"±"号；② 右边必须是非负数才能利用平方根的意义；③ 解要写成 x₁、x₂ 两个根的形式；④ 括号前有系数时先化系数为 1. 1.7.2013 例2第(3)题，方程是½(3−x)²−3=0。先移项得½(3−x)²=3，两边乘2得(3−x)²=6，开平方得3−x=±√6，所以x=3∓√6，即x₁=3−√6，x₂=3+√6。注意这里3−x=±√6，移项后是x=3∓√6，符号要写对。然后小结：对于方程(x+h)²=k（k≥0），解为x=−h±√k。最后提醒四个易错点：不要漏正负号、右边非负、写两个根、先化系数为1。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 活动二：这些方程有解吗？ 方程 x² = −1 和 (x + 1)² = −2 有实数解吗？请先独立思考，再小组交流. 方程一：x² = −1 ∵ 对于任意实数 x，都有 　　x² ≥ 0 而 −1 < 0 ∴ 方程 x² = −1 没有实数根. 方程二：(x + 1)² = −2 ∵ 对于任意实数 x，都有 　　(x + 1)² ≥ 0 而 −2 < 0 ∴ 方程 (x + 1)² = −2 没有实数根. 结论：能直接用平方根的意义解的方程的前提条件. 左边是完全平方式，右边必须是非负数. 即 x² = a 中 a ≥ 0，(x + h)² = k 中 k ≥ 0；若 a < 0 或 k < 0，则方程无实数根. 这就是为什么解方程前要先判断右边的符号. 1.7.2013 活动三，请大家思考这两个方程有没有实数解。第一个x²=−1，因为任何实数的平方都大于等于0，不可能等于−1，所以没有实数根。第二个(x+1)²=−2，同样，(x+1)²也是非负数，不可能等于−2，也没有实数根。由此得出结论：直接开平方法的前提是方程右边必须是非负数。在x²=a中要求a≥0，在(x+h)²=k中要求k≥0。如果右边是负数，方程就没有实数根。这也是为什么解方程前要先判断右边符号。橙色结论可点击显示。 ‹#› 课堂反馈（一）：概念辨析 1. 对于形如x+m)2=n的方程，它的解的正确表达式为( ) A. 都可以用平方根的意义求解，且 x = ± B. 当 n ≥ 0 时，x = m±. C. 当n ≥ 0 时，x = ±. D. 当n ≥ 0 时，x = ±. 2. 方程 ax² = c 有实数根的条件是（　　） A. a ≠ 0 B. ac ≠ 0 C. ac ≥ 0 D. ≥ 0 且 a ≠ 0 C D 1.7.2013 课堂反馈第一部分是两道概念辨析选择题。第1题，形如x²=a的方程，正确表达式是B：当a≥0时，x=±√a。注意a=0时方程也有解x=0，所以不能选C（只说了a>0）。A错在没有条件限制，D错在a<0时方程无实数根。第2题，方程ax²=c有实数根的条件是D：c/a≥0且a≠0。a≠0保证是一元二次方程，c/a≥0保证右边非负才能开平方。C选项ac≥0没有排除a=0的情况，不完整。橙色答案框可点击显示。 ‹#› 课堂反馈（二）：动手解方程 3. 解下列方程（先独立完成，再同桌互查） （1）x²− 16=0 解：移项，得 x² =16 ∴原方程的两个实数根为 x₁ = 4，x₂ = −4. （2）9x²− 4 = 0 解：移项，得 9x² =4 两边都除以9，得 x² = ∴ 原方程的两个实数根为x₁= ，x₂ = −. （3）(y− 1)² = 2 解：由平方根的意义，得 　　y − 1 = ± ∴ y = 1 ± ∴ 原方程的两个实数根为y₁= 1+，y₂= 1−. （4）(2x − 3)² − 5=0 解：移项，得 (2x−3)² =5 由平方根的意义，得 2x − 3 = ± ∴ 2x = 3 ± ∴原方程的两个实数根为 x₁=，x₂=. 1.7.2013 课堂反馈第二部分是4道解方程题，2×2布局。第(1)题x²=169，直接开平方得x=±13。第(2)题45−x²=0，移项得x²=45，开平方得x=±√45=±3√5，注意化简二次根式。第(3)题(x−1)²=4，把x−1看作整体，开平方得x−1=±2，所以x=3或x=−1。第(4)题(2x−1)²=3，开平方得2x−1=±√3，所以2x=1±√3，x=(1±√3)/2。这道题括号里是2x−1，开平方后需要解一元一次方程。橙色答案可逐步点击显示，建议让学生先做再公布答案。 ‹#› 课堂小结 先把方程化为“平方 = 非负数”，再用平方根的意义求解. 适用形式 ① x² = a（a ≥ 0）→ x = ± ② (x + h)² = k（k ≥ 0）→ x = −h ± 核心：整体思想，把括号看作整体. 解题步骤 ① 移项，将常数项移到右边. ② 系数化为 1（必要时）. ③ 判断右边非负 → 开平方 ④ 解一元一次方程，写出两根. 三个易错点 ① 开平方后必须写 “±”，不能只写正根； ② 右边为负数时方程无实数根，不能强行利用平方根的意义； ③ 结果要写成 x₁、x₂ 两个根的形式，养成检验习惯. 1.7.2013 课堂小结，用一句话概括本节课：直接开平方法就是把方程化为"平方等于非负数"的形式，然后两边开平方求解。适用两种形式：x²=a（a≥0）和(x+h)²=k（k≥0），后者用到整体思想。解题步骤四步：移项、系数化1、判断非负后开平方、解一元一次方程写两根。最后强调三个易错点：不要漏正负号、右边负数无实根、写两个根并检验。这页是深色背景的小结页，与引题页呼应。 ‹#› $