第2章 一元二次方程 单元测试卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程，覆盖概念、解法及应用，通过生活情境题与分层设计，适配单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|概念辨析、解法（配方法/公式法）、根的判别式|第3题以工业产值增长为情境，考查方程建模能力| |填空题|8/24|根与系数关系、换元法、几何应用|第7题通过换元法解方程，培养转化思维| |解答题|5/66|综合应用（利润问题/几何证明）|第4题结合粽子销售利润，体现数学与生活联系，发展应用意识|

第二章 一元二次方程 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根 2．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．某区今年7月份工业生产值达120亿元，8月、9月两个月总产值为450亿元，求8月、9月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为（　　） A．120（1+x）2＝450 B．120+120（1+x）2＝450 C．120（1+x）+120（1+x）2＝450 D．120+120（1+x）+120（1+x）2＝450 4．方程x2﹣7x+12＝0两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 5．将方程2x2﹣8x﹣10＝0化成（x﹣p）2＝q（p，q为常数）的形式，则p，q的值分别为（　　） A．p＝2，q＝9 B．p＝4，q＝9 C．p＝4，q＝5 D．p＝2，q＝2 6．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（　　） x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 ax2+bx+c ﹣13.75 ﹣8.04 ﹣2.31 3.44 9.21 A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9 7．已知实数x满足（x2-x）2-4（x2-x）-12=0，则代数式x2-x+1的值是（　　） A．7 B．-1 C．7或-1 D．﹣5或3 8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 9．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则m3﹣2m2的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10．某药品原价每盒25元，两次降价后，每盒降为16元，则平均每次降价的百分率是（　　） A．10% B．20% C．25% D．40% 11．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．x1＝1，x2＝0 B．x1＝﹣1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．无法确定 12．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：．例如：．则关于x的方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝　 　 ． 2．方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 　 　 ． 3．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个解为0，则k的值为　 　 ． 4．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是 　 　 三角形． 5．设a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为 　 　 ． 6．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的根，则这个三角形的周长为　 　 ． 7．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为　 　 ． 8．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20，则m＝　 　 ． 三．解答题（共5小题，满分66分，第1题12分，第2题12分，第3题15分，第4题12分，第5题15分） 1．解方程： （1）2x2+3x﹣1＝0； （2）x2﹣2x﹣2026＝0． 2．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0． （1）若此方程有实数根，求m的取值范围； （2）若此方程的一个根为1，求m的值以及另一个根． 3．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 4．端午节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400． （1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为 　 个，每天的总利润为 　 元． （2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？ 5．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC的中点，DF⊥AC于点F，EG⊥AC于点G． （1）求证：四边形DEGF为矩形； （2）若，AF＝1，求矩形DEGF的周长． 参考答案 一、选择题 1．【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣3x+1＝0， 二次项系数为2，一次项系数为﹣3，常数项为1， ∵x＝1时，左边＝3，右边＝3， ∴左边＝右边， ∴x＝1是方程的根， 故选：B． 2．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0， 解得：k1＝k2＝﹣1， 故选：A． 3．【解答】解：设平均每月增长的百分率为x， 那么八、九月份月的工业产值分别为120（1+x），120（1+x）2， ∴120（1+x）+120（1+x）2＝450． 故选：C． 4．【解答】解：由x2﹣7x+12＝0得， （x﹣3）（x﹣4）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝3，x2＝4． 因为该方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长， 则3+3＞4，4+3＞4， 所以3+3+4＝10，4+4+3＝11， 所以△ABC的周长为10或11． 故选：D． 5．【解答】解：2x2﹣8x﹣10＝0， 2x2﹣8x＝10， x2﹣4x＝5， x2﹣4x+4＝5+4， （x﹣2）2＝9， ∴p＝2，q＝9， 故选：A． 6．【解答】解：∵x＝20.7，ax2+bx+c＝﹣2.31， x＝20.8，ax2+bx+c＝3.44， ∴20.7＜x＜20.8时，ax2+bx+c＝0， 即方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是20.7＜x＜20.8． 故选：C． 7．【解答】解：∵（x2-x）2-4（x2-x）-12=0， ∴（x2-x+2）（x2-x-6）=0， ∴x2-x+2=0或x2-x-6=0， ∴x2-x=-2或x2-x=6． 当x2-x=-2时，x2-x+2=0， ∵b2-4ac=1-4×1×2=-7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2-x=6时，x2-x+1=7 故选：A． 8．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×k×（﹣1）≥0， 解上式得，k≥﹣1， ∵二次项系数k≠0， ∴k≥﹣1且k≠0． 故选：D． 9．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1， ∴m3﹣2m2＝m（m2﹣m）﹣m2＝m﹣m2＝﹣1． 故选：A． 10．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25（1﹣x）2＝16， 解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%． 故选：B． 11．【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+c＝0， ∴当x＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝0即为：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0； ∴a﹣b+c＝0， ∴当x＝1时，代入方程ax2+bx+c＝0，有a+b+c＝0； 方程的根是x1＝1，x2＝﹣1． 故选：C． 12．【解答】解：∵关于x的方程， ∴（k﹣x）x﹣（﹣3）×2＝0， 整理方程得x2﹣kx﹣6＝0， ∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣6）＝k2+24， ∵对任意实数k，都有k2≥0， ∴Δ＝k2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 二、填空题 1．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x﹣2p＝0，得（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣2p＝0， 解得p＝2． 故答案为：2． 2．【解答】解：∵方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×c＝4﹣4c＞0， 解得c＜1． 故答案为：c＜1． 3．【解答】解：由条件可知k﹣2≠0，即k≠2． ∵x＝0是该一元二次方程的一个解， ∴将x＝0代入方程得，k2﹣4＝0． 解得k＝2（舍去）或k＝﹣2． ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 4．【解答】解：∵方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝4（b2﹣c2+a2）＝0， ∴b2+a2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 5．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣5＝0的实数根， ∴a2+3a﹣5＝0， ∴a2＝﹣3a+5， ∴a2+4a+b＝﹣3a+5+4a+b＝（a+b）+5， ∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣3， ∴a2+4a+b＝﹣3+5＝2． 故答案为：2． 6．【解答】解：x2﹣10x+16＝0， （x﹣2）（x﹣8）＝0， x﹣2＝0，x﹣8＝0， x1＝2，x2＝8， ①三角形的三边是5，7，2， ∵5+2＝7， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形的周长是5+7+8＝20， 故答案为：20． 7．【解答】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0， 设y＝2x+5， 方程可以变为 y2﹣4y+3＝0， ∴y1＝1，y2＝3， 当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2； 当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1， 所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣1． 8．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2＝2m，， ∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20， ∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝20 2（x1+x2）﹣x1x2＝16 ∴2×2m﹣（m2﹣4m﹣1）＝16，整理得：m2﹣8m+15＝0， 解得：m＝3或m＝5， 当m＝3时，原方程为x2﹣6x﹣4＝0，有实数根，符合题意； 当m＝5时，原方程为x2﹣10x+4＝0，有实数根，符合题意； 故答案为：3或5． 三、解答题 1．【解答】解：（1）由题意，∵2x2+3x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， ∴，． （2）由题意，x2﹣2x﹣2026＝0， ∴x2﹣2x+1＝2027， ∴（x﹣1）2＝2027， ∴， ∴，． 2．【解答】解：（1）∵方程有实数根 ∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣1）≥0， ∴m≤2， ∴m的取值范围是m≤2； （2）∵方程的一个根为1， ∴1+2+m﹣1＝0， ∴m＝﹣2， ∴原方程化为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3， 则m的值为﹣2，另一个根为﹣3． 3．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150（1+x）2＝216， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， ∴（y﹣300）（601）＝6032． ∴y1＝416，y2＝404， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝404． 答：该品牌头盔的实际售价应定为404元/个． 4．【解答】解：（1）由题意可得：若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为800×0.2+400＝560（个）， 每天的总利润为：560×（2﹣0.2）＝1008（元）． 故答案为：560；1008； （2）由题意，得（2﹣x）（800x+400）＝1200， 解得：x＝0.5或x＝1． 当x＝1时，y＝800+400＝1200＞1100，超过每天可以制作的最大量，故不符合题意． 所以，当每个粽子的单价降低0.5元时，该店每天的总利润刚好是1200元． 5．【解答】（1）证明：∵DF⊥AC于点F，EG⊥AC于点G， ∴DF∥EG，∠DFG＝90°， ∵D是AB的中点，E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴四边形DEGF是平行四边形， 又∵∠DFG＝90°， ∴平行四边形DEGF为矩形； （2）解：∵D是AB的中点，AB＝2， ∴ADAB， ∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝90°， ∴DF2， 由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DEGF为矩形， ∴DEAC2，DF＝EG＝2，DE＝FG， ∴矩形DEGF的周长＝2（DE+DF）＝24． 学科网（北京）股份有限公司 $