18.1.1 从分数到分式 同步检测 2026-2027学年 人教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦分式概念与运算，通过基础巩固、变式提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的递进，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分式有意义/值为0条件、简单求值|选择1-5题、填空9-10题，直接考查概念辨析，如分式值为0的条件| |提升层|分式值的变化规律、化简变形|选择6-8题、填空11-13题，涉及字母变换与开放探究，如分式值随字母倍数变化| |综合层|跨知识综合应用、实际问题|解答题14-15题、综合题16-17题，结合方程与实际情境，如用分式解决奖品购买方案|

18.1.1 从分数到分式 同步检测 一、选择题 1．若分式的值为0，则的值为（　　） A． B．2 C．－2 D．4 2．如果把分式中的值都变为原来的2倍，则分式的值（　　） A．变为原来的2倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的4倍 3．为整数，符合条件的整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 4．要使分式有意义，a应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，都不为零，且，则式子的值为（　　） A． B． C．- D．- 6．若分式有意义，则x的值不能取（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 7．对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．当　 　时，分式的值为0. 10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　． 11．若，则　 　． 12．某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口　 　 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 13．请写出一个同时满足下列条件的分式： （ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为　 　. 三、解答题 14．已知＝5，求的值． 15．已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值. 四、综合题 16．求下列各分式的值. （1） ，其中 ； （2） ，其中 ； （3） ，其中 ； （4） ，其中 . 17．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由2x+3y=12，得：y= ，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为 ．问题： （1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解　 　． （2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 （3）某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？ 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】分式的值为零的条件 【解析】【解答】解： ∵分式的值为0， ∴x2-4=0且x-2≠0， 解之：x=±2且x≠2， ∴x=-2. 故答案为：C 【分析】利用分式值为0，则分子为0且分母不为0，可得到关于x的方程和不等式，求解即可. 2．【答案】A 【知识点】分式的值 【解析】【解答】解：由题意可知，原式= = = =2 故答案为：A. 【分析】按部就班，根据题目，完成分式的改变，并得到结论. 3．【答案】B 【知识点】分式有意义的条件；分式的值 【解析】【解答】解：当x≥0时，原式==2-， 则当 x=0或x=4时，原式为整数； 当x＜0时，原式==-2-， 则x＜0时无解. 故答案为A. 【分析】阅读题干，对绝对值可采取分类讨论，再根据题意化简求值. 4．【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【解析】【解答】解：∵ 分式有意义， ∴a+3≠0， 解之：a≠3. 故答案为：D 【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集. 5．【答案】A 【知识点】分式的值；三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解： ， ①-②得：2x-4z=0，解得x=2z， 把x=2z代入②得：y=z， 把x=2z，y=z代入原式==； 故答案为：A. 【分析】先解方程组得x=2z，y=z，再将其代入原式中进行化简即可. 6．【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【解析】【解答】解：要使分式 有意义，则， ， 故答案为：B. 【分析】分式中字母的取值不能使分母为零. 7．【答案】B 【知识点】分式的值 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 为非负整数， 是一个正整数， 的所有可能取值为 ， 即符合条件x的个数有4个. 故答案为：B. 【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值. 8．【答案】A 【知识点】分式的值 【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴2（ ）＝18， ∴ ＝9， ∴ . 故答案为：A. 【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案. 9．【答案】=-1 【知识点】分式的值为零的条件 【解析】【解答】解：要使分式的值为0， 则， ， 故答案为：=-1. 【分析】当分子为零分母不为零时，分式的值为零. 10．【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0， ∴x≠2， 故答案为： 【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。 11．【答案】0或1 【知识点】完全平方公式及运用；分式的值 【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论 当a=0时，==0 当a≠0时：a3+3a2+a=0 a（a2+3a+1）=0 即：a2+3a+1=0 两边同除a得： a+=-3 （a+）2=9 ∴a2+=（a+）-2=7 = 故答案为0或1 【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论， 当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。 12．【答案】58，138，218 【知识点】分式的值 【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置， ∴3+5n=10+16m，得 ∵m、n为正整数，且 ∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218 故答案为：58，138，218 【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可. 13．【答案】 【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值 【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数． 所以满足条件的分式可以是： ； 【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2;再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。 14．【答案】解：∵ ∴＝5，即a-b＝5ab， ∴ ． 【知识点】分式的值 【解析】【分析】 根据可得a-b＝5ab，再将其代入代数式可得，从而得解。 15．【答案】解：∵ ， ∴ ，两边同时平方得 ， 即 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 同理可得 ， ， 原式= = = = = = = = = = = = . 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值 【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算. 16．【答案】（1）解：把 代入 ，得 （2）解：当 时， （3）解：当 时， （4）解：当 时， 【知识点】分式的值 【解析】【分析】直接把x的值代入原式，再计算求值即可； 17．【答案】（1） （2）B （3）解：设购买笔记本x本，钢笔y支. 3x+5y=48 所以，方案为： 　 x y 方案一 1 9 方案一 6 6 方案一 11 3 【知识点】分式的值；二元一次方程的解 【解析】【解答】（1）∵x、y为正整数 ∴方程3x﹣y=6的正整数解如下表所示， x 3 4 5 6 7 8 ... y 3 6 9 12 15 18 ... （2）∵ 为自然数 ∴12能整除x-3 又∵x-3＞0 ∴x-3=1，或2、3、4、6、12 ∴正整数x的值有6个. 故答案为：B. 【分析】(1)把握住x、y都是正整数，列举取值，当x=1时，或x=2时等等，选择合适的解即可. （2） 为自然数，说明x-3=1，或2、3、4、6、12，所以x=4，或5、6、7、9、15. （3）根据题意列二元一次方程，因为笔记本和钢笔的数量都是正整数，所以，可以通过列举求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $