精品解析：北京市清华附中朝阳学校2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题

2026清华附朝阳学校高三上开学考 一、选择题（每题5分，共50分） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ）. A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，则图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 函数的定义域为______． 12. 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边过点，则________． 13. 当=__________时，函数在区间上单调．（写出一个值即可）． 14. 如图，△是边长为的等边三角形，P是以C为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围为__________. 15. 设，关于的方程的实根个数记为，若，则______________；已知，若存在使得，则的取值范围是______________. 16. 某公园草坪上有一扇形小径（如图）,扇形半径为,中心角为,甲由扇形中心出发沿以每秒2米的速度向快走,同时乙从出发,沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑,记秒时甲、乙两人所在位置分别为,，通过计算，判断下列说法是否正确： （1）当时，函数取最小值； （2）函数在区间上是增函数； （3）若最小，则； （4）在上至少有两个零点； 其中正确的判断序号是______（把你认为正确的判断序号都填上） 三、解答题（共70分，13，13，14，15，15） 17. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 18. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，，． （1）求，，的值； （2）写出函数的单调区间； （3）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使为偶函数，直接写出一个满足题意的值． 条件①：；条件②：． 19. 已知椭圆经过点和点. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设点关于原点的对称点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，且与直线交于椭圆内的点.设的面积和的面积分别为和，若，求直线的斜率. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 21. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026清华附朝阳学校高三上开学考 一、选择题（每题5分，共50分） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 2. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A，由的定义域为，所以，即函数值域为，故A错误； 选项B，由的定义域为，所以， 所以函数值域为：，故B错误； 选项C，由的定义域为，此时函数值域为，故C错误； 选项D，由的定义域为，此时， 所以函数值域为，故D正确. 3. 已知向量，，若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列式可求，再利用二倍角的余弦公式求值即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】取，，， 则，但，此时， 即“”“”； 取，，则，， 则，但，此时， 即“”“”. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图像向右平移个单位后所得函数为 ，令，所以 故选C 6. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的图象与性质可判断A；结合函数的图象与性质可判断B；举出反例说明可判断C；利用作差法可判断D. 【详解】实数，满足，则， 对于A，因为在不单调， 所以、、都有可能，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，所以，故B错误； 对于C，取，，，故C错误； 对于D，， 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：D 7. 已知函数，，则图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项AB，利用奇偶函数的定义得解；选项C，利用奇偶函数的定义得到是奇函数，利用导数法得到在上单调递增，从而得解；根据排除法可判断ABC不符题意. 【详解】选项A：设，定义域为， ， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项A错误. 选项B：设， 奇偶性：， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项B错误. 选项C：设， ， 则是奇函数，符合对称性. ， 在上恒成立，函数在上单调递增， 与图像先增后减不符，选项C错误. 因此排除ABC，只有D符合题意. 8. 某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，判断其单调性，通过变形将不等式转化为求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递增. . 由，所以， 即，因为在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围是. 9. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 10. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用正、余弦定理，结合基本不等式即可求得这个四边形面积的最大值. 【详解】依题意圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设， 如下图所示， 由且，得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以， 得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积为. 故选：C. 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域. 【详解】由题设有，故， 故答案为：. 12. 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据任意角正切函数的定义求出，再代入二倍角的正切公式计算即可得解. 【详解】根据任意角三角函数的定义，角终边过点，其中横坐标，纵坐标，因此 ， 由二倍角的正切公式可得. 13. 当=__________时，函数在区间上单调．（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先由的取值范围，求出的取值范围，再由函数在区间上单调，得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以 要使函数在区间上单调， 不妨令，解得，即 故答案为： 14. 如图，△是边长为的等边三角形，P是以C为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点D，连接，利用向量数量积的运算律有，进而可得，结合几何图形即可求的范围. 【详解】如图，取的中点D，连接. ∵，，则， ∴， ∴，， ∴的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律得，进而有，即可求数量积的范围. 15. 设，关于的方程的实根个数记为，若，则______________；已知，若存在使得，则的取值范围是______________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】令，根据函数的值域为可得；分、讨论结合的图象可得的取值范围. 【详解】令， 函数的值域为，并且函数是单调递增函数， 故方程，只有一个解，故，可得； 当时，即，的图象如下， 显然存在使得；. 当时，即，的图象如下， 要想存在使得，只需， 即,得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 16. 某公园草坪上有一扇形小径（如图）,扇形半径为,中心角为,甲由扇形中心出发沿以每秒2米的速度向快走,同时乙从出发,沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑,记秒时甲、乙两人所在位置分别为,，通过计算，判断下列说法是否正确： （1）当时，函数取最小值； （2）函数在区间上是增函数； （3）若最小，则； （4）在上至少有两个零点； 其中正确的判断序号是______（把你认为正确的判断序号都填上） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系,根据题意求出两点坐标,求出,并计算出的值,对四个选项逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系, 因为甲由扇形中心出发沿以每秒2米的速度向快走,所以, 乙从出发,沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑,所以,因此,其中 , 当时，因为,所以此时函数不是最小值； 当时,当时，结合图象可得M向左上方移动，而N沿x正半轴向右边移动，因此MN越来越大，增函数 由于当时，，而所以若最小，则； 由得，因为，所以时，存在，即在上至少有两个零点； 故答案为②③④ 【点睛】本题考查了应用数学运算研究函数性质,考查了数学建模能力. 三、解答题（共70分，13，13，14，15，15） 17. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得， 故边上的高为． 18. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，，． （1）求，，的值； （2）写出函数的单调区间； （3）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使为偶函数，直接写出一个满足题意的值． 条件①：；条件②：． 【答案】（1），， （2）递增区间：,递减区间： （3）条件①： ；条件②： (答案不唯一) 【解析】 【分析】（1）运用正弦型函数的周期性质：相邻两个零点的水平距离为半个周期，由间距算出周期，再由得；结合最高点在相邻零点中垂线上的性质推导，最后代入最值条件结合范围求解参数； （2）运用正弦函数的单调区间性质，将整体代入的增减区间不等式，解出的范围，得到的全体单调递增、递减区间； （3）运用偶函数的性质：正弦型函数为偶函数时，相位需满足函数图像关于对称，即相位的余式为，推导得到的通解，再根据或的限定，选取符合条件的取值即可. 【小问1详解】 由题可知相邻两个零点和的间距恰好为半个周期： 即，，代入得：， 点在零点左侧位置，故 将点代入得： 即，结合，解得： 故函数解析式为：， 验证：代入点：，符合； 代入点：，符合. 【小问2详解】 由（1）可得：，令： 当，时单调递增， 即， 整理得递增区间：, 当时单调递减， 即， 整理得递减区间： 【小问3详解】 使为偶函数则需满足， 整理得： 条件①：，取，； 条件②：，取，. 19. 已知椭圆经过点和点. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设点关于原点的对称点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，且与直线交于椭圆内的点.设的面积和的面积分别为和，若，求直线的斜率. 【答案】（1）， （2）0 【解析】 【分析】（1）根据题意有，解出即可得椭圆的方程，进而得离心率； （2）连接，由，得，进而得，点与点关于原点对称，得，进而得，得直线的方程，与椭圆方程联立即可得点坐标，进而求解. 【小问1详解】 由已知有： ，解得， 所以椭圆方程为， 所以， 所以离心率； 【小问2详解】 连接，因为， 所以，即， 所以点和点到直线的距离相等， 由题意，点与点在直线的同侧， 所以， 因为点与点关于原点对称，所以， 又，所以， 所以， 直线的方程为，即， 由可得， 得或， 当时，，得， 当时，点与点重合，不合题意. 所以直线的斜率为0. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 21. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】（1） 集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明如下： 由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $