精品解析：黑龙江哈尔滨市德强学校2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　　） A. 156° B. 78° C. 39° D. 12° 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ） A. 2m B. 2m C. m D. m 8. 下列语句中正确的有（ ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在半径为的中，经过点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若tan（a+10°）=，则锐角a=____． 12. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 13. 一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是______cm． 14. 如图，为的直径，弦于点，若，则的长为______． 15. 二次函数的最小值是______． 16. 如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 17. 已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 18. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____． 19. 已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 20. 如图，在中，，过点A作交的延长线于点M，取的中点N，过点N作交于点D，且，则下列结论：①；②；③；④若的长为，则的长为．其中正确结论的序号为___________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点，B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个以线段为一边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为4； （2）在图2中画一个钝角三角形，点E在小正方形的顶点上，且三角形面积为4，．请直接写出的长． 23. 我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校1100名学生中随机抽取一部分人进行“安全防火，警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”、“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图． （1）本次活动共抽取了多少名同学？ （2）补全条形统计图； （3）根据以上调查结果分析，估计该校1100名学生中，对“安全防火”知识了解较差的学生约有多少名． 24. 已知：中，，． （1）求证：； （2）连接，当时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与互补的角． 25. 在运动会前夕，光明中学购买篮球、足球作为奖品；若购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元． （1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元： （2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1150元，则最多可购买多少个篮球？ 26. 已知：四边形内接于，点是弧的中点，过点作的切线交弦的延长线于E． （1）求证：； （2）弦和弦相交于点，求证：； （3）延长交于点，若，，，求的长度． 27. 如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2. 在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】在Rt△ABC中,∠C=,BC=3,AB=5,得 故选D. 【点睛】考查锐角三角函数，掌握余弦的定义是解题的关键. 3. 如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　　） A. 156° B. 78° C. 39° D. 12° 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠BOC=78°， ∴∠BAC=∠BOC=39°． 故选：C． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 5. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B． 考点：解直角三角形的应用. 6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为， 故选：． 7. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ） A. 2m B. 2m C. m D. m 【答案】A 【解析】 【详解】建立如图所示直角坐标系： 可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–， ∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A． 8. 下列语句中正确的有（ ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①∵直径的两端点在圆上，是连接圆上两点的线段，∴直径是弦，①正确； ②∵圆的对称轴是直线，直径是线段，∴②错误； ③∵三角形的外心到各顶点的距离相等，∴到各边距离相等的结论不成立，③错误； ④∵当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴④错误； ⑤∵同圆中一条弦所对的圆周角有两类，两角互补，∴相等的弦所对的圆周角不一定相等，⑤错误； 综上，正确的语句共1个． 9. 如图，在半径为的中，经过点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC，根据题意可以得到AB是圆的直径，从而得到∠ACB=90°，AB=10，即可得到，利用勾股定理求出BC的长即可得到答案. 【详解】解：如图所示，连接BC， ∵AB经过O点， ∴AB是圆的直径，圆的半径为5， ∴∠ACB=90°，AB=10， ∴， ∵∠A=∠D， ∴， 故选B. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，正切值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 当时，在上， 菱形中，，， ∴，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， ∴ 当时，在上， ∴， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若tan（a+10°）=，则锐角a=____． 【答案】 【解析】 【分析】由列得a+10=60，解方程求出a. 【详解】∵，tan（a+10°）= ∴a+10=60， 解得a=， 故答案为：. 【点睛】此题考查锐角三角函数值，一元一次方程的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 12. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 13. 一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，得，化简可得r. 【详解】设这个扇形的半径是rcm． 根据扇形面积公式，得， 解得r=±6（负值舍去）， 所以，r= 故答案为 【点睛】本题考核知识点：扇形面积. 解题关键点：熟记扇形面积公式. 14. 如图，为的直径，弦于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆的基本性质、垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先求出圆的直径、半径，再根据垂径定理得到，结合勾股定理得到即可求解． 【详解】解：连接， ，， 直径， 半径， ， ，是直径， ， 中，有， ， ． 故答案为：． 15. 二次函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小值公式是解题的关键； 根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：二次函数有最小值， ， 故答案为：． 16. 如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 17. 已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的横坐标范围，利用二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为，二次项系数， ∴，抛物线开口向上， 抛物线对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∵，即三个点的横坐标都在对称轴右侧，满足， ∴． 18. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的定义可得，根据图象和x轴有交点，可得，再根据不等式求解集即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：且 ． 19. 已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． 20. 如图，在中，，过点A作交的延长线于点M，取的中点N，过点N作交于点D，且，则下列结论：①；②；③；④若的长为，则的长为．其中正确结论的序号为___________． 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】由已知和三角形的内角和可判定①，由垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理可判定③，再结合勾股定理可判定②和④． 【详解】解：设，则， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵取的中点N，过点N作交于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴故③ 正确； 设，，则，， ∴，， 在中，， 在中，， 由①②得，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴（负值已舍）， ∵ ∴，结论②错误； ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 解得（负值已舍） ∴，故④正确． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】括号内先通分，再计算分式的加法即可化简，求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点，B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个以线段为一边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为4； （2）在图2中画一个钝角三角形，点E在小正方形的顶点上，且三角形面积为4，．请直接写出的长． 【答案】（1）解∶如图，四边形为所求； （2）解：如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）由图可知，A、B间的垂直方向长为2，要使构建的平行四边形的面积为4，则可以在A的水平方向上取一条长4的线段，可得点D，同理取点C即可； （2）由图可知，A、B间的垂直方向长为2，要使构建的钝角三角形面积为4，则可以在A的水平方向上取一条长为4的线段，可得点E，且满足，然后利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：由图可知，，， 则四边形是平行四边形， ∵与之间距离为2， ∴， 则四边形为所求， 图略； 【小问2详解】 解：如图，取格点F，则，，，， ∴， ， ∴为所求． ∴， 图略． 23. 我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校1100名学生中随机抽取一部分人进行“安全防火，警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”、“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图． （1）本次活动共抽取了多少名同学？ （2）补全条形统计图； （3）根据以上调查结果分析，估计该校1100名学生中，对“安全防火”知识了解较差的学生约有多少名． 【答案】（1）本次活动共抽取了60名同学 （2）补全条形统计图如下： （3）对“安全防火”知识了解较差的学生约有55名 【解析】 【分析】（1）用调查成绩“很好”的人数除以所占的百分比即可求出总人数； （2）用总人数乘以“较好”所占的百分比即可求出“较好”的人数，即可补全条形统计图； （3）用样本中对“安全防火”知识了解“较差”的学生所占的百分比，再乘以1100即可求出答案． 【小问1详解】 解：本次活动共抽取同学为（名）； 【小问2详解】 解：“较好”的学生人数为：（名）； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校1100名学生中，对“安全防火”知识了解较差的学生约有55名． 24. 已知：中，，． （1）求证：； （2）连接，当时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与互补的角． 【答案】（1）见解析； （2），，，． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质证明，进而得到，，可证明，则问题可证明； （2）根据平行四边形性质和等腰三角形的性质，分别证明，，，与互补，则问题可解； 【小问1详解】 （1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，，， 理由：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴与互补， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故与互补的角有：，，，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，解答关键是根据题意找到全等三角形并进行证明． 25. 在运动会前夕，光明中学购买篮球、足球作为奖品；若购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元． （1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元： （2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1150元，则最多可购买多少个篮球？ 【答案】（1）篮球150元/个，足球100元/个；（2）最多可购买6个篮球． 【解析】 【分析】（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元列出方程组解答即可； （2）设购买a个篮球，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意可得： ， 解得： ， 答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元； （2）设购买a个篮球，根据题意可得：×150a+×100（10﹣a）≤1150， 解得：a≤6， 答；最多可购买6个篮球． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据等量关系列出方程，利用总费用作为不等关系列出不等式求解． 26. 已知：四边形内接于，点是弧的中点，过点作的切线交弦的延长线于E． （1）求证：； （2）弦和弦相交于点，求证：； （3）延长交于点，若，，，求的长度． 【答案】（1）证明：如图所示，连接，延长交于点K，连接． ∵是的切线， ∴，即, ∴, ∵是直径， ∴, ∴, ∴, ∵同弧所对的圆周角相等， ∴, ∴； （2） 证明：∵点A为的中点， ∴, ∴, ∵，的外角,, ∴, ∴． （3）的长度为11 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于点K，连接,,,得到,再根据同弧所对的圆周角相等得到 ． （2）先证明,再根据，得到的外角,,最终可证明为等腰三角形，得到． （3）过点A作于点H，过点C作于点J，在中，可以求出 ，再求出 ，进一步可求出 ，设，则， ，中，求出 , ，再求出 ，即可求出的值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作于点H,过点C作于点J． ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴设，则, ， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴,即在中， ， ∴设，则， ∴， ∴， ∵, ， ∴,, ∴， ∵,， ∴， ∴，即， ∵中， , , ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为11． 27. 如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． 【小问3详解】 解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $