1.2 菱形的判定与性质 讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦菱形这一核心知识点，以平行四边形为基础延伸，系统梳理菱形的性质（四边相等、对角线垂直平分等）、判定方法（定义、四边相等、对角线垂直的平行四边形），并融入中点四边形、面积计算及尺规作图，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过角度计算、动态点问题、折叠情境等例题设计，培养学生几何直观与推理能力，尺规作图环节提升空间观念。课中辅助教师清晰授课，课后实战演练助力学生巩固知识，查漏补缺，体现数学思维与应用意识的培养。

2026秋季初三数学同步讲义01-菱形 【基础巩固】 1.菱形的性质 (1)菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. (2)菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式。 1 ②菱形面积=2b.(ab是两条对角线的长度) 2.菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言：，AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）· 几何语言：，AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形'.平行四边形ABCD是菱形 D 3。菱形的判定与性质 (1)依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改 变，中点四边形的形状始终是平行四边形. (2)菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线 相等的四边形的中点四边形定为菱形.)一(3)菱形是在平行四边形的前提下定义的， 首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因 而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法. (4)正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不 只是正方形， 【精准突破】 一。菱形的性质 例1.（角度计算）(1)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, DH⊥AB于点H,连接OH,若∠BAD=48°，则∠DHO的度数是 D ○ B 2 (2)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E、F分别是AB、BC的中点，AF、CE相交 于点O,则∠AOC=。 例2.（长度求解）(1)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6,对角线AC BD相交于点O,将菱形ABCD沿着MN折叠，使得点A恰好落在AC上的G点处，与BD 相交于点E、F,若CG=23,则EF的长为() A.3 B.2 c.2V2 D.3 (2)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O,点E 为OB中点，点F为AD中点，连接EF,则EF的长为() 13 B.3 c.13 3 2 D.2 例3.（面积计算）(1)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于 号AC长为半径作弧，两弧交于点M,N作直线MN分别交AD,BC于点E,R,连接 AF,CE,若CE=4,∠ACB=30°，则四边形AECF的面积为· 3 (2)如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC=8,BD=6,点P为线段AC上 的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N,则PM+PN的值 为() M 48 A. 5 B.5 D.6 (3)“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用 一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6Cm的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠部分图形 的面积是cm2. 例4.如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上.已知AC=6,BD=8,则点D 4 的坐标为() D BO A.5,9.6 B.5,4.8 c.10,9.6D.10,4.8 例5.（折叠问题） (I)如图，菱形ABCD中，BD是其对角线，沿BP折叠使点C落在 BD上的C处，得到△BCP,连接CP.若AB=6,∠CPC=90°，∠DBP=15°，则 线段CD的长为(） D B A.123-6 B.6-43 c.6V3-6 D.6 (2)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD 上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF,若BG=4,AB=10,则DF的长为() G(4) B A. 32 > B. C.4.5 D.5 5 【实战演练】 1.如图，在菱形ABCD中，∠B=40°，点E在CD上，AE=AC,则∠BAE=() D E A.110 B.100 C.120 D.90 2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,AC是一条对角线，E是AC上一点， 过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为() A.2V7 B.3 c.2V5 D.3V3 3.如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线 AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+PF等于一· A F D 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段 OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1.连接BE,点G为BE的中点，连接FG,则 FG的长为() 6 A.5 B.13 c.V10 0.13 5.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3, AC=2,则四边形ABCD的面积为() A.5 B.2V2 c.4V2 D.8V2 6.如图，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，点C4,3,若将菱形先向左平移3个单位， 再将菱形ABCO绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点B的坐标是() A.-3,-6 B.-6,-3 c.-3,6 D.6,-3 7.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE 折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C处，则∠DEC的大小为 D 8.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是菱形AB、BC边上的点，将△BEF沿着EF折叠， 点B恰好落在边CD中点G上，已知AB=2,∠B=60则FG的长度为（） A. 35 c 5 9.如图，在菱形ABCD中，∠BAC=30°，AB=6,E为BC的中点，F为AC上的一个 动点，则△BEF周长的最小值为 二.菱形的判定 例1.（中点四边形）(1)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点， 要使四边形EFGH为菱形，则四边ABCD应具备的条件是() D G E B A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.一组对边平行而另一组对边不平行 (2)如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，G,H分别是对角线BD, AC的中点，若四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD应满足的条件是() F A.AC=BD B.AB=CD C.ACL BD D.AB=AD 例2.（不加条件证明）已知：四边形ABCD中，AB⊥AC,CD⊥AC,AB=CD,E, F分别是BC,AD的中点，连接AE,CF, D (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)在AC上，截取AG=CH,连接EG,EH,FG,FH,那么四边形EGFH是什么特殊 四边形？说明理由 例3.（加条件证明）己知：如图，E,F为口ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF, 连接BE,DF, (1)求证：△ABE≌△CDF: (2)连接DE,BF,当△ACD满足什么条件时，四边形BEDF是菱形？ 【实战演练】 1.如图，△ABC中，DE‖BC,DF‖AC,要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加 的条件是() D F A.AB=AC B.AE=CE C.CD⊥AB D.CD平分∠ACB 2.如图，平行四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,添加下列条件，不能使平行四 边形ABCD变为菱形的是() B A.AB=AD B.AC=BD C.BD平分∠ABC D.AC⊥BD 3.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E,F分别是AD,BC的中点，点M,N 分别是AC、BD的中点.若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是 () 10 M B A.AC=BD B.AB=CD C.AC⊥BD D.∠ABC+∠DCB=90° 4.己知：如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF, 作EG‖FH,分别与对角线BD交于点G、H,连接EH,FG. (1)求证：△BFH≌△DEG: (2)连接DF,若BF=DF,则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论. 5.己知：如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边AD,BC上的点，且AE=CF, 直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H. 11 G (1)求证：△AGE≌△CHF: (2)连接DG、BH,若DE=BE,则四边形BGDH是什么特殊四边形？请证明你的结论. 6.如图：平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点E,将△BCD沿着BD折叠，使 点C落在平面上的F处，FD与AB相交于G,连接GE并延长，与AC相交于H, B (1)求证：△ADG≌△FBG: (2)连接BH,判断四边形DGBH的形状，并说明理由. 7.如图1，在口ABCD中，E为AD上一点，使BE=BC,过点A作AF‖BE交CE的延长 线于点F,连接DF. 12 B B 图1 图2 (1)求证：△ABE≌△FDA: (2)如图2，连接AC交BE于点G,若BG=AF,求证：四边形CDFG是菱形. 8.如图，AD是△ABC的中线，过点D作AB的平行线交AC于点E,O是AD的中点，连 接EO并延长，交AB于点F,连接DF (1)求证：OE=OF: (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？写出你的猜想并证明. 9.如图，在四边形ABCD中，ABCD,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC 的中点，OB=OD 13 D E B (1)求证：BE=DF: (2)连接DE,BF,当满足△ABC什么条件时，四边形DEBF是菱形，并证明你的结论. 10.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,E,F是线段BD上的 两点，连接AE,EC,CF,FA,已知∠AEB=∠CFD D B (1)求证：四边形AECF是平行四边形. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为菱形，请说明理由， 11.如图，已知在△ABC中，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点 A作AF‖BC交ED的延长线于点F,连接AE、CF. 14 (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)若AF=6,∠FAC=30°，∠B=45°，求BE的长. 三.尺规作图菱形 例1.（给对角线）尺规作图. 己知线段a,b e b 求作菱形，使菱形的对角线为a,b. 例2.（给角）己知∠，线段b,求作：菱形ABCD,使∠ABC=∠C,对角线BD=b. b 15 例3.（给三角形或四边形）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹， 已知：△ABC,求作：菱形CDEF,使其D、E、F三个顶点均在三角形的边上. 【实战演练】 1.已知线段a,b,求作菱形ABCD,使对角线AC=a,BD=b a b 2.尺规作图：如图，已知四边形ABCD,在边AD上求作一点E,在边BC上求作一点F, 在边CD上求作一点G,使四边形EFCG为菱形. A D 3.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 己知：△ABC;求作：菱形BDGF,使D为AB的中点，点F在BC边上，且G在△ABC 内部 16 4.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：四边形ABCD,AD‖BC. 求作：菱形BEDF,且点E在边AD上，点F在边BC上 D B 2026秋季初三数学同步讲义01-菱形 【基础巩固】 1.菱形的性质 (1)菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 2 ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线· (2)菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式. 1 ②菱形面积=2b.(a、b是两条对角线的长度) 2.菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言：AB=BC=CD=DA.'.四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）· 几何语言：，'AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形'.平行四边形ABCD是菱形 y D 3。菱形的判定与性质 (1)依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改 变，中点四边形的形状始终是平行四边形. (2)菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线 相等的四边形的中点四边形定为菱形.)(3)菱形是在平行四边形的前提下定义的， 18 首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因 而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。 (4)正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不 只是正方形. 【精准突破】 一。菱形的性质 例1.（角度计算）(1)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, DH⊥AB于点H,连接OH,若∠BAD=48°，则∠DHO的度数是 D O B 【答案】24/24度 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， .8=DO,ADG.ABD-ABC. AD I BC, ∴.∠ABC=180°-∠BAD=132°， .∠ABD=1 ∠ABC=66, .DH⊥AB,DO=BO, H080=B0. ∴.∠OHB=∠OBH=66°， ∴.∠HOB=180°-∠OHB-∠OBH=48°， g .∠BDH=90°-∠HBD=24°， .∠DH0=∠H0B-∠BDH=48-24=24. 故答案为：24°。 (2)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E、F分别是AB、BC的中点，AF、CE相交 于点O,则∠AOC=。 【答案】120 【详解】解：连接EF,AC, A D ABCD B 四边形 是菱形， ∴.AB=BC, .∠B=60°， ∴.△ABC是等边三角形， :E、F分别是AB、BC的中点， .AF⊥BC,CE⊥AB,EF‖AC, .∠FEC=∠BCE=30°，∠EFA=FAC=30°， ∴.∠A0C=∠E0F=120°， 故答案为：120 例2.（长度求解）(1)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6,对角线AC、 BD相交于点O,将菱形ABCD沿着MN折叠，使得点A恰好落在AC上的G点处，与BD 相交于点E、F,若CG=2V3,则EF的长为() 20 D M A.3 B.2 c.2V2 D.3 【答案】B 【详解】解：.菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6, ∴.∠DAB=60°，∠DAC=∠BAC=30°，AC⊥BD,AO=CO, 0B=号AB=3,A0=30B=33=0C, .CG=23. ∴.0G=3, ,'将菱形ABCD沿着MN折叠，使得点A恰好落在AC上的G点处， ∴.∠MGA=∠MAG=30°，∠NGA=∠NAG=30°， ∴.EG=2OE,FG=2OF, ∴.0G=VEG2-0E=30E'0G=VFG2-0F2=30F' 0E=0C=1,0F=0C=1, V3 3 .∴.EF=OE+OF=2. (2)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O,点E 为OB中点，点F为AD中点，连接EF,则EF的长为() A. V13 B.3 c.13 3 2 0. 【答案】A 【详解】解：取点OD的中点H,连接FD, 21 :点F为AD中点， ∴，FH为△ADO的中位线， .FH AO.FH-AO. ,ABCD是菱形，∠ABC=60°， .AB=2,AC⊥BD,∠ABO=30°， .AO-AB-1.FI BD B0=AB-A0=3.FH=2A0= .B0=D0=3, :点E为OB中点， H=0+oH=号80+号D0=5, ∴在Rt△FHE中，FE=VFH+EH= 1 +33, 2 故选A 例3，（面积计算）(1)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于 号AC长为半径作弧，两弧交于点M,M:作直线MN分别交AD,BC于点B,P,连接 AF,CE,若CE=4,∠ACB=30°，则四边形AECF的面积为· 22 【答案】83 【详解】解：设EF与AC交于点O, 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴.∠COF=90°，OA=OC,AE=CE,AF=CF」 ,四边形ABCD为矩形， ∴ADBC, .∴.∠OCF=∠OAE，,∠OFC=∠OEA, .△AOE≌△COF(AAS), ∴.AE=CF, ∴.AE=CE=AF=CF, ∴.四边形AECF为菱形， ∴.CF=CE=4,OE=OF, 在Rt△COF中，∠OCF=30°，CF=4, oF=cF=2,0c=5cF=23, 2 .AC=20C=43,EF=20F=4, 西边形AC的面积为号AC~D=号×45×4=85， 故答案为：83. 23 (2)如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC=8,BD=6,点P为线段AC上 的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N,则PM+PN的值 为() B A. 48 24 5 B.5 c. D.6 【答案】c 【详解】解：如图，连接PD M B ,四边形ABCD是菱形， .AC与BD互相垂直平分， .A0=OC=4,B0=D0=3, 六AD=CD=3+4=5 :S△ACD=S△APD+SACPD,PM⊥AD,PN⊥CD, ÷ACOD-AD-PM+号CDPN, .8×3=5PM+PN, ·PM+PW=24 故选：C (3)“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用 一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠部分图形 24 的面积是cm2. B 【答案】36V2 【详解】解：过点B作BE⊥AD于点E,过点D作DF⊥AB于点F,如图所示： B 依题意得：AD‖BC,AB‖CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， :蓝丝带宽为6cm, .∴.BE=DF=6cm, .∠BAD=45°， .∴.△ABE和△ADF都是等腰直角三角形， .'AE=BE=6cm,AF=DF=6cm, 在Rt△ABE中，由勾股定理得： AB=AE2+BE=V62+6=62(cm)1 同理：AD=6V2cm, .'AB=AD=6V2cm, ∴.平行四边形ABCD是菱形， ∴.重叠部分图形的面积是：AD·BE=6V2×6=36V2(cm2), 故答案为：362. 25 例4.如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上.已知AC=6,BD=8,则点D 的坐标为() y BO A.5,9.6 B.5,4.8 c.10,9.6 D.10,4.8 【答案】B 【详解】解：，AC=6,BD=8, 菱形的面积为ACBD=号×6×8=24 2 .BCAO=24, ,在菱形ABCD中， acicnj-* ∴.BC=AD=5, ..Ao= 24_24 =4.8 BC 5 .点D的坐标5,4.8； 故选：B 例5.（折叠问题）(I)如图，菱形ABCD中，BD是其对角线，沿BP折叠使点C落在 BD上的C处，得到△BCP,连接CP.若AB=6,∠CPC=90°，∠DBP=15°，则 线段cD的长为() 26 B A.123-6 B.6-4V3 c.6V3-6 D.6 【答案】C 【详解】解：连接AC,与BD交于点O,如图所示： D B ,四边形ABCD是菱形，AB=6, :.BC=CD=AB=6,∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠ADB,AC⊥BD, B0=0D=5D, 由折叠的性质可知：∠CBP=∠DBP=15°，BC=BC=6, ∴.∠CBD=2∠CBP=30°， 0c=Bc=3. ∴B0=VBC2-0C2=33 ∴.BD=2B0=6V3, ∴.C'D=BD-BC=6V3-6: 故选C. (2)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD 上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF,若BG=4,AB=10,则DF的长为() 27 A. 36 号 C.4.5 D.5 【答案】B 【详解】解：：在菱形ABCD中，∠ABC=120°， ·AB=AD,∠ABD= ∠ABC=60°， ∴.△ABD为等边三角形， ,AD=AB=BD=10,∠ADB=60°， .BG=4, ..DG=BD-BG=6, 作FH⊥BD于点H,设DF=X,则AF=AD-DF=10-X, G(A ,∠ADB=60, ∴.∠DFH=30°， :DH=Dr=.IH=5DH= -X, .HG=DG-DH=6- ,折叠， ..FG=AF=10-x, 在Rt△FHG中，由勾股定理，得：10-x= 3 2 28 解得x=32 DF=32 故选B 【实战演练】 1.如图，在菱形ABCD中，∠B=40°，点E在CD上，AE=AC,则∠BAE=()。 D E B A.110 B.100 C.120 D.90 【答案】A 【详解】解：.四边形ABCD是菱形， .∠B=∠D,AD‖BC,∠ACB=∠ACD, .∠B=40°， .∠B=∠D=40°，∠BCD=180°-40°=140°， ∠ACD=号∠BCD=70, AE=AC, ∴.∠ACE=∠AEC=70° ∴.∠CAE=180°-∠AEC-∠ACE=40°， .AB‖CD .∴.∠BAC=∠ACD=70°， .∠BAE=∠BAC+∠CAE=110°. 故选：A. 2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,AC是一条对角线，E是AC上一点， 过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为() 29 A.27 B.3 c.25 D.33 【答案】A 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O, ,四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,∠ADC=∠ABC=60°，AB=BC=CD=AD=6,OA=OC ∴.△ABC、△ADC都是等边三角形， ,∠CAB=60°，AB=BC=CD=AD=AC=6,OA=OC=3, 0D=VAD2-0A=33 EF⊥AF, .∠AFE=90°，∠AEF=30°， .'.AE=2AF, ..CE=AF, ..AC=3EC, ∴.AE=4,EC=2, ∴.OE=AE-OA=4-3=1, DE=V0D2+0E2=V(33}+12=2/7 故选：A 3.如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线 AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+PF等于· 30 【答案】4.8 【详解】解：如下图所示，连接AP .菱形ABCD的周长为20 .∴.AB=BC=CD=AD=5, .菱形ABCD的面积为24， .S△ABm=12, ,分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF, ∴.SAAB+S△ADP= =1×ABx PE+×PFXAD=12, .×5×PE+PF)=12 .∴.PE+PF=4.8. AF E B 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段 OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1.连接BE,点G为BE的中点，连接FG,则 FG的长为() E G 31 A.5 B.13 c.V10 D.V13 【答案】D 【详解】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12, .OA-AC=4.OB-BD=6.AC LBD. .∠BOA=90°， .AE=2, ∴.OE=OA-AE=4-2=2, 如图，取OE中点H,连接GH, D..OH=L0E=1 点G为BE的中点，点H为OE的中点， GH-OB-3,Gm OB, ∴.∠GHE=∠BOA=90°， .0F=1, ∴.HF=OH+OF=2, 在Rt△GHF中，GF=GH2+HF2, .GF2=32+2=13 ∴.GF=13(负值舍去)， 故选：D. 5.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3, AC=2,则四边形ABCD的面积为() 32 A.5 B.2V2 c.4V2 D.8V2 【答案】C 【详解】解：如图，作AE⊥CD于E,作AF⊥BC于F,连接AC、BD交于点O, ,两条纸条的宽度相同， ∴.AE=AF, 'AB‖CD,AD‖BC, .四边形ABCD是平行四边形， 'SARD=CD·AE=BC·AF, ∴.CD=BC, ∴.四边形ABCD是菱形， OA-OC-AG=1.OB-OD.ACD ∴.B0=AB2-0A=V32-17=2V2 .BD=42, ∴.S四边形ABCD =1ACBD=1×2×42=4/2, 故选：C 6.如图，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，点C4,3,若将菱形先向左平移3个单位， 33 再将菱形ABCO绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点B的坐标是() A.-3,-6 B.-6,-3 c.-3,6 D.6,-3 【答案】C 【详解】解：，点C4,3, 0C=32+4=5 ,菱形ABCD, 点B9,3, ,将菱形先向左平移3个单位， ∴.平移后点B的对应点D6,3, 过点D和B作X轴的垂线，垂足分别为E和F, B D 5 AE 由旋转的性质知∠DOB=90°，DO=BO, ,∠DEO=∠DOB=∠BFO=90°， .∠DOE=90°-∠BOF=∠OBF, ∴△DOE≌△OBF, ∴.DE=OF=3,OE=BF=6, .旋转后点B的对应点B的坐标是-3,6， 故选：C 7.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE 折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C处，则∠DEC的大小为 34 【答案】75°/75度 【详解】解：如图，连接BD,设DC与AB交于点P, ,四边形ABCD为菱形， .AB=AD ∠A=60, .△ABD是等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°， .∠ADB=60° 'DC垂直平分AB, ∴，DP平分∠ADB, ∠ADP支∠ADB=30, .∠PDC=∠ADC-∠ADP=90, 由折叠可得，∠CDE=∠PDE=∠PDC=45, ∴，∠DEC=180°-∠CDE-∠C=180°-45°-60°=75° 故答案为：75， 8.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是菱形AB、BC边上的点，将△BEF沿着EF折叠， 点B恰好落在边cD中点G上，已知AB=2,∠B=60则FG的长度为（） 35 3 A c台 5 【答案】B 【详解】解：过点F作FM⊥CD,交CD延长线于点M, A D G 菱形ABCD中，AB‖CD, ∴，∠MCF=∠B=60°，∠MFC=30°， 设MC=x,则FC=2x,FM=/3x, ,G为CD的中点，AB=CD=2, ∴.CG=1, .∴.MG=x+1, 又.'△GEF为△BEF沿EF折叠所得， ∴.FG=BF=BC-FC=2-2X, ·在Rt△FMG中有(x+12+(3x=(2-2xP, 解得火=3，则FG=2一2x三6， 故选：B 9.如图，在菱形ABCD中，∠BAC=30°，AB=6,E为BC的中点，F为AC上的一个 动点，则△BEF周长的最小值为 36 【答案】3只3+3/3+3V3 【详解】解：连接DE交AC于点F,连接BD,BF,DF, B ,四边形ABCD是菱形， .AB‖CD,AC⊥BD, ∴.B、D关于直线AC对称， ∴.DF=BF, DE=DF+F E, ∴.DE=BF+FE, 当F,F两点重合时，DF+FE有最小值，即BF+FE有最小值，最小值为DE的长，即为 FE+BF的长， .∠BAC=30 .∠BAD=60°， ∴.∠BCD=60, .△BCD是等边三角形， ,E是BC的中点， ∴DE1BC,BE=CE=BC=AB-×6=3. ∴.DE=VCD2-CE=V62-32=33' `.△BEF的周长=BF+F'E+BE=DE+BE=33+3. 故答案为：33+3. 37 二.菱形的判定 例1.（中点四边形）(1)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点， 要使四边形EFGH为菱形，则四边ABCD应具备的条件是() D G B E A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.一组对边平行而另一组对边不平行 【答案】c 【详解】解：如图所示，连接AC,BD交于点O, 0 G H E :点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点， 在△ACD中，GH|AC,GH=号AC, 布AAC中，EFAC,EF-号AC, 同理， EH I BD,EH-ZBD,FGI BD,FG-BD. EF‖GH,EF=GH, “四边形EFGH是平行四边形， 若平行四边形EFGH是菱形，则EF=FG=GH=EH, 38 当AC=BD时，EF=号AC=BD=FPC, ,∴.当四边形ABCD的对角线相等时，四边形EFGH是菱形， 故选：B. (2)如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，G,H分别是对角线BD, AC的中点，若四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD应满足的条件是() 】 A.AC=BD B.AB=CDC.AC⊥BD D.AB=AD 【答案】B 【详解】解：若四边形EGFH为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是AB=CD,理由如 下： :E,G分别是AD,BD的中点， .EG是△DAB的中位线， G-AB.EG IAB, 同理，FH=号AB,FH‖AB, ∴.四边形EGFH是平行四边形， E,H分别是AD,AC的中点， EH-CD,EH CD. 当AB=CD时， ∴.EG=EH, ∴四边形EGFH是菱形， 故选：B. 例2.（不加条件证明）己知：四边形ABCD中，AB⊥AC,CD⊥AC,AB=CD,E, 39 F分别是BC,AD的中点，连接AE,CF (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)在AC上，截取AG=CH,连接EG,EH,FG,FH,那么四边形EGFH是什么特殊 四边形？说明理由」 【答案】(1) 证明：：AB⊥AC,CD⊥AC, .∠BAC=∠DCA=90, ..AB I DC, .AB=CD. ,四边形ABCD是平行四边形， AD‖CB,即AF‖CE,AD=BC :E,F分别是BC,AD的中点， AF-AD,CE-BC. .AF=CE, .四边形AECF是平行四边形， :∠BAC=90°，E为BC的中点， :.AE=BC=CE, 2 “.四边形AECF为菱形： (2) 解：四边形EGFH是菱形，理由如下， 如图，连接EF交AC于点O % ,四边形AECF是菱形， ∴.AC⊥EF,AF=EC,OE=OF,OA=OC, .AG=CH, ∴.OA-AG=OC-CH ∴OG=OH, .OE=OF, ∴四边形EGFH是平行四边形， EF⊥GH, ,四边形EGFH是菱形. 例3，（加条件证明）已知：如图，E,F为口ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF, 连接BE,DF, E (1)求证：△ABE≌△CDF: (2)连接DE，BF,当△ACD满足什么条件时，四边形BEDF是菱形？ 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是菱形， .AB=CD,AB‖CD ∴.∠BAE=∠DCF, 又AE=CF, .△ABE≌△CDF(SAS: (2)当AD=DC时，四边形BEDF为菱形 证明：当△ADC等腰三角形即AD=DC时，四边形BEDF为菱形 连接BD交AC于点O 41 B ,四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC,OB=OD 又，AE=CF, ..OA-AE=OC-CF,OE=OF, ∴.四边形BEDF是平行四边形， ,四边形ABCD是平行四边形，AD=DC, ∴.平行四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD ,四边形AECF是平行四边形， .平行四边形AECF是菱形. 【实战演练】 1.如图，△ABC中，DE‖BC,DF‖AC,要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加 的条件是() A.AB=AC B.AE=CE C.CD⊥AB D.CD平分∠ACB 【答案】D 【详解】解：DE‖BC,DF‖AC, .四边形DFCE是平行四边形， 当CD平分∠ACB时， .∠ACD=∠BCD. DE‖BC, 42 ,∠EDC=∠BCD, ∴.∠ACD=∠EDC, ∴.ED=EC, ∴.四边形DFCE是菱形，故D符合题意： 而AB=AC或AE=CE或CD⊥AB都不能得到四边形DFCE是菱形， 故选：D 2.如图，平行四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,添加下列条件，不能使平行四 边形ABCD变为菱形的是() B A.AB=AD B.AC=BD C.BD平分∠ABC D.AC⊥BD 【答案】B 【详解】解：A、,四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, .平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、:四边形ABCD是平行四边形，AC=BD 不能证明平行四边形ABCD是菱形，故选项B符合题意： C、,四边形ABCD是平行四边形， .AD BC, ,∠ADB=∠CBD. ,BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD. .∠ADB=∠ABD, .AB=AD. ∴，平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意： D、:四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, ∴.平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B. 名 3.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E,F分别是AD,BC的中点，点M,N 分别是AC、BD的中点.若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是 () N M A.AC=BD B.AB=CD C.AC⊥BD D.∠ABC+∠DCB=90° 【答案】B 【详解】解：，点E,F分别是AD,BC的中点，点M,N分别是AC,BD的中点， '.EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， .EN AB I FM,ME I CD I NF.EN-AB-FM,ME-CD-NF, .四边形EMFN为平行四边形， ,平行四边形EMFN是菱形： .EN =NF, ..AB=CD, 故选：B. 4.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF, 作EG‖FH,分别与对角线BD交于点G、H,连接EH,FG (1)求证：△BFH≌△DEG: (2)连接DF,若BF=DF,则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论. 44 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, .∴.∠FBH=∠EDG, AE=CF, ∴.BF=DE, .EG‖FH, ∴.∠OHF=∠OGE, ∴.∠BHF=∠DGE, 在△BFH和△DEG中， ∠BHF=∠DGE ∠FBH=∠EDG BF=DE ∴.△BFH≌△DEG(AAS. (2)解：四边形EGFH是菱形；理由如下： 连接DF,如图所示： 由(1)得：△BFH≌△DEG, ∴.FH=EG, 又，EG‖FH, ∴四边形EGFH是平行四边形， DE=BF,BF=DF. ∴.DE=DF,∠FBD=∠BDF, ,∠FBH=∠EDG, ∴.∠FDG=∠EDG, 在△EDG和△FDG中， 45 ED=FD EDG=∠FDG, DG=DG ∴.△EDG≌△FDG(SAS), ∴.EG=FG, .平行四边形EGFH是菱形 5.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边AD,BC上的点，且AE=CF, 直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H. (1)求证：△AGE≌△CHF: (2)连接DG、BH,若DE=BE,则四边形BGDH是什么特殊四边形？请证明你的结论 【答案】(1) 证明：.口ABCD, .AB‖CD,AB=CD,∠EAB=∠DCB, .∠AGE=∠CHF, .∠GAE=180°-∠EAB,∠FCH=180°-∠DCB, ∴.∠GAE=∠FCH, .AE=CF. .△AGE≌△CHE: (2) 解：四边形BGDH是菱形，理由如下： ,△AGE≌△CHE, .AG=CH, .口ABCD,AE=CF, .AB=CD,AD=BC,AD‖BC, 6 ..BG=DH,DE=BF, “.四边形BEDF是平行四边形， BE=DE, .四边形BEDF是菱形， ,∠BEF=∠U, .∠AEG=∠DEG, ,%=≥， .△AEG≌△DEG, ..BG=DG. BG‖DH,BG=DH ∴.四边形BGDH为平行四边形， .口BGDH为菱形 6.如图：平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点E,将△BCD沿着BD折叠，使 点C落在平面上的F处，FD与AB相交于G,连接GE并延长，与AC相交于H. (1)求证：△ADG≌△FBG: (2)连接BH,判断四边形DGBH的形状，并说明理由， 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∠DAB=∠BCD 由折叠的性质得：BC=BF,∠F=∠BCD, .AD=BF,∠DAB=∠F, 又：∠AGD=∠FGB(对顶角相等)， ∴.△ADG≌△FBG AAS. (2)解：四边形DGBH是菱形，理由如下： 由(1)中全等可得：DG=BG, ,四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于E, 名 AB‖CD,BE=DE, ∠GBE=∠HDE,∠BGE=∠DHE, 在△BGE和△DHE中： ∠GBE=∠HDE ∠BGE=∠DHE BE=DE ,△BGE≌△DHE AAS, .就=HE BE=DE,=HE ∴.四边形DGBH是平行四边形， 又.DG=BG, ∴.平行四边形DGBH是菱形 7.如图1，在口ABCD中，E为AD上一点，使BE=BC,过点A作AF‖BE交CE的延长 线于点F,连接DF A D 图1 图2 (1)求证：△ABE≌△FDA: (2)如图2，连接AC交BE于点G,若BG=AF,求证：四边形CDFG是菱形. 【答案】(1)证明：.AF‖BE ∴.∠FAE=∠AEB,∠AFE=∠BEC .四边形ABCD是平行四边形 .AD‖BC,AD=BC ∴.∠BCE=∠AEF: .BE=BC, ∴.∠BCE=∠BEC,BE=AD ∴.∠AEF=∠AFE; 48 .'.AF=AE, 在 △ABE和△FDA中， BE=DA ∠AEB=∠FAD AE=FA ∴.△ABE≌△FDA SAS: (2)证明：AF‖BE,BG=AF, .∴.四边形ABGF是平行四边形. .AB‖GF,AB=GF ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB‖DC,AB=DC, ∴.GF‖DC,GF=DC ∴.四边形CDFG是平行四边形. .'△ABE≌△FDA, ∴.FD=AB, 又AB=CD ∴.FD=CD ∴.平行四边形CDFG是菱形 8.如图，AD是△ABC的中线，过点D作AB的平行线交AC于点E,O是AD的中点，连 接EO并延长，交AB于点F,连接DF. D (1)求证：OE=OF: (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？写出你的猜想并证明. 【答案】(1) 证明：：DE‖AB, 49 ,∠ADE=∠DAF, ,O是AD的中点， ..AO=DO. 在△AOF与△DOE中， ∠FAO=∠EDO AO=DO ∠AOF=∠DOE .△AOF≌△DOE ASA, ..OE=OF; (2)当AB=AC时，四边形AEDF为菱形， 证明：AO=DO,OE=OF, ∴.四边形AEDF是平行四边形， :AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴.∠BAD=∠CAD AB‖DE, ∴.∠FAD=∠ADE, ∴.∠DAE=∠ADE, .AE=DE, ∴，四边形AEDF为菱形. 9.如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC 的中点，OB=OD D B (1)求证：BE=DF: (2)连接DE,BF,当满足△ABC什么条件时，四边形DEBF是菱形，并证明你的结论. 【答案】(1) 证明：，AB‖CD, ∴.∠ODC=∠OBA,∠OCD=∠OAB, 50 .OB=OD ∴.△ODC≌△OBA AAS, ∴.AB=CD, .AB‖CD .∴.四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC, .E,F分别是OA,OC的中点， ∴.OE=OF, .:OB=OD,∠DOF=∠BOE, .△ODF≌△OBE|SAS, .BE=DF: (2)当满足△ABC中，AB=BC时，四边形DEBF是菱形， 证明如下： AB=BC,OA=OC, ∴.OB⊥AC,即BD⊥AC, .E,F分别是OA,OC的中点， .OE=10A,OF-LOC. ∴.OE=OF, 又.·OB=OD,BD⊥AC, ∴.BD、EF互相垂直平分， ∴四边形DEBF是菱形 B 10.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,E,F是线段BD上的 两点，连接AE,EC,CF,FA,已知∠AEB=∠CFD 51 (1)求证：四边形AECF是平行四边形. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为菱形，请说明理由. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..AO=CO,BO=DO,AB=CD,AB CD, ∴.∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB=CD, .△ABE≌△CDF AAS, ∴BE=DF, ∴.OB-BE=OD-DF, 即OE=OF, .四边形AECF是平行四边形， (2)当AB=BC时，四边形AECF为菱形. 理由见解析， ,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC, ∴.平行四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD 由(1)可知，四边形AECF是平行四边形， ∴.平行四边形AECF是菱形 11.如图，已知在△ABC中，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点 A作AF‖BC交ED的延长线于点F,连接AE、CF. 52 (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)若AF=6,∠FAC=30°，∠B=45°，求BE的长. 【答案】(1) 证明：：点D是AC的中点， ..AD=CD. .AF BC, ,∠CAF=∠ACE,∠AFE=∠CEF, .△ADF≌△CDE, ∴.AF=CE, 又.AF‖BC即AF‖CE, 四边形AECF是平行四边形， 又，EF⊥AC, .口AECF是菱形： (2)33+3 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G, 由(1)知四边形AECF是菱形，又AF=6,∠FAC=30°， AF‖EC,AE=AF=6,∠FAE=2∠FAC=60°， .∠AEB=∠FAE=60°， .AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠AGE=90, .∠GAE=30, 53 号A6=3 AG=33, ,∠B=45, .∠GAB=∠B=45°， :.BG=AG=33, ∴.BE=BG+≥=3V3+3 三.尺规作图菱形 例1.（给对角线）尺规作图. 己知线段a,b a b 求作菱形，使菱形的对角线为a,b. 【答案】 作图如下： D a c E 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，作出标准的图形是解决本题的关键. 在线段6上，以J为圆心，大于0为半轻作弧。以太为圆，大寸号为半径作孤，两孤 交于点从心连接直线MN,交线段K于点L,此时儿即为：作射线AC,以点A为 圆心，以a为半径作弧交射线AC于点B,以点A为圆心，以大于与a为半径作弧，以点B 54 Q为半径作弧，两弧交于D、E两点，连接直线DE交线段AB于点O,以 1 为圆心，以大于 点O为圆心，以b为半径作弧交直线DE于不、I两点，连接AH、BH、BI、A,根 据作图所得，AB和HI互相垂直平分，则四边形AHBI为菱形，此时四边形AHBI即为所 求。 例2.（给角）已知∠a,线段b,求作：菱形ABCD,使∠ABC=∠a,对角线BD=b. a b 【答案】作图见解析 【详解】解：如图所示： 例3，（给三角形或四边形）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 已知：△ABC,求作：菱形CDEF,使其D、E、F三个顶点均在三角形的边上. B 【详解】解：如图，四边形CDEF即为所求. 55 由作图可知：∠DCE=∠FCE,DE=CD,EF=CF, ∴.∠DCE=∠DEC,∠ECF=∠FEC, .∠DCE=∠DEC=∠ECF=∠FEC, .DE‖CF,CD‖EF, “四边形CDEF是平行四边形， .DE=CD. ∴四边形CDEF是菱形 【实战演练】 1.己知线段a,b,求作菱形ABCD,使对角线AC=a,BD=b a b 【答案】 如图所示， b 【详解】解：作法：①作线段AC=a,作出线段b的垂直平分线： ②作线段AC的垂直平分线EF交AC于点O: 56 ®在直线F上，以点0为圆心，截取OD=0Bb: ④连接AB,AD,BC,DC,则四边形ABCD是菱形. 2.尺规作图：如图，已知四边形ABCD,在边AD上求作一点E,在边BC上求作一点F, 在边CD上求作一点G,使四边形EFCG为菱形. A D 的 【答案】 【详解】解：如图所示，菱形EFCG即为所求， 作∠BCD的平分线，交AD于点E,作线段CE的垂直平分线，交CD于点G,交BC于点 F,连接EF,EG,菱形EFCG即为所求， 图略， ∴，∠ECF=∠ECG,≥=GC,FE=FC, .∠ECF=∠ECG=∠GEC=∠FEC, ∴.EG‖CF,GC‖EF, ∴.四边形EFCG为平行四边形，且乙=GC, ∴，四边形EFCG为菱形. 3.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：△ABC;求作：菱形BDGF,使D为AB的中点，点F在BC边上，且G在△ABC 内部. 57 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图和线段的尺规作图，作 线段AB的垂直平分线交线段AB于D,以B为圆心，BD的长为半径画弧交BC于F,分别 以D、F为圆心，BD的长为半径画弧，二者交于点G,连接DG,FG,则四边形BDGF 即为所求 【详解】解：如图，菱形BDGF即为所求 D 4.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：四边形ABCD,AD‖BC 求作：菱形BEDF,且点E在边AD上，点F在边BC上. A D 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的判定等知识，作线段BD的垂直平分线交AD于 点E,交BC于点F,连接BE,DF,四边形BEDF即为所求. 【详解】解：如图，四边形BEDF即为所求. D B 58 5