1.3 集合的基本运算 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的并集、交集、补集运算，通过复习集合基本关系，以“合并集合”实例激活元素互异性认知，衔接集合表示与关系旧知，自然引出新知，搭建知识支架。 此资料以Venn图和数轴为直观工具，结合“或”“且”逻辑辨析，通过连续数集端点问题（如例2数轴表示开闭口）渗透数形结合思想，运用启发探究法，容斥原理例6培养数学运算与逻辑推理，助力学生提升直观想象能力，为教师提供清晰教学流程与易错点指导。

人教A版 高一 数学 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 1.3 集合的基本运算 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 教材版本 人教A版 必修第一册 章节 第一章 1.3 集合的基本运算 课题名 集合的基本运算 课型 新授课 课时 1课时 教学方法 启发讲授与探究发现相结合 教学手段 Venn图、数轴图示 授课对象 高一学生 学情分析 已掌握集合表示与基本关系 认知基础 能识别元素与集合的从属 潜在困难 连续数集端点开闭处理 教材分析 承前：集合表示与关系；启后：函数定义域与不等式解集 知识地位 集合语言核心工具 思想方法 数形结合与分类讨论 重点难点 重点：并集、交集、补集定义与符号 难点 或与且的逻辑辨析与端点处理 关键 Venn图与数轴的直观转化 教学准备 课件、直尺、投影设备 作业布置 教材课后练习与补充题 板书规划 定义公式区与例题演练区 教学反思 关注数轴端点开闭易错点 改进方向 增加连续数集对比练习 评价方式 课堂练习反馈与课后作业 教学目标 （1）理解并集、交集、全集与补集的概念，掌握A∪B、A∩B、∁UA的符号表示与集合读法，能准确用集合语言表述A∪B={x|x∈A，或x∈B}、A∩B={x|x∈A，且x∈B}及∁UA={x|x∈U，且x∉A}，发展数学抽象与逻辑推理素养。 （2）能借助Venn图与数轴求简单集合的并集、交集与补集，掌握A∪A=A、A∪∅=A、A∩A=A、A∩∅=∅等基本运算性质，能运用容斥原理card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)解决有限集元素计数问题，提升直观想象与数学运算能力。 教学内容 本节围绕集合的基本运算展开，核心知识涵盖并集、交集、全集与补集四大概念及其运算性质。并集强调"或"的归属，交集强调"且"的归属，补集则依赖全集的界定。教学需借助Venn图直观展示运算结果的区域，同时利用数轴处理连续数集的端点开闭问题，确保学生区分实心与空心端点的含义。此外，通过几何关系刻画与容斥原理的阅读思考，渗透数形结合与分类讨论思想，为后续函数定义域及不等式解集的集合表达奠定工具基础。 教学重点 重点：并集、交集、补集的定义与符号表示，Venn图与数轴两种直观工具的运用，全集概念的建立。 难点：对"或"与"且"逻辑联结词的理解，含参数及连续数集运算时的端点开闭处理，补集相对全集的依赖性，容斥原理的应用。 教学过程 （1）复习引入。教师回顾实数运算与集合基本关系，提出问题：已知集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，能否仿照实数加法构造一个"合并"集合？引导学生观察两集合元素并尝试写出合并结果。预设学生回答：合并后集合为{1,2,3,3,4,5}或{1,2,3,4,5}。教师追问：3是否重复出现？集合元素互异性如何约束？预设回答：元素不重复，应写为{1,2,3,4,5}。设计意图：以旧引新，激活互异性认知，自然引出并集概念。 （2）探究并集概念。教师给出定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作"A并B"），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}。强调"或"的含义为满足其一即可，公共元素仅出现一次。教师板演Venn图，用阴影覆盖A与B的合并区域。师生共同归纳性质：A∪A=A；A∪∅=A。设计意图：定义先行，图示辅助，性质归纳水到渠成。 （3）并集例题与数轴应用。例1：设A={4,5,6,8}，B={5,7,8,10}，求A∪B。解：A∪B={4,5,6,7,8,10}，公共元素5、8只列一次。例2：设A={x|−1<x<2}，B={x|1≤x≤3}，求A∪B。解：将A、B表示在数轴上，A为开区间(−1,2)，B为闭区间[1,3]，两区间重叠部分为[1,2)，取并集后覆盖从−1到3的全部范围。端点−1为空心取不到，端点3为实心取得到，故A∪B={x|−1<x≤3}。 图说明：上方线段表示集合A，端点−1与2均为空心；下方线段表示集合B，端点1与3均为实心。 （4）探究交集概念。教师提问：若只取两集合的公共元素，结果如何？以A={1,2,3}、B={3,4,5}为例，预设学生回答：公共元素为3，所得集合{3}。教师给出定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B（读作"A交B"），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}。强调"且"表示同时属于。Venn图用阴影标出两圆重叠区域。性质归纳：A∩A=A；A∩∅=∅。设计意图：与并集对照，凸显"或"与"且"的逻辑差异。 （5）交集例题与几何刻画。例3：设A={x|−1<x<2}，B={x|1≤x≤3}，求A∩B。解：在数轴上取两区间重叠部分，左端取较大者1（B的实心端），右端取较小者2（A的空心端），故A∩B={x|1≤x<2}。例4：设L₁={直线l₁上的点}，L₂={直线l₂上的点}，用集合运算刻画两直线位置关系。解：相交于点P⇔L₁∩L₂={点P}；平行⇔L₁∩L₂=∅；重合⇔L₁∩L₂=L₁=L₂。设计意图：连续数集端点辨析与几何关系集合化表达，深化交集工具价值。 （6）探究全集与补集。教师指出：方程x²−2=0的解集在有理数集Q内为∅，在实数集R内为，说明研究范围影响结果。由此引出：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。进一步给出补集定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA={x|x∈U，且x∉A}。Venn图用矩形表示全集U，圆内为A，圆外区域表示∁UA。设计意图：以实例凸显全集必要性，补集定义紧随其后。 （7）补集例题。例5：设U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,3,5,7}，B={2,4,6}，求∁UA与∁UB。解：∁UA={2,4,6,8}，∁UB={1,3,5,7,8}。教师追问：若全集改为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁UA结果是否变化？预设回答：变化，∁UA={2,4,6,8,9,10}。设计意图：强化补集对全集的依赖性。 （8）容斥原理阅读与思考。教师介绍：含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数。一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)。例6：某班45人，参加数学竞赛30人，参加物理竞赛25人，两科都参加12人，求至少参加一科的人数。解：card(A∪B)=30+25−12=43（人）。答案：43人。设计意图：渗透计数思想，拓展运算应用。 （9）巩固练习。练习1：设A={x|2≤x<5}，B={x|3<x≤7}，求A∪B与A∩B。解：A∪B={x|2≤x≤7}，A∩B={x|3<x<5}。练习2：设U={x|1≤x≤10，x∈N}，A={2,4,6,8}，求∁UA。解：∁UA={1,3,5,7,9,10}。练习3：判断下列命题真假。（①）A∪B的元素一定比A或B多。（②）若A∩B=A，则A⊆B。解：①假，当B⊆A时A∪B=A，元素个数不增加；②真，A∩B=A表明A的元素全在B中，即A⊆B。 （10）课堂小结。教师引导学生梳理：并集用"或"联结，交集用"且"联结，补集依赖全集界定；Venn图适合离散集合，数轴适合连续数集且需关注端点开闭；容斥公式card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)用于有限集计数。预设学生回答要点：三种运算的定义式与性质，数轴端点实心取到、空心取不到。 （11）布置作业。作业1：教材课后练习题。作业2：设全集U=R，A={x|x<1}，B={x|x≥3}，求A∪B、A∩B及∁UA。解：A∪B={x|x<1或x≥3}；A∩B=∅；∁UA={x|x≥1}。作业3：设U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,4,6}，验证card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)。解：A∪B=U，card(A∪B)=6，card(A)=3，card(B)=3，card(A∩B)=0，3+3−0=6，等式成立。 学科网（北京）股份有限公司 $