专题1.2 集合间的基本关系【知识清单+6大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册重难点题型精讲精练系列

本讲义聚焦集合间的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义及Venn图表示，空集的特性与子集个数结论，构建从概念理解到性质应用再到参数求解的学习支架。 资料通过知识点分层讲解与即学即练结合，题型覆盖关系判断、子集求解等六大类，以实例培养抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.2 集合间的基本关系-重难点题型精讲 知识点01：子集、真子集、集合相等 1.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. 2．子集、真子集、集合相等 定义 Venn图 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集。记作A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B(或“B包含A”) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集。记作A⫋B或BA ，读作A真包含于B(或“B真包含A”) 集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． 注：(1)注意符号“”与“”的区别. “”只用于集合与集合之间，如,而不能写成；“”只能用于元素与元素之间，如,而不能写成. (2)集合间关系的性质 ①A⊆A．②若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． ④若A⊆B,且,则A⫋B; ⑤若A⫋B,且B⫋C,则A⫋C. (3)注意符号“”与“⫋”的区别. 或A⫋B，例如，若集合，,则是的子集，也是真子集，用与A⫋B均可，但用A⫋B更准确. (4)判断集合间关系的常用方法 ①列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系 ②集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系 ③数形结合法：利用数轴或Venn图。不等式的解集之间的关系，适合用数轴法 (5)求集合的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：和自身．②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． (6)子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 【即学即练】 1．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. 知识点02：空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集. 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。可以得到： (1)空集只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集.因此，若⫋A,则一定有，反之也成立. 注：①由不能推出A就是由B中的部分元素组成的，这是因为若，则A中不含任何元素；若，则A含有B中的所有元素，也可以说集合A是B集合的子集. ②0，,,的关系： 与 与 与 相同点 都表示无意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合; 0是实数 中不含任何元素; 是含一个元素0 不含任何元素; 是含一个元素,该元素 关系 ⫋ ⫋或 【即学即练】 1．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 知识点03：已知集合关系求参数 1.已知集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系． （1）分析相等元素：首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等共有几种情况． （2）列等量关系式：然后通过列方程（组）求解． （3）分类讨论意识：当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 2.集合的关系求参 对于两个集合A和B，A或B中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： 若，在未指明A非空时，应分为和两种情况来讨论．对这种情况①若集合是用列举法表示的，由集合间的关系，可将问题转换为解方程（组）求解②若集合是用描述法表示的，常需要借助数轴将问题转换为不等式（组）求解，此时需要注意端点值能否取到． 【即学即练】 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，且，则　________　. 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 题型01 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【答案】B 【分析】将每个集合中的元素表达式统一为分母为 6 的形式，研究分子即可判断. 【详解】对于集合 A：，其中 ， 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 6 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 B：，其中 . 因此，， 分子集合为 . 化简：，令 ， 则 ，即所有除以3 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 C：，其中 . 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 3 余 1 的整数. 和 都表示除以3 余 1 的整数集合，因此 。 由于分母相同（均为 6），所以 ； 是除以 6 余 1 的整数集合， 因为， 所以除以6 余 1 的数一定除以3 余 1， 但除以3 余 1 的数不一定除以6 余 1， 所以且. 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课后作业）用“”，“”，“⫋”，“⫌”或“=”填空    （1）5_______                     （2）__________           （3）Z_________N                    （4）Z__________Q （5）________             （6）_________ 【答案】 = ⫌ ⫋ ⫌ = 【分析】根据元素和集合，集合与集合之间的关系进行填空即可 【详解】（1）；（2）；（3）⫌；（4）⫋； （5）⫌；（6） 故答案为：，=，⫌，⫋，⫌，= 3．（25-26高一上·全国·初升高衔接）（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 【答案】AB 【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误． 对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确． 故选：AB. 4．（25-26高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 题型02 求集合子集或真子集 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】集合A的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}； 集合A的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 【分析】按含集合中的元素个数分类顺序依次写出子集，进而写出所有真子集． 【详解】由0个元素构成的子集：； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1，2}，{1，3}，{2，3}； 由3个元素构成的子集：{1，2，3}． 因此集合A的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}； 集合A的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 6．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 7．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【分析】先确定集合中的元素个数，对于集合中的任意一个元素，其余个元素每个都有“选”和“不选”两种情况，即可得到任意一个元素所在所有子集中出现的次数，进而可求解. 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【详解】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 题型03 判断集合子集或真子集的个数 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）满足⫋⊆的集合M有几个？ 【答案】7个 【分析】根据给定条件，确定集合中元素情况，再按含有的元素个数依次写出即可. 【详解】依题意，，集合中至少含有中的一个， 集合中含有3个元素时：； 含有4个元素时：；含有5个元素时：， 所以集合M共有7个． 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【答案】子集8个，真子集7个，非空真子集6个 【分析】非空集合中有个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为. 【详解】集合，有3个元素， 所以子集有个；真子集有个；非空真子集有个. 综上，集合，子集有8个，真子集有7个，非空真子集有6个. 12．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 题型04 集合的相等的问题 13．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素无序性和集合相等判断①；根据子集定义判断②；根据空集的性质判断③和④；根据元素与集合关系判断⑤. 【详解】①：集合的元素具有无序性，和的元素完全相同，两集合相等，正确； ②：任何集合都是自身的子集，故正确； ③：是包含元素0的非空集合，不含任何元素，二者不相等，故错误； ④：空集是任何集合的子集，故正确； ⑤：0是集合中的元素，故正确. 15．（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）若，.当时，（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的概念结合集合元素的互异性列式求值. 【详解】因为，且，，所以，所以； 所以，， 又，所以或. 由且得方程无解； 由且得. 所以. 故选：A 16．（25-26高一上·陕西·阶段检测）若，则______． 【答案】/ 【分析】结合集合元素的互异性，利用集合相等得，然后将和分别代入检验，即可求解. 【详解】由元素的互异性可得，故，故， 故，则或. 当时，； 当时，，，符合题意. 所以． 故答案为： 题型05 空集的相关问题 17．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）下列写法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于AB，因为集合中只有一个元素， 所以，，故A错误，B正确； 对于CD，是不含任何元素的集合， 所以，，故CD错误. 18．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 20．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 题型06 根据集合的包含关系求参数 21．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据真子集关系，分类讨论集合B是否为空集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 23．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 24．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 【答案】D 【详解】对于①：因为，故①不正确； 对于②：因为，故②不正确； 对于③：因为，故③不正确； 对于④：把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确. 对于⑧：因为；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）集合，则M的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合中元素的个数，再根据子集个数的公式计算得到答案． 【详解】由题可知，，则M的子集个数为， 故选：B． 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）集合M满足，则集合M的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用子集的概念直接求解即可． 【详解】方法一：∵集合M满足， ∴满足条件的集合M有 共8个， 方法二：∵集合M满足， 则集合M中必有元素，其余元素构成的集合为的子集， 所以集合M的个数为. 故选：D. 5．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 6．（25-26高二上·广东·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的情况，进行分类讨论，求出参数. 【详解】解方程，得，若，则，，时符合， 当时，， 当时，， 当时，， 可知的所有可能取值构成的集合为. 故选：D. 7．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】由B为A的子集， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，. 故选：C 8．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）（多选）已知集合，且，则实数的可能取值为（    ） A．0 B．2 C．−2 D．4 【答案】ABC 【分析】根据集合间的包含关系，结合元素的互异性，分类讨论即可求解. 【详解】因为，则必须是集合中的元素， 因为，由集合中元素的互异性，则 ， 则时，解得或； 当，则，满足； 当，则，满足； 时，解得或； 当，则，满足； 当，则，不满足集合中元素的互异性，舍去； 综上，实数的可能取值为2，，0. 故选：ABC. 9．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知集合，则（    ） A． B．A有16个真子集 C．A中有3个元素 D． 【答案】AD 【考查点】利用元素与集合，集合与集合之间的基本关系来作出判断即可． 【详解】由题得，则，故A正确； A有个真子集，故B错误． A中有4个元素，故C错误； ，故D正确； 故选：AD 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】讨论A是否为空集，解相应的不等式，综合可得答案. 【详解】当，即时，； 当，即时，，      要使，须有，解得，即， 综上可知，，结合选项可知a的值可取2，4，7， 故选：ABC 11．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为______． 【答案】14 【分析】解不等式并应用列举法确定集合中元素的个数，进而求非空真子集个数. 【详解】由，得， 由得，其元素个数为4， 故非空真子集个数为. 故答案为：14 12．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，若集合，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据集合相等，结合集合的确定性、互异性，分析求解，即可得答案. 【详解】根据题意，，，所以， 故，则， 故，则，解得． 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以． 故答案为：1 13．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 【答案】7 【分析】由，得中含有，再结合的真子集即可求解. 【详解】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 14．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 15．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系-重难点题型精讲 知识点01：子集、真子集、集合相等 1.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. 2．子集、真子集、集合相等 定义 Venn图 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集。记作A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B(或“B包含A”) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集。记作A⫋B或BA ，读作A真包含于B(或“B真包含A”) 集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． 注：(1)注意符号“”与“”的区别. “”只用于集合与集合之间，如,而不能写成；“”只能用于元素与元素之间，如,而不能写成. (2)集合间关系的性质 ①A⊆A．②若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． ④若A⊆B,且,则A⫋B; ⑤若A⫋B,且B⫋C,则A⫋C. (3)注意符号“”与“⫋”的区别. 或A⫋B，例如，若集合，,则是的子集，也是真子集，用与A⫋B均可，但用A⫋B更准确. (4)判断集合间关系的常用方法 ①列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系 ②集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系 ③数形结合法：利用数轴或Venn图。不等式的解集之间的关系，适合用数轴法 (5)求集合的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：和自身．②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． (6)子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 【即学即练】 1．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 知识点02：空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集. 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。可以得到： (1)空集只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集.因此，若⫋A,则一定有，反之也成立. 注：①由不能推出A就是由B中的部分元素组成的，这是因为若，则A中不含任何元素；若，则A含有B中的所有元素，也可以说集合A是B集合的子集. ②0，,,的关系： 与 与 与 相同点 都表示无意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合; 0是实数 中不含任何元素; 是含一个元素0 不含任何元素; 是含一个元素,该元素 关系 ⫋ ⫋或 【即学即练】 1．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 知识点03：已知集合关系求参数 1.已知集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系． （1）分析相等元素：首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等共有几种情况． （2）列等量关系式：然后通过列方程（组）求解． （3）分类讨论意识：当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 2.集合的关系求参 对于两个集合A和B，A或B中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： 若，在未指明A非空时，应分为和两种情况来讨论．对这种情况①若集合是用列举法表示的，由集合间的关系，可将问题转换为解方程（组）求解②若集合是用描述法表示的，常需要借助数轴将问题转换为不等式（组）求解，此时需要注意端点值能否取到． 【即学即练】 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，且，则　________　. 题型01 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 2．（25-26高一上·全国·课后作业）用“”，“”，“⫋”，“⫌”或“=”填空    （1）5_______                     （2）__________           （3）Z_________N                    （4）Z__________Q （5）________             （6）_________ 3．（25-26高一上·全国·初升高衔接）（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 4．（25-26高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 题型02 求集合子集或真子集 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）写出集合的所有子集和真子集． 6．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 7．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 题型03 判断集合子集或真子集的个数 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）满足⫋⊆的集合M有几个？ 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 12．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 题型04 集合的相等的问题 13．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 15．（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）若，.当时，（    ） A． B．0 C．1 D．2 16．（25-26高一上·陕西·阶段检测）若，则______． 题型05 空集的相关问题 17．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）下列写法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 20．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 题型06 根据集合的包含关系求参数 21．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，且B，求实数的取值范围. 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 23．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）集合，则M的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）集合M满足，则集合M的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 5．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 6．（25-26高二上·广东·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合为（  ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）（多选）已知集合，且，则实数的可能取值为（    ） A．0 B．2 C．−2 D．4 9．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知集合，则（    ） A． B．A有16个真子集 C．A中有3个元素 D． 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 11．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为______． 12．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，若集合，则的值为________． 13．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 14．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 15．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $