精品解析：黑龙江省绥化市望奎县五中 等校2026-2027学年九年级上学期联考开学摸底考试数学试题

初四摸底考试 数学试题 温馨提示：1.考试时间为90分钟. 2.全卷共有三道大题，总分为120分. 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误； 选项B：，∴，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，，∴，D错误． 2. 下列根式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 3. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵，三角形内角和为， ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形，故B选项符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的体育成绩是（ ）分． A. 91.5 B. 90 C. 88.5 D. 87 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 早锻炼及体育课外活动成绩占比，期中考试成绩占比，期末考试成绩占比， 三项成绩依次为，， ∴ 本学期体育成绩为： （分）． 6. “百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据小雅的速度的变化判断即可． 【详解】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加； 途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行； 最后150米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡． 故选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键． 7. 如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. C. 8cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 8. 甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差s甲2与s乙2的大小关系是（　　） A. s甲2＜s乙2 B. s甲2＞s乙2 C. s甲2＝s乙2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用折线统计图可判断甲日平均气温波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得甲日平均气温波动较大， ∴s甲2＞s乙2， 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 9. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的概念与结构，统计量的识别，准确识别箱线图中各部分对应的统计量是解题关键． 根据箱线图的结构，可直接读取下四分位数、中位数、最大值等统计量，但平均数没有体现． 【详解】解：据图可知，该箱线图的最大值为，下四分位数为，中位数为，没有体现平均数． 故选：． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤的最小值为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形性质证，得，由矩形性质得，从而判断①；由全等和矩形性质导角判断③④；根据垂线段最短求最小值判断⑤；根据点运动情况判断②． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ，故①正确； ， ，即， ，故④正确； 延长交于，交于， ， ， ∵， ， ，即，故③正确； 为动点，与不一定相等，故②错误； ∵，即求最小值， 当时，最小，此时为中点， ， ， ， 的最小值为，故⑤错误． 二、填空题（每空3分，共30分） 11. 在中，x的取值范围为______． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足以下条件： 且， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 12. 若与最简二次根式可以合并，则_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识点，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． 先对二次根式进行化简，再根据同类二次根式可以合并，列出方程求解即可． 【详解】解：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得， 故答案为：1． 13. 菱形中，对角线，则菱形的高等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE． 【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高， ∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24， ∴OB=BD=12，OA=AC=5， 在Rt△ABO中，AB=BC==13， ∵S菱形ABCD=， ∴， 解得：AE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直． 14. 若数据2，，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值，众数的概念，先根据数据2，，4，8的平均数是4，得出，根据出现次数最多的数为众数进行作答即可． 【详解】解：∵数据2，，4，8的平均数是4， ∴， ∴， ∴数据2，2，4，8的众数是2， 故答案为：2 15. 已知正比例函数的图象经过点，，，如果，那么______（填“”“”“”） 【答案】> 【解析】 【分析】先求出正比例函数的比例系数，根据系数的符号判断函数增减性，再比较和的大小． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为（）， ∵函数图象经过点， ∴将点坐标代入解析式得，解得， ∴该正比例函数中，随的增大而减小， ∵， ∴． 16. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 17. 如图，在长方形中，连接，分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M．若．则的长为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据题意可知是线段的垂直平分线，则，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象得，当时，函数的图象在函数的图象上方或重合， ∴关于x的不等式的解集是． 19. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm． 【答案】 【解析】 【分析】由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股定理既可以求解。 【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，，四边形ABCD是矩形， ∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA， ∵AF=2EF， ∴AF=6cm， ∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=DF，， ∴∠ADE=∠DEC=∠DEF， ∴AD=AE=9cm， ∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2 ∴62+DF2=92， ∴DF= (cm)， AB=DF= (cm)， 故答案为∶． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，并且，，…，分别与x轴垂直，，，…分别与直线垂直，若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可证明是等腰直角三角形，，则可推出，据此求出的长，证明是等腰直角三角形，得到，据此根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∵，轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵与直线垂直， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ……， 以此类推可知，， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴． 三、解答题（共54分） 21. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 原式； 【小问2详解】 解： 原式    ． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】ab，4 【解析】 【分析】把分母分解为，利用通分进行括号里分式的计算，再用分式的除法法则进行计算，最后代入求值； 【详解】解：原式． 当，时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键用平方差公式进行因式分解，按照运算法则进行计算． 23. 3月21日是世界睡眠日，某调查小组为了了解我校九年级学生的睡眠情况，随机抽取了若干名我校九年级学生每日的睡眠时间x（小时）进行调查，将调查结果进行整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D（），并将统计的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 根据所给信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图；在扇形统计图中，______； （2）此次调查中，九年级学生每日睡眠时间的中位数落在______组﹔ （3）若九年级共有1500名学生，请你估计这个年级有多少名学生的日睡眠时间不低于6小时． 【答案】（1） ， 补全条形统计图如下： （2）C （3）这个年级约有1335名学生的日睡眠时间不低于6小时 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. （1）根据组的人数和所占的百分比求出总人数，利用总人数减去的人数即可得到的人数，即可补全条形统计图，利用的人数除以总人数即可得到的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘以和的比例即可. 【小问1详解】 调查的总人数为' (人), 组的人数有 (人) ∴， ， 故答案为: ； 【小问2详解】 此次调查中，九年级学生每日睡眠时间的中位数是从小到大排列后第，个数据的平均数，而这两个数据都在组，所以中位数落在组； 故答案为:； 【小问3详解】 (名), 答：估计这个年级有名学生的日睡眠时间不低于小时. 24. 在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF． （1）求证：四边形DFBE是矩形； （2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）CD＝8 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，先证明四边形DFBE是平行四边形，再根据矩形的定义即可得到结论； （2）由矩形的性质得DE＝BF，由角平分线的定义得到∠DCF＝∠BCF，由平行线的性质得到∠DCF＝∠CFB，证出BF＝BC＝5，进而得到结论． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AF＝CE， ∴FB＝ED． ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°． ∴平行四边形DFBE是矩形； （2）∵四边形DFBE是矩形， ∴DE＝BF， ∵CF平分∠DCB， ∴∠DCF＝∠BCF， ∵AB∥CD， ∴∠DCF＝∠CFB， ∴∠BCF＝∠CFB， ∴BF＝BC＝5， ∴DE＝BF＝5， ∴CD＝DE+CE＝5+3＝8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意在几何图形中当平行线遇上角平分线时，容易得到等腰三角形，要深刻领会． 25. 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． （1）每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ （2）该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元 （2）①；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． （1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出； ②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元． 依题意，得解得 答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元． 【小问2详解】 ①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个． ， 即． ②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半， ，解得． 随的增大而增大，为整数， 当时，（元）． 答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元． 26. 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图），证明． （2）当绕点旋转到时（如图），线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （3）当绕点旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． 【答案】（1） 证明：如图，连接，交于点． 四边形为正方形， 且， ，且平分， 且， ∴ ， ，即， ， 在和中， ， ，同理可得， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ． （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， 和中， ， ，， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，证明根据全等三角形的性质，同理可得，则可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）证明，根据全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 27. 在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）点是轴上一点，且，写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】首先求出，然后利用待定系数法解答即可； 先求出，，然后通过即可求解； 设，则，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 设，将代入得，解得， ∴的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， 令，则，得；令，； ∴，， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴设， ∴， ∴，解得或， ∴坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四摸底考试 数学试题 温馨提示：1.考试时间为90分钟. 2.全卷共有三道大题，总分为120分. 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的体育成绩是（ ）分． A. 91.5 B. 90 C. 88.5 D. 87 6. “百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. C. 8cm D. 8. 甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差s甲2与s乙2的大小关系是（　　） A. s甲2＜s乙2 B. s甲2＞s乙2 C. s甲2＝s乙2 D. 无法确定 9. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤的最小值为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（每空3分，共30分） 11. 在中，x的取值范围为______． 12. 若与最简二次根式可以合并，则_____________. 13. 菱形中，对角线，则菱形的高等于___________． 14. 若数据2，，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是______________． 15. 已知正比例函数的图象经过点，，，如果，那么______（填“”“”“”） 16. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 17. 如图，在长方形中，连接，分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M．若．则的长为______． 18. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是________． 19. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，并且，，…，分别与x轴垂直，，，…分别与直线垂直，若，则的面积为________． 三、解答题（共54分） 21. 计算： （1）． （2）． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 3月21日是世界睡眠日，某调查小组为了了解我校九年级学生的睡眠情况，随机抽取了若干名我校九年级学生每日的睡眠时间x（小时）进行调查，将调查结果进行整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D（），并将统计的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 根据所给信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图；在扇形统计图中，______； （2）此次调查中，九年级学生每日睡眠时间的中位数落在______组﹔ （3）若九年级共有1500名学生，请你估计这个年级有多少名学生的日睡眠时间不低于6小时． 24. 在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF． （1）求证：四边形DFBE是矩形； （2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长． 25. 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． （1）每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ （2）该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图），证明． （2）当绕点旋转到时（如图），线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （3）当绕点旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． 27. 在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）点是轴上一点，且，写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $