1.2菱形的性质与判定 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，系统梳理菱形作为特殊平行四边形的性质（四边相等、对角线垂直平分等）、面积计算方法（对角线乘积一半等），以及判定定理（定义、四边相等、对角线垂直的平行四边形），构建从性质到判定再到综合应用的递进式学习支架。 资料亮点在于融合中考真题设计练习题，通过具体题目（如已知对角线求面积、中点四边形判定）引导学生用数学眼光抽象本质，用数学思维推理计算，用数学语言规范表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过详解答案查漏补缺，强化知识应用能力。

北师大版（2024）九年级上册1.2菱形的性质与判定 【知识点1】菱形的性质 （1）菱形的性质      ①菱形具有平行四边形的一切性质；      ②菱形的四条边都相等；      ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；      ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算      ①利用平行四边形的面积公式．      ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 1.（2025春•梓潼县期末）菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 2.（2025春•富锦市月考）若菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,则另一条对角线长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 3.（2025春•德宏州期末）如图，四边形ABCD是菱形，已知AC=8，BD=6，AC，BD相交于点O，那么菱形ABCD的面积为______． 【知识点2】菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 1.（2020秋•龙岗区期末）下列命题中，错误的是（　　） A．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形 B．反比例函数的图象是轴对称图形 C．线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则AC=-1 D．对于任意的实数b,方程x2-bx-3=0有两个不相等的实数根 2.（2011•内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足______条件时，四边形EFGH是菱形． 【知识点3】菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）______（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 1.（2024春•长沙期中）下列说法中，错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 2.（2015•泰安模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（　　） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 北师大版（2024）九年级上册1.2菱形的性质与判定 (参考答案) 【知识点1】菱形的性质 （1）菱形的性质      ①菱形具有平行四边形的一切性质；      ②菱形的四条边都相等；      ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；      ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算      ①利用平行四边形的面积公式．      ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 1.（2025春•梓潼县期末）菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积． 【解答】解：∵菱形两条对角线的长分别为2和6， ∴该菱形的面积是=6， 故选：D． 2.（2025春•富锦市月考）若菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,则另一条对角线长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】A 【分析】设另一条对角线长为x cm,由菱形的性质可知，菱形的边长为（cm），对角线互相垂直且平分，由勾股定理得，，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：设另一条对角线长为x cm, ∵菱形的周长为20cm, ∴菱形的边长为20÷4=5（cm），对角线互相垂直且平分， ∴， 解得，x=6或x=-6（舍去）， 故选：A． 3.（2025春•德宏州期末）如图，四边形ABCD是菱形，已知AC=8，BD=6，AC，BD相交于点O，那么菱形ABCD的面积为______． 【答案】24． 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【解答】解：∵AC=8，BD=6， ∴菱形ABCD的面积为：， 故答案为：24． 【知识点2】菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 1.（2020秋•龙岗区期末）下列命题中，错误的是（　　） A．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形 B．反比例函数的图象是轴对称图形 C．线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则AC=-1 D．对于任意的实数b,方程x2-bx-3=0有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理、双曲线是轴对称图形、黄金分割的概念、一元二次方程根的判别式判断． 【解答】解：A、顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意； B、反比例函数的图象是轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意； C、线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则BC=-1，AC=3-，本选项说法错误，符合题意； D、对于任意的实数b,方程x2-bx-3=0的判别式=b2+12＞0，所以有两个不相等的实数根，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 2.（2011•内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足______条件时，四边形EFGH是菱形． 【答案】AB=CD 【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可． 【解答】解：需添加条件AB=CD． ∵E，F是AD，DB中点， ∴EF∥AB，EF=AB， ∵H，G是AC，BC中点， ∴HG∥AB，HG=AB， ∴EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵E，H是AD，AC中点， ∴EH=CD， ∵AB=CD， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是菱形． 故答案为：AB=CD． 【知识点3】菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）______（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 1.（2024春•长沙期中）下列说法中，错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案． 【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形， 故选：D． 2.（2015•泰安模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（　　） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 【答案】D 【分析】在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形．同样，我们也无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形．根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形． 【解答】解：根据位似图形的定义可知 A、OA与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误； B、无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误； C、无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误； D、四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确； 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $