第二章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 覆盖一元二次方程解法、判别式、韦达定理及实际应用，以社会热点（旅游收入、头盔销售）和生活情境（奶茶利润、几何动态）为载体，适配单元复习，强化数学建模与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|配方法、根的定义、判别式|如第9题以“竹文化旅游收入”考增长率，体现数据意识| |填空题|6/24|韦达定理、参数取值|第14题结合方程根求多项式值，考查推理能力| |解答题|7/66|解方程、综合应用|第20题奶茶定价问题、22题头盔销售利润，强化模型意识；21题矩形动态问题，体现几何直观与运算能力|

第二章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 2．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 4．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2026﹣a﹣b的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．若方程x2﹣8x+12＝0的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 6．若关于x的方程（k+1）x2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B．且k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D． 7．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　） A． B．0 C． D．1 8．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0的两个实数根的和为2，则k＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．某市从2024年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2024年“竹文化”旅游收入约为4亿元．预计2026年“竹文化“旅游收入达到5.76亿元，据此估计该市2024年到2026年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A．2% B．4.4% C．20% D．44% 10．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x0有两个不相等的实数根x1，x2．若4m，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值　　 ． 12．关于x的方程x2+（2t+1）x+t2＝0有两个不同的解，则t的取值范围是 t　 ． 13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为　　 ． 14．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　　 ． 15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝　　 ． 16．若x1，x2是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，则x1+x2＝　　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 17．解下列方程：（1）x2+3x﹣18＝0； （2）（2x+1）2﹣4＝0； （3）x2﹣4x﹣1＝0； 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1，x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 19．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有一个相同的根，求此时m的值． 20．某景区在2024年春节长假期间，共接待游客20万人次，2026年春节长假期间，共接待游客28.8万人次． （1）求景区2024年春节长假期间至2026年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）景区一奶茶店销售一种奶茶，每杯成本为6元．根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额？ 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 22．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 参考答案 第二章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 2．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0， 解得k＝2． 故选：B． 3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0， 将常数项﹣5移到等号右边得，x2﹣4x＝5， 方程两边都加4得，x2﹣4x+4＝5+4， 变形得，（x﹣2）2＝9， 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2026﹣a﹣b的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1， ∴a+b﹣1＝0， 即a+b＝1， ∴2026﹣a﹣b ＝2026﹣（a+b） ＝2026﹣1 ＝2025． 故选：C． 2．若方程x2﹣8x+12＝0的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 【解答】解：x2﹣8x+12＝0， 解得x1＝2，x2＝6， 由题意可得： ①当△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2＝14； ②当△ABC的腰为2，底边为6时，不能构成三角形． 故选：B． 6．若关于x的方程（k+1）x2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B．且k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D． 【解答】解：依题意得：k＝﹣1时，方程有实根， k≠﹣1时，Δ＝32﹣4（k+1）×1≥0， 解得k． 故选：D． 7．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　） A． B．0 C． D．1 【解答】解：把x＝m代入x2﹣2x﹣1＝0，得m2﹣2m﹣1＝0， 所以m2﹣2m＝1， 所以m2﹣m（m2﹣2m）1． 故选：C． 8．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0的两个实数根的和为2，则k＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由条件可知22﹣4（k﹣1）≥0， 解得k≤2且k≠1． ∴，解得k＝0，此时方程有实数解， 故选：A． 9．某市从2024年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2024年“竹文化”旅游收入约为4亿元．预计2026年“竹文化“旅游收入达到5.76亿元，据此估计该市2024年到2026年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A．2% B．4.4% C．20% D．44% 【解答】解：设该市2024年到2026年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为x， 依题意得：4（1+x）2＝5.76， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， ∴该市2024年到2026年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%． 故选：C． 10．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x0有两个不相等的实数根x1，x2．若4m，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x0有两个不相等的实数根x1、x2， ∴， 解得：m＞﹣1且m≠0． ∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x0的两个实数根， ∴x1+x2，x1x2， ∵4m， ∴4m， ∴m＝2或﹣1， ∵m＞﹣1， ∴m＝2． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值　1（答案不唯一）　 ． 【解答】解：由条件可知Δ＝12﹣4×（﹣m）＞0， ∴， ∴当m取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 12．关于x的方程x2+（2t+1）x+t2＝0有两个不同的解，则t的取值范围是 t　 ． 【解答】解：∵关于x的方程x2+（2t+1）x+t2＝0有两个不同的解， ∴Δ＝（2t+1）2﹣4t2＝4t+1＞0， 解得：t． 故答案为：t． 13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为　﹣2　 ． 【解答】解：将x＝0代入方程，得m2﹣4＝0，即m2＝4， 解得m＝2或m＝﹣2． 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数m﹣2≠0，即m≠2， 因此m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 14．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　11　 ． 【解答】解：由题意得：n2﹣n﹣3＝0， ∵m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴n2＝n+3， ∴2n2﹣mn+2m＝2n+6﹣mn+2m＝2（m+n）﹣mn+6＝2﹣（﹣3）+6＝11， 故答案为：11． 15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 16．若x1，x2是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，则x1+x2＝　4　 ． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根， ∴x1+x24． 故答案为：4． 三．解答题（共7小题，满分66分） 17．解下列方程：（1）x2+3x﹣18＝0； （2）（2x+1）2﹣4＝0； （3）x2﹣4x﹣1＝0； 【解答】解：（1）x2+3x﹣18＝0， （x﹣3）（x+6）＝0， 则x﹣3＝0或x+6＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣6； （2）（2x+1）2﹣4＝0， （2x+1）2＝4， 则2x+1＝±2， 所以； （3）x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+8＝1+8， ， 则， 所以； 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1，x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个实数根， 所以Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0， 解得m≤9， 所以m的取值范围是m≤9． （2）因为x1，x2是方程x2﹣6x+m＝0的两个根， 所以x1+x2＝6，x1x2＝m． 因为x1+x2﹣2x1x2＝0， 所以6﹣2m＝0， 解得m＝3． 19．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）≥0， 解得k； （2）∵k是符合条件的最大整数， ∴当k时的最大整数值是2， 则关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0是x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有一个相同的根， ∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0， 解得m＝1； 而m﹣1≠0，所以m＝1舍去， 当x＝1时，（m﹣1）+1+m﹣3＝0， 解得m， ∴m的值为． 20．某景区在2024年春节长假期间，共接待游客20万人次，2026年春节长假期间，共接待游客28.8万人次． （1）求景区2024年春节长假期间至2026年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）景区一奶茶店销售一种奶茶，每杯成本为6元．根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额？ 【解答】解：（1）设景区2024年春节长假期间至2026年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为x． 20（1+x）2＝28.8． （1+x）2＝1.44． 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：景区2024年春节长假期间至2026年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%； （2）设每杯售价定为y元． （y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300． 整理得：y2﹣41y+420＝0． （y﹣20）（y﹣21）＝0． 解得：y1＝20，y2＝21． ∵让顾客获得最大优惠， ∴y＝20． 答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 【解答】解：（1）5÷1＝5（秒），12÷2＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm， 根据题意得：2t（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4．答：t的值为1或4； （2）连接DP，如图所示， 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t） cm， 根据题意得：DP2＝PQ2+DQ2， 即122+t2＝[（5﹣t）2+（2t）2]+[52+（12﹣2t）2]， 整理得：4t2﹣29t+25＝0， 解得：t1（不符合题意，舍去），t2＝1． 答：当PQ⊥DQ时，t的值为1． 22．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得：200（1+x）2＝242， 解这个方程，得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为10%； （2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得： （y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝11250， 解这个方程，得y1＝55，y2＝75， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y取55， 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $