第2章 一元二次方程 单元测试 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为九年级上册一元二次方程单元综合测试，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/24|定义（1题）、根的判别式（2题）、解法（3题）、根的迁移（4题）|结合换元法（4题）、表格数据分析（6题），考查推理意识| |填空题|8/24|方程定义（11题）、根与系数关系（12题）、几何应用（17题）|菱形对角线与方程结合（17题），体现几何直观| |解答题|7/66|解法（19题）、实际应用（22题增长率、24题利润）、综合探究（25题体育比赛）|设置利润（24题）、增长率（22题）等真实情境，培养模型意识与应用能力|

初中数学九年级上册一元二次方程同步练习----一元二次方程的综合测试 一．选择题（共10小题，满分24分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 2．下列关于x的方程一定有实数解的是（　　） A．x2﹣x+2＝0 B．x2+1＝0 C． D．x2﹣mx﹣1＝0（m为常数） 3．用配方法解一元二次方程2x2﹣16x+18＝0，得（x+m）2＝n，则m+n的值为（　　） A．11 B．3 C．﹣11 D．﹣3 4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．已知关于x的方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤2且k≠1 B．k≤2 C．k＜2且k≠1 D．k＜2 6．根据下列表格x与ax2+bx+c的对应值，对一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，下列说法错误的是（　　） x ﹣0.6 ﹣0.4 ﹣0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ax2+bx+c 0.43 0.09 ﹣0.2 ﹣0.33 ﹣0.43 ﹣0.44 ﹣0.37 ﹣0.23 0 0.31 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是﹣0.4＜x＜﹣0.2 C．方程有一根为﹣0.33 D．方程有两个不相等的实数根 7．某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（　　） A．涨价后每件工艺品的售价是（20+x）元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是（10﹣x）元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是（300﹣10x）件 D．可列方程为（30+x）（300﹣10x）＝3750 8．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（　　） A．当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根 B．当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根 C．当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根 D．当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根 9．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若4a+2b+c＝0，则方程必有一个根是x＝2； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则； ④若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实数根．其中，正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知两个非零实数p，q，按规则pq+p+q进行运算，运算结果记为a1，称此为一次操作；再从p，q，a1中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为a2；再从p，q，a1，a2中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为a3，…，依次进行下去，以下结论正确的个数为（　　） ①若p，q为方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2＝﹣1； ②若p＝a1，q＝2a1，则a1＝﹣1； ③若p＝q＝1，要使得|an|＞2025成立，则n至少为5． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是　 　 ． 12．一元二次方程：2x2﹣7＝4x与x2+2x＝﹣3的所有实数根的和为　 　 ． 13．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的两根，则n的值为　 　 ． 14．设方程x2﹣2x﹣5＝0的正根介于整数n与n+1之间，则n＝　 　 ． 15．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是 　 　 ． 16．已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1＝0，n2﹣4n﹣1＝0，则　 　 ． 17．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC和BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣x+2m＝0的两个实数根，CE⊥AB于点E，则CE的长度是　 　 ． 18．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2﹣m＝0（m＞0），当m＝1，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为α1，β1；α2，β2；…；α2026，β2026，则的值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（15分）用指定的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0．（用配方法） （2）2x2﹣9x+8＝0．（用公式法） （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9．（用因式分解法） 20． （6分）已知关于x的方程：有增根，求k的值。 21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；（2）若为整数，求整数k的值． 22．（9分）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 23．（9分）某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为7米，则BC＝　 　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 24．（9分）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，平均每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的60%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 25．（9分）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行4﹣1＝3场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：场． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． （1）大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场； （2）在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分24分） 1．B． 解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、是二元二次方程，故本选项错误； D、当m＝1时，是一元一次方程，故本选项错误． 2．D． 解：A、∵a＝1，b＝﹣1，c＝2， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根，不符合题意； B、∵a＝1，b＝0，c＝1， ∴Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根，不符合题意； C、当x﹣2＝0，即x＝2时，方程没有实数根，不符合题意； D、∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， 3．B． 解：方程2x2﹣16x+18＝0， 变形得：x2﹣8x＝﹣9， 配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7， 可得m＝﹣4，n＝7， 则m+n＝﹣4+7＝3， 4． D． 解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 5．B． 解：当1﹣k＝0，即k＝1时，原方程为﹣2x﹣1＝0， 解得：x， ∴当k＝1时，原方程有实数根； 当1﹣k≠0，即k≠1时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（1﹣k）×（﹣1）≥0， 解得：k≤2，k≠1， 综上所述，k的取值范围是k≤2． 6．C． 解：根据代入计算及根的判别式逐项分析判断如下： ∵当x＝1时，ax2+bx+c＝0， ∴方程有一根为1，故A正确，不符合题意． ∵当x＝﹣0.4时，ax2+bx+c＝0.09＞0，当x＝﹣0.2时，ax2+bx+c＝﹣0.2＜0， ∴在﹣0.4＜x＜﹣0.2之间存在x使ax2+bx+c＝0，即方程有一根的取值范围是﹣0.4＜x＜﹣0.2，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在﹣0.4＜x＜﹣0.2范围内，无法确定根一定是﹣0.33，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为x＝1，另一根在﹣0.4＜x＜﹣0.2，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 7．C．解：根据涨价金额分析售价、单件利润、销量的变化，根据总利润＝单件利润×销量可列出对应的方程逐项分析判断如下： A．涨价后每件工艺品的售价应为（30+x）元，而非（20+x）元，原说法错误，不符合题意． B．涨价后每件工艺品的利润为（30+x﹣20）＝（10+x）元，而非（10﹣x）元，原说法错误，不符合题意． C．∵单价每涨1元，每天少售出10件， ∴涨x元时，少售出10x件， ∵原销量为300件， ∴涨价后每天销售工艺品的数量是（300﹣10x）件，原说法正确，符合题意． D．总利润＝单件利润×销量，单件利润为（10+x）元，销量为（300﹣10x）件，故方程应为（10+x）（300﹣10x）＝3750，而非（30+x）（300﹣10x）＝3750，原说法错误，不符合题意． 8．B． 解：A、当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故错误； B、∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故正确； C、当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故错误； D、∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故错误； 9．D． 解：说法①：若4a+2b+c＝0， 则当x＝2时，ax2+bx+c＝4a+2b+c＝0， ∴x＝2是方程的根，故①正确，符合题意； 说法②：由条件可知Δ＝﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意； 说法③：∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 说法④：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2， ∴， ∴b＝﹣a（x1+x2），c＝ax1x2， ∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0）可化为：， 即：， ∴（x1x﹣1）（x2x﹣1）＝0， ∴或，故④正确，符合题意； 10． D． 解：由题意，∵方程为x2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x＝3或x＝﹣1． ∴p＝3，q＝﹣1． ∴第一次操作：a1＝pq+p+q＝3×（﹣1）+3+（﹣1）＝﹣1． ∴第二次操作时，从3，﹣1，﹣1 中任选两个数操作：无论选哪两个数，结果均为﹣1（例如：3•（﹣1）+3+（﹣1）＝﹣1，或（﹣1）•（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1）． ∴a2＝﹣1，故①正确； 设p＝a1，q＝2a1，按规则操作得， ∴． ∴a1＝0或a1＝﹣1． 由于p，q为非零实数， ∴a1＝﹣1是唯一解，故②正确． 由题意，当p＝q＝1时， ∴a1＝1×1+1+1＝3；a2＝1×3+1+3＝7；a3＝3×7+3+7＝31；a4＝7×31+7+31＝255；a5＝31×255+31+255＝8191． ∴当n＝5时，|a5|＝8191＞2025，而n＝4时，|a4|＝255＜2025，故③正确． 综上，正确的有①②③共3个． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．m＝﹣1．解：由题意得|m|+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1， 12．2． 解：因为方程化为一般形式为2x2﹣4x﹣7＝0， 因为此方程Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣7）＝72＞0， 所以有两个不相等的实数根，两根之和为， 方程x2+2x＝﹣3化为一般形式为x2+2x+3＝0， 因为此方程Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， 所以无实数根． 所以2x2﹣7＝4x与x2+2x＝﹣3的所有实数根的和为2． 13．故答案为：9． 解：由题意，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的两根， ∴a+b＝6，ab＝n， 当a＝2时， ∴2+b＝6， ∴b＝4， ∴2+2＝4，不能组成一个三角形， 当a＝b时， ∴a+b＝2a＝6， ∴a＝3， ∴2+3＞3，能组成一个三角形， ∴n＝ab＝9， 14．故答案为：3． 解：原方程移项得：x2﹣2x＝5， 配方得：x2﹣2x+1＝5+1， 即（x﹣1）2＝6， 直接开平方得：， 解得，， ∵4＜6＜9，∴，∴， 则n＝3． 15．5． 解：已知方程分解因式得：（x2﹣x﹣5）（x2﹣x+3）＝0， 可得x2﹣x﹣5＝0或x2﹣x+3＝0（无解）， ∴x2﹣x＝5． 16．2或﹣18． 解：当m＝n时，原式＝1+1＝2； 当m≠n时，m、n可看作方程x2﹣4x﹣1＝0的两根， 则m+n＝4，mn＝﹣1， 所以原式18． 17．． 解：由条件可得AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO， ∴∠AOB＝90°， ∴AO2+BO2＝AB2＝42＝16， 由条件可知： ，， ∴，， ∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝16， ∴， 解得m1＝9，m2＝﹣7， 当m＝﹣7时，AO•BO＝﹣3.5＜0，不符合题意，舍去， ∴m＝9， ∴AC•BD＝2m＝18， ∵CE⊥AB， ∴，即， ∴． 18． 解：设关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2﹣m＝0（m＞0）的两个根分别为αn，βn（1≤n≤2026且n为整数）， 根据根与系数的关系得αn+βn＝1，αnβn＝﹣m2﹣m＝﹣m（m+1）， ∴（）， ∴原式＝[﹣（）]+[﹣（）]+...+[﹣（）] ＝﹣（1...） ＝﹣（1） ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．解：（1）原方程移项可得： x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， ，； （2）Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0， ， ，； （3）原方程移项可得： 5（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0， 5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0， （x﹣3）[5（x﹣3）﹣（x+3）]＝0， （x﹣3）（4x﹣18）＝0， x﹣3＝0，4x﹣18＝0， x1＝3，． 20．解：， ， 2（x+2）﹣kx＝x﹣1， 2x+4﹣kx＝x﹣1， （1﹣k）x＝﹣5， ∵关于x的方程：有增根， 即（x﹣1）（x+2）＝0，解得x＝1或x＝﹣2， 当x＝1时，（1﹣k）×1＝﹣5，解得k＝6． 当x＝﹣2时，（1﹣k）×（﹣2）＝﹣5，解得； 综上，k的值为； 21．解：（1）由条件可知Δ＝（﹣1）2﹣4•1•（﹣k﹣3）＞0， ∴； （2）由条件可知x1+x2＝1，x1x2＝﹣k﹣3， ∴原式 ， ∵为整数， ∴为整数， 又∵k为整数， ∴﹣k﹣1＝±3或﹣k﹣1＝±1， ∴k＝2或k＝﹣4（舍去）或k＝﹣2或k＝0， ∴k的值为0或±2． 22．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得2250（1+x）2＝3240， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设增加y条生产线，则 （900﹣30y）（y+1）＝3900． 解得y1＝4，y2＝25（不符合题意，舍去） 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 23．解：（1）根据题意得：BC＝45+3﹣3x＝（48﹣3x）米． 故答案为：（48﹣3x）； （2）根据题意得：x（48﹣3x）＝189， 整理得：x2﹣16x+63＝0， 解得：x1＝7，x2＝9， 当x＝7时，48﹣3x＝48﹣3×7＝27＞25，不符合题意，舍去； 当x＝9时，48﹣3x＝48﹣3×9＝21＜25，符合题意． 答：边CD的长为9米； （3）矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米， 根据题意得：x（48﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣16x+80＝0， ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×80＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 24．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，200），（10，300）代入得： 解得： ∴y与x的函数关系式为y＝10x+200； （2）由题意得（100﹣60﹣x）（10x+200）＝8960， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝12，x2＝8， ∵优惠力度最大， ∴x＝12， ∴100﹣x＝100﹣12＝88， 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； （3）公司每天不能获得9000元的利润，理由如下： 由题意得：（100﹣60﹣x）（10x+200）＝9000， 整理得：x2﹣20x+100＝0， 解得：x1＝x2＝10， ∵每双运动鞋的利润不低于成本价的60%， ∴100﹣60﹣x≥60×60%， 解得：x≤4， ∴x＝10不符合题意， 答：公司每天不能获得9000元的利润． 25．解：（1）设这支球队胜了x场，则平了y场， 由题意得：， 解得：， 答：这支球队胜了7场； （2）设总参赛队伍为n支， 由题意得：n（n﹣1）＝496， 整理得：n2﹣n﹣992＝0， 解得：n1＝32，n2＝﹣31（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为32支， ∴平均分成四个小组，每组8支球队， ∵小组内通过单循环赛确定前两名， ∴小组内比赛共4112（场）， ∵把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴淘汰赛需4+2+1＝7（场）， ∴这种方案决出冠军共需要比赛112+7＝119（场）， 答：这种方案共需要119场比赛能决出冠军． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $