立体几何中的外接球、内切球与棱切球 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义系统梳理立体几何中外接球、内切球、棱切球核心考点，按“常用结论-模型分类-方法策略”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、模型识别指导、高考真题训练等环节，帮助学生突破空间几何体与球的切接问题难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出“模型化”教学特色，针对墙角、垂面等高考高频模型设计“识别-提炼-应用”三步法，结合2023-2026年真题强化数学思维与空间观念，设置分层例题与课后练习，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

立体几何中的外接球、内切球与棱切球 知识点一 几个与球有关的切、接常用结论 1.正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 2.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 3.正四面体的棱长为a，外接球半径为．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 知识点二 外接球 1.外接球模型一：墙角模型（三条直线两两垂直） 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 2.外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 3.外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 4.外接球模型四：垂面模型 （1）垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 （2）或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 5.外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 6.外接球模型六：二面角模型 如图所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 7.外接球模型七：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点三 内切球 1、等积法： 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点四 棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 一 真题导向 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【详解】由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以， 由三角形面积公式，. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，因为，即，解得.故答案为：2. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 【详解】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，.故答案为：    4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则， 即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD. 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．    6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, 方法一：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以， 所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C. 方法二：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 7．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为， 则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C 方法二：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． 方法三：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增， ，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C. 8.（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意证明如下，在四棱锥中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面. (2)（i）证明：由题意及（1）证明如下，在四棱锥中，，，，∥， ，，建立空间直角坐标系如下图所示， ∴，若，，，在同一个球面上，则，在平面中， ∴，∴线段中点坐标， 直线的斜率：，直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：，即， 当时，，解得：，∴在立体几何中，， ∵解得：，∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ，设直线与直线所成角为， ∴. 二 题型分类 题型一 墙角以及补成长方体模型 例1.（1）（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径．根据长方体体对角线公式 ，则，球的体积. 故选：C． （2）（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A． B． C． D． 【详解】已知，，设，则， 由题意，又平面，所以，已知， 解得，即，得，因此，将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径，则，外接球表面积.故选：A． （3）（25-26高三上·吉林长春·期末）如图所示，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B．3π C． D．2π 【详解】由题意平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，由题意得.则，所以，又平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以四面体的四个面都是直角三角形，如图所示，将四面体补全为长方体，则是四面体外接球的直径， ， 所以球的半径为，所以球的体积为．故选：A. （4）（2026·吉林长春·阶段检测）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】因为，，则，故.又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图：所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长.设三棱锥的外接球半径为，则，故.因此该球的表面积为， 体积为.故选：D． 例2.（1）（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【详解】由侧棱平面，平面，得，且， 所以三棱锥可以补成长方体，如图所示. 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同，则外接球的直径为长方体的体对角线.已知，， 则，则，故三棱锥外接球的表面积为. （2）（2026·山西晋城·三模）如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧， 如图，连接AC交BD于点四边形ABCD为正方形，为AC的中点，且， ．设点到BD的距离为，则，面积的最小值为．平面，解得，设长方体的外接球的半径为，，长方体的外接球的表面积为．故选：D． （3）（2026·四川绵阳·模拟预测）在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为______.    【详解】由题意可知两两垂直，且，将三棱锥补成一个长方体，如图所示，则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为， ，得，所以三棱锥外接球的表面积为， 故答案为：    （4）（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）在直三棱柱中，，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面、底面均相切）则__________，当为的中点，为棱上的点，时，四面体外接球的表面积为__________. 【详解】因为直三棱柱的内切球的体积为，所以，解得内切球的半径为，所以内切圆半径为，则,在中，，解得； 又为的中点，为棱上的点，，所以，，从而，，，所以，即有，所以四点共圆且圆心为的中点，其半径为，因为，，，平面，所以平面，如图，将直三棱柱补成长方体， 设为中点，连接，取的中点，连接，则中点即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为 ，此时四面体的外接球表面积为. 题型二 利用三棱锥的三组对棱长分别相等模型 例3.（1）（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为，由于三棱锥的棱长满足，，，根据长方体面对角线的性质，可得，即，所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以，所以外接球的表面积.故选：A （2）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有，各式相加得， 设外接球半径为，则有，外接球表面积. 故选：C． （3）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【解析】设四面体的外接球的半径为,则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则故， 故四面体ABCD外接球的体积为，故选：C （4）（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.所以四面体外接球表面积是.故答案为：B. 题型三 圆柱、棱柱的外接球 例4.（1）已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图，，，分别取的中点，连接， 则点分别是的外心，故直三棱柱的外接球球心在的中点，连接，则，，故直三棱柱的外接球半径，则其体积为.故选：B. （2）（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 设球的半径为，由题意可知，，则在直角中，，所以球的表面积．故选：B （3）（25-26高三下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为______. 【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则底面正三角形的外接圆半径为，由正三棱柱性质可知平面，所以是直线与平面所成角， 所以，则，所以，取的中点，连接，则且， 又由正三棱柱性质可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的体积为，所以正三棱柱高为且底面正三角形的外接圆半径为，所以该三棱柱的外接球的半径为，所以该三棱柱的外接球的表面积为. （4）（2026·山东临沂·一模）已知圆柱，点是上底面圆周上的一动点，点在下底面的圆周上，且满足，，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________． 【详解】设圆柱的底面圆半径为，则需满足，可得；易知三棱锥的外接球与圆柱的外接球相同，其半径满足，解得；设外接球球心为，, 所以，解得,即圆柱的高为6，因为点是上底面圆周上的一动点，即点到底面的距离为6，取的中点为，连接，因此，如下图： 因为，所以，当点到的距离最大时，的面积最大，此时三棱锥的体积最大；因为点在下底面的圆周上，所以点到的距离最大值为，因此，所以三棱锥体积的最大值为. 例5.（1）（2025·河南·二模）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，可得，则，所以正三棱柱外接球的体积为.故选：D （2）（25-26高三上·河南·开学考试）已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. 【详解】作圆柱的轴截面，如图： 由题意可知：，，则球的半径，且， 所以.所以球的体积为：.故答案为： （3）（2026·河北·模拟预测）正三棱柱的顶点均在球的表面上，且，当此三棱柱的体积最大时，球的表面积为________． 【详解】如图： 设正三棱柱的底面边长为，高为，则，可得，. 三棱柱的体积为.设，，则.由，由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，三棱柱的体积最大，此时.设正三棱柱上、下底面中心分别为、，连接，取中点为，则为正三棱柱外接球球心.设三棱柱外接球半径为，则， 又，此时球的表面积为. （4）已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 【详解】设，，又，所以直三棱柱的体积，解得.设球O的半径为R，由题意知，当且仅当时等号成立，所以球O表面积的最小值为.故答案为：. 题型四 圆锥、正棱锥的外接球 例6.（1）（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则，则该三棱锥外接球半径，当且仅当时，等号成立，所以该三棱锥外接球表面积的最小值为.故选：C. （2）（2026·山东聊城·模拟预测）已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【详解】如图，设四棱锥的顶点在底面上的射影为， 则为四棱锥的高． 四棱锥为正四棱锥，点为底面正方形的中心，且平面．由正四棱锥的对称性可知，球心在直线上， ．设球的半径为球的表面积为，解得．又，即．当球心在高上时，， 底面的面积为正四棱锥的体积．当球心不在高上时，，正四棱锥的体积．故C正确．故选：C. （3）（26-27高三上·云南·阶段检测）在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． 【详解】由题可设，因为，所以是等腰直角三角形，则斜边.因为是等边三角形，所以.取的中点为，连接，，如图所示， 在中，，且.在等边中，，且.因为，，在上，所以即为平面和平面的二面角.又因为二面角的余弦值为，所以.在中，由余弦定理可得，代入数值得解得.因为，所以.同理.所以.因此，是和的公共斜边.又因为在中，是斜边，中点到，，距离相等.因为，由直径所对圆周角为直角可得点，都在以为直径的球面上，所以，三棱锥的外接球就是以为直径的球.因为外接球表面积为，所以，解得，所以，则. （4）（2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有，圆柱的侧面积，故当且仅当、时，取最大， 此时圆柱的外接球半径为，则该球的体积.故选：C. （5）（2026·甘肃金昌·三模）在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】取AB中点D，连接PD，CD，由，得，且， 又为边长为2的等边三角形，所以，又，所以，所以， 又，所以平面，因为平面，所以平面平面， 设球心为O，的重心为G，等边三角形的重心与外心重合，的外心为H，由球的性质可知平面，平面，设外接圆的半径为，则， 在中，，即，得，所以，，记球的半径为R，则，球的表面积为． .故选：B. （6）（2026·重庆·三模）已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【详解】设外接球的半径为，则球的体积为，由于圆锥内接于球，其轴截面为一个内接于球的大圆的等腰三角形，则轴截面三角形的外接圆就是外接球的大圆，即轴截面三角形的外接圆半径就是外接球的半径，已知轴截面顶角为，由正弦定理可得，底面直径满足，解得，因此圆锥底面半径，圆锥的高，所以圆锥体积，则该圆锥与球的体积之比为：.故选：.A 例7.（1）（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为、所以，，所以，又，所以.分别取与的外心，，易知点，分别在，上，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心.由已知可得，，连接，易得，所以，则，则，所以在中，，即三棱锥外接球的半径为，所以该三棱锥外接球的表面积为.故选：D （2）（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为，已知是正三角形，边长，则其外接圆半径为，平面，三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上，且球心到平面的距离，外接球半径为：， 由球的表面积公式得． （3）（2026·福建龙岩·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积的比值为__________． 【详解】设圆锥底面半径为，又圆锥的轴截面是等边三角形，故圆锥母线长为，圆锥的高为， 设球的半径为，球心到底面圆心的距离为，有,，化简得，则该圆锥的体积为，球的体积为，故圆锥与球的体积的比值为. （4）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得，设球的半径为，由题意知，解得，所以球的表面积为．故选：A （5）（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，且，所以，所以是以为斜边的等腰直角三角形，设的中点为，连接，因为是边长为2的等边三角形，所以，且.又因为二面角的大小为，所以平面平面，又平面平面，所以平面，所以三棱锥外接球的球心在上，设为，如图，连接，设球的半径为，所以有，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C （6）（2026·河南驻马店·模拟预测）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】 记三棱锥外接球的半径为，则，解得，与均为以为斜边的直角三角形，中点为外接球球心，故，在中，，由勾股定理得：，同理可得，取中点，连接， 为等边三角形，边长为2，则，，中，，故； 又，平面，故平面，则三棱锥体积为， 中，，由余弦定理得：， 则，， ．故选：B 题型五 圆台、棱台的外接球 例8.（1）（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得，设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以，设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为.故选：C （2）（26-27高三上·浙江·阶段检测）底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台．当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为（   ） A． B．1 C． D． 【详解】当正三棱台的外接球半径最小时，原正三棱锥底面的外接圆恰为外接球的大圆，在正三角形中，，所以该三角形的高为，所以其外接圆半径为高的，即，所以外接球半径为1.设此时正三棱台的高为，根据相似，可得，所以.因为正三角形的高为.所以正三角形的外接圆半径为，由几何关系可知，解得，故高为.故选：A （3）（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 . 【详解】如图，令正三棱台上下底面正三角形中心分别为， 则，，设正三棱台的高为，则，解得，设球的半径为，显然球心在线段上（不含端点） 因此，，解得，且，而，当且仅当时取等号，得，，解得，因此，，所以外接球表面积的取值范围是. 故答案为： （4）（2026·湖南株洲·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线(侧棱)长为，该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，若球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以.设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为，当球的球心在圆台外时，设圆台的高为， 则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时，此时圆台的体积为；当球的球心在圆台内时， 则，则，要使由意义，则，则，所以，这与矛盾， 所以球的球心不可能在圆台内；综上，该圆台的体积为.故选：A （5）（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】正四棱台中，取中点分别为，连接， 由，，，可得，，过作平面的垂线，垂足为，则点在上，且，所以，设正四棱台外接球的球心为，半径为，由对称性可知球心在直线上，若球心在线段上，则，此时无正数解，所以球心在的延长线上，则，即，解得，所以，所以该外接球的表面积为，故选：B （6）（2025高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，如图，为等边三角形，边长分别为3和4，所以，过点分别作⊥于点，于点，故，故，侧棱长是，即，由勾股定理得，即棱台的高为1， 设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，即，则，由勾股定理得，则，解得（舍），当球心在棱台外时，同理可得，解得，故棱台的外接球半径为；故选：B． 例9.（1）（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以结合体积公式，可得正四棱台的高，记上下底面的中心分别为，，所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则则，解得，，所以外接球表面积.故选：C （2）（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即，又，即，即，平方可得：，解得； 即，即，平方得，无解，所以球的表面积为．故选：B． （3）（2026·河南安阳·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得，根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上，设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为，因为正四棱台的高为，所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. （4）（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为 . 【详解】如图，设圆台上下底面圆心为，上下底面圆周上两点为E，F.上下底面圆半径为，外接球半径为.若球心在如图，则，整理得：，不合题意；若球心在如图，则，整理得：，则，从而外接球面积为：.故答案为： 题型六 垂面模型 例10（1）（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点.设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面.过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面.因为，，所以，.取的中点E连接，，可得，，则.设，连接，，则，解得，故三棱锥外接球的表面积为. 故选：D （2）（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点，连接，则四边形为矩形，在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得， 在中，，即，所以四棱锥外接球的表面积为．故选：C. （3）（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【详解】如图所示，设点到平面的距离为，因为，且为定值，所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面，取的中点，连接．因为且，所以且，因为平面平面，且平面，所以平面，取的中点为，连接，因为平面，所以，因为在梯形中，，，所以，则，所以，且，在直角中，，在直角中，根据直角三角形的中线性质，，所以，即为三棱锥外接球的球心，设三棱锥外接球的半径为，则，所以． 故答案为：. （4）（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】 因为为等边三角形，所以.在等腰中，，则.在中，，，，则，所以. 同理可得，.取中点，连接，.在中，有；在中，有，则点到三棱锥的距离都相等，则点即为三棱锥的外接球的球心，显然，的外接球的半径为.所以球的表面积.故选：A （5）（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得共圆，且，所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则，因为，，则，所以，则，所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以，要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面，而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为，则，即，解得， 所以，球的表面积．故选：C 例11（1）（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为，已知是正三角形，边长，则其外接圆半径为，平面，三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上，且球心到平面的距离，外接球半径为：， 由球的表面积公式得． （2）（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】已知，，所以的面积.，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则.因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得，且 ，因此平面，即在底面投影为.设，球半径为，则.，，联立得，解得，因此.即球的表面积.故选：B （3）（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B．1 C． D． 【详解】如图: 记，在平面上的射影为点，则在上，连接． 由平面，，可得. 又是线段的中垂线，所以在上，即，因为三棱锥外接球的表面积为，所以该球的半径为.又，所以；因为为的中点，为的中点，所以为的重心.所以，，. 所以三棱锥的体积．.故选：A （4）（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点在底面的投影为，因为，所以点是的外心，则，且底面，球心在上，由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径，即，则，设，外接圆半径为，则， 则，且，则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为.故选：D （5）（2026·山东济宁·一模）四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，设的外心为点，过点作于点，连接，取边的中点为点，连接，则.因平面平面平面平面， 平面， 则平面又平面故.因为，，所以， 在中，由正弦定理，，解得，在中，，则，在中，由面积相等可得，解得，则，，在中，，在中，，即，故点为该四面体外接球的球心，故其表面积为.故选：B 题型七 二面角模型 例12（1）（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接，∵，∴，，又，，则，，中，，过作，且=，连接，则，∴，，根据题意可得为二面角的平面角，即，则，由题意可得，则，则，如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则∴△的外接圆半径，则设三棱锥的外接球的半径为，则即，解得则表面积为.故选：D    （2）（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，设外接圆的圆心为，因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面．过点作交的延长线于点．设在平面内的射影为，连接，因为二面角的大小为,所以．因为是等腰三角形，且， 所以，所以 ．过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，则,4，，．设，则由，可得，解得，故三棱锥外接球的表面积为．.故选：D （3）（26-27高三上·云南·阶段检测）在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． 【详解】由题可设，因为，所以是等腰直角三角形，则斜边.因为是等边三角形，所以.取的中点为，连接，，如图所示， 在中，，且.在等边中，，.因为，，在上，所以即为平面和平面的二面角.又因为二面角的余弦值为，所以. 在中，由余弦定理可得，代入数值得解得.因为，所以.同理.所以.因此，是和的公共斜边. 又因为在中，是斜边，中点到，，距离相等.因为， 由直径所对圆周角为直角可得点，都在以为直径的球面上，所以，三棱锥的外接球就是以为直径的球.因为外接球表面积为，所以，解得， 所以，则. （4）（2026·湖北·二模）三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________. 【详解】若平面，连接，即，而，则，所以是的外心，同上分析可得，由平面，平面，平面，则， 若，且，而平面，平面，平面，所以平面，平面，平面，即，所以，则，所以是的内心， 综上，是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥，所以外接球球心落在过的高线上，若棱锥的外接球半径为，的外接圆的半径为，则，所以，而，则，，所以，则三棱锥的外接球体积为. 例13（1）（25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 取中点中点，连接，因为，所以 又四边形是正方形，所以因为平面平面，所以为二面角的平面角，所以，取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心， 因为，所以，则在中，，所以三角形的外接圆半径满足 ， 因为，所以四点共圆，且圆的直径为，所以，所以四棱锥的外接球半径满足，所以外接球表面积为. 故答案为： . （2）（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为__________. 【详解】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，，则，，故二面角的平面角为.设，，，，， 则，，又，，则，又，，解得，即球的表面积为.故答案为：. （3）（山东德州市2026届高三下学期一模考试数学试题）在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 【详解】因是的中点，则，是矩形，， 翻折后，因为线段的中点，则，因，，则，故，取的中点，连接，则，，， ，平面，平面，平面，平面，平面平面，在平面的射影为，与平面所成角为，，因和都是直角三角形，则，为等边三角形，取的中点为，连，则，平面，平面，，，，平面，平面，平面，是直角三角形，，为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面，设，则，若球心和点位于平面的两侧，如图1，延长到点，使得， 平面，平面，，四边形为平行四边形，， ，解得，则，三棱锥外接球的表面积；若球心和点位于平面的同侧，如图2，平面，平面，，过点作，交于点，则四边形为平行四边形，则，，则，解得，舍去.综上可得，三棱锥外接球的表面积为. （4）（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【详解】如图，取的中点E，连接，已知，，所以，，又，所以，，所以为二面角的平面角，其余弦值为，在中，由余弦定理得 ，即，则，所以为直角三角形，则的中点O为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，所以三棱锥的外接球表面积为. 题型八 坐标法 例14（1）（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设正方形 的中心为 ．以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向，以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ．又因为 ，，所以，两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ．因为 ，所以 ，故设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ，所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上．设由 ，得，解得所以外接球半径满足，因此外接球的表面积为故选：D （2）（2026·山东烟台·二模）三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】设底面直角三角形的斜边中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，设满足， ，所以， 在底面射影为，故，由，得. ，所以，则，， 设动点在内，设其坐标为，所以其在底面的投影为，到的距离平方为.三棱锥的外接球心在过且垂直于底面的直线上，设. 球半径满足：；球心到的距离等于半径：.联立得：代入半径公式：在圆上，故的坐标满足：因(不在线上)，故.在内，故的取值范围为.将代入：当时，，，表面积，当时，，，表面积所以三棱锥的外接球表面积取值范围为.故选：A （3）（2026·湖南·三模）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则，又平面，平面，所以平面，又平面，，所以平面平面，因为平面MQN，所以平面PBC； （2） 取的中点，连接，则，，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系．则，， （i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设，由得，解得， 所以球O的半径的平方，故球O的表面积为. （ii），，，，， 设平面的一个法向量为，则，取，则，由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量，所以．故平面与平面的夹角的余弦值为． 例15（1）（2026·天津南开·二模）已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】 由，得，设正方体的棱长为，则，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系，，，，， ，，，，，，，， 所以，，，设平面的法向量为，所以，取，得，球心到平面的距离， 设平面截球所得的截面的半径为，则， 所以平面截球所得的截面面积．故选：A （2）（江苏南京外国语学校等学校2026届高三年级第三次质量检测数学试题）在等腰梯形ABCD中，AB与CD平行，，，沿对角线AC将折起得到三棱锥，若异面直线与BC所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D．或 【详解】如图1所示，等腰梯形中，， ∴. ，.. 如图2，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，且所在一侧为正方向，建立空间直角坐标系.则，设，则.∴，化简得.又， ∴，解得，即.设三棱锥外接球的球心为，半径为.当时，，解得.三棱锥外接球的表面积为. 当时，，解得. 三棱锥外接球的表面积为.综上所述，三棱锥外接球的表面积为或.故选：D （3）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在三棱锥中，平面ABC，． （1）求证：平面平面PBC； （2）设，，点M，A，B、C均在球O的球面上． （ⅰ）当时，求球O的表面积； （ⅱ）设球O的球面与直线PA交于点G（异于点A）．求直线BG与平面PBC所成角最大时的值． 【答案】(1)平面，且平面，，又，且，平面，平面，平面，平面平面； （2）以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，由可得，由，，得， （ⅰ）当时，，设球的球心的坐标为，球的半径为， 则，解得，因此球表面积， （ⅱ）设球心，由，得，，故，再由得， 所以，即，因为点为球O的球面与直线的交点， 故可设，且，所以，在上且在球面上，解得（舍去对应点），故，，，设平面的法向量为， 则，故，故，令，可得，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， ， 随增大而递增，因此求最大值即可， 设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当，取最大值，此时取最大值，故直线与平面所成角最大时，. 题型九 棱柱、圆柱内切球 例16（1）（26-27高三上·云南大理·开学考试）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以.故选：A （2）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，设正三棱柱的外接球的半径为，则，解得，因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为， 连接的中心，则线段的中点即为球心，依题意，内切圆半径为，得，则，解得,故三棱柱的体积为故选：B． （3）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点设正六棱柱的底面边长为 若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径，即外接球的半径则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为故选：C． （4）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】设正三棱柱的底面边长为高为，对三个侧面进行展开如图， 要使线段的最小值是，则连接（左下角，右上角）， 此时在连接线上，故①，因为正三棱柱内部存在一个半径为的内切球，所以整理得，将代入①可得，所以正三棱柱的底面外接圆半径为，所以正三棱柱的外接球半径为，所以该棱柱的外接球表面积为故选：B （5）（2026·高三·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【解析】过点作于点，连接，因为三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，，，平面，且， 平面，平面，，易知，，，，，则，设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则，即，且三棱柱外接球球心为中点，则外接球半径，表面积为，故选：. 题型十 圆锥、圆台、棱台内切球 例17（1）（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知某圆锥的母线长为2，且其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥内切球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥底面半径为，因为其侧面展开图为一个半圆，所以.所以圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形.所以圆锥的内切球半径为：，所以内切球的表面积为：.故选：C （2）（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【详解】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底面分别相切于点，则,因为与分别为的平分线，因此，从而，故，所以，又因为，所以，故，故圆台的高为，故圆台的体积为.故选：B （3）（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥的母线长为，则，则,所以圆锥的高,由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长,所以轴截面等腰三角形内切圆的半径,故该圆锥形模型的内切球的半径为故选：A （4）．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． 【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，作，易知四边形为矩形， 由题可知，，，由切线长定理可知，所以，所以，所以，即， 所以圆台内切球半径为，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥的外接球半径最大为，如图，正三棱锥的球心为，的内心为， 设正三棱锥的外接球半径为，正三棱锥的高为，因为， 所以，在中，，，所以，即， 所以，解得，所以当时，正三棱锥体积取得最大值，最大值为，所以正三棱锥体积的最大值为. （5）（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，设所求为，是正六棱台的底面的中心，因为正六边形的每一个内角为，所以，又因为，所以三角形是等边三角形，所以，同理，所以，所以正六棱台的体积为，由，表面积为，设内切球半径为，则由等体积法可得，，所以，又，所以，即，所以，即，解得. 故选：C. 例18（1）（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，，不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，，则，，，故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径，所以半径为，所以球的体积为，棱台体积为，故球与棱台的体积比为.故选：C.    （2）（2026·河南·三模）一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为，可知，所以，又，所以，则，设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为，所以该球是存在的，此时球的体积为，圆台的体积为，所求比值为.故选：C （3）（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ． 【详解】设圆台的高为，上底面半径为，圆台的轴截面是等腰梯形，则两腰长之和是两底长之和， 由圆台的内切球半径也均为，则，则，则，解得，则圆台的体积为，圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆即为圆锥的内切球的大圆，设等腰三角形底边上的高为，则腰长为，则，解得，则圆锥的体积为，所以. （4）（2026·河北保定·三模）现有一个带有盖子的正四面体容器，将一个冰球放入该容器中，盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该容器的深度为h，则当冰球完全融化为水后(冰融化为水的体积变化忽略不计)，水的深度约为（    ）(参考数据： ． A． B． C． D． 【详解】已知正四面体的高为，设棱长为，内切球半径为，如下图所示： 由正四面体的性质可知，，则，故，，，故，冰球的体积，设冰球融化后水深为，形成的小四面体体积为，则，原正四面体的体积为，则，，解得．故选：C 题型十一 棱锥内切球 例19（1）．（26-27·广西柳州·开学考试）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． 【详解】由题意可知，折叠前， 折叠后、、三点重合于点， 所以，，， 即、、两两互相垂直，由正方形边长为，、分别为中点，可得： ，，，三棱锥的体积为： ， 在中，，，， 所以为等腰三角形，底边上的高， 所以，又 ， ， ， 设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可知， 即，解得， 所以内切球的体积为. （2）（2026·江西南昌·三模）在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为_____________． 【详解】折痕如图1中虚线段，折叠后点A，B，C，D重合为一点如图2 小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形， 该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影，因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为半径，设其棱长为， 则小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为，                                      图3      图4 如图3，取中点，连接，，设小球与顶点的正四面体的3个面都相切时的球心为，点在平面上的投影为，那么为的中心，则在线段上，且， 令在平面上的投影为，则在线段上，设与平面平行的小正四面体的面交于点，设小球半径为，如图4，连接，那么，， 由，可得，，则，即.所以，该小球半径为. （3）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【详解】由题意得，设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，则点在上，且，，因为平面，平面，所以，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，解得，所以三棱锥的内切球的表面积为.故答案为：. （4）（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图， 为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点， 连接是球与侧面的切点，可知在上，，设内切球半径为，则，由△∽△可知，即，解得， 所以内切球表面积.故答案为：. （5）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点，过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，，令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即，由，得，， 设球与球相切于点T，则，设球的半径为，同理可得，则，所以球与球的表面积之比.故选：A 题型十二 棱切球 例20（1）（2026·江西南昌·三模）已知正方体的棱长为，若球同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】以正方体的点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，所以平面的一个法向量为，，所以球心到平面距离： ，即①.同理平面​的一个法向量为，所以球心到平面距离： ，即②.因为球与平面，平面均相切，且与棱相切，所以球心必在平面的上方及平面的下方，因此且所以①②去掉绝对值得，，即，③ 又因为球与棱相切，，所以球心到的距离： ，即④，将③代入④得：，化简整理，得关于的一元二次方程：， 由二次方程有实根，判别式，即，解得，即，球的表面积.因此，球表面积的最小值为.故选：D （2）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【详解】 由已知，设球与棱的切点分别为，则，设，因为，则，又，所以，解得，则，，所以三角形的周长为.故选：D. （3）（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 【解析】如图所示： 设底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点， 球与棱分别切于点，则，球的半径为，注意到在边长为1的等边三角形中，，， 且底面，底面，所以，所以，，所以，而，所以，即，解得（舍去），从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为.故答案为：. （4）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为，又因为球的半径为1，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，连接PO，即为三棱锥的高，如图，过球心作的垂线交于，则， 又因为，所以,又与相似，所以，则，即.因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上，设半径为，则，即,解得.故选：D. （5）（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接，则，所以棱台的高,设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处，设中点为，连接,所以，解得，所以球的表面积为，故选：C 课后练习题 1.（2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、， 易知为等边三角形，所以，，由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上，设外接球的半径为，则，由勾股定理可得，即，解得，故该正六棱锥的外接球的表面积为.故选：A 2.（2026·云南玉溪·模拟预测）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（     ） A． B． C． D． 【详解】由已知得球与圆台都是旋转体，则取过轴的任意一个截面来分析均可. 如图，于，则，， 由切线长相等可知，，，所以，故圆台侧面积，再算球的半径，在中由勾股定理求解即可. 设球的半径为，则，在中，，即，所以球的表面积，故该圆台的侧面积与球的表面积之比为．故选：B 3.（2026·江西宜春·模拟预测）若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设球与球的半径分别为，，球的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，所以，，所以，因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，所以，则，所以球的表面积为.故选：B 4.（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则.因为三棱锥体积，代入得，，又，为中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ，因此平面，即在底面投影为.设，球半径为，则.，，联立得，解得，因此.即球的表面积.故选：B 5．（2026·浙江温州·二模）已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为，若圆台内接于球，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，则圆台的侧面积为，即，所以圆台的高为，设球的半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，如图，过作的垂线，与交于点，与交于点， 设，由，则球心在圆台内部，所以，解得. .故选：B 6.（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，设的中点为，连接，，则，， 因为是三棱锥外接球的直径，则，且，，则，可得，则，可知二面角的平面角为， 设，则，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以.故选：D． 7.（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为，所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切，如图，设切点为，圆心为，由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，，由于，则，即，则，所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为.故选：B 8.（2026·福建泉州·模拟预测）在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】在菱形中，已知，，都是等边三角形， ，取的中点为，连接，则.所以即为二面角的平面角，.所以.由余弦定理得.所以，因此三棱锥所有棱长：，所以三棱锥为正四面体所以棱切球的半径为，那么球的表面积为.故选：A 9.（2026·天津滨海新区·三模）已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【详解】由多面体可以看成是以为顶点，以为底面的四棱锥，其中为矩形，且，因为面，且平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，即三棱锥的高为， 在直角中，因为，可得， 所以多面体的体积为，因为平面，且四边形是矩形，所以平面，且所以和是垂直于底面的两条平行线段， 该几何体的外接球球心底面上的射影是的外心， 球心到底面的距离等于和长度平均值的一半，因为，所以， 在直角中，斜边为，所以外心是斜边的中点，底面外接圆半径为， 设外接球的半径为，可得，所以外接球的体积为，所以多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为.故选：A 10.（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（   ） A． B． C． D．3 【详解】 设与的外接圆半径分别为，外接圆的圆心分别为由题意可得，即，设球的半径为，的中点为，连接，因为是外接圆圆心，所以，又是的中点，所以，同理，又平面，平面，平面平面，所以为二面角的平面角，又平面平面，则，由球的性质可知：平面，平面，又平面，平面，则，，所以四边形为矩形，则，又,所以，又，所以，所以,又，所以，即,则球的半径为.故选：C 11.（多选题）（2026·陕西咸阳·三模）现有3个半径为2且完全相同的小球，若要将这3个小球放入封闭型容器中（容器壁的厚度忽略不计），则这个容器可以是（   ） A．底面边长为，高为4的正三棱锥 B．底面边长为7，高为12的正三棱柱 C．直径为9的球体 D．长为8，宽为4，高为的长方体 【详解】对于A，因为球的直径为4，而正三棱锥的高为4，显然不可能放入3个半径为2的球，故A错误；对于B，边长为7的正三角形的内切圆半径为，则当3个小球沿三棱柱高的方向纵向排列时，其最高长度为，故B正确；对于C，当3个小球两两外切时，3个球心构成边长为4的正三角形，则该正三角形的外接圆半径为，因为，所以3个小球可以放入该球体故C正确；对于D，易知在长为8，宽为4，高为的长方体底部恰好可以放2个小球， 第3个小球放置在2个小球上且与2个小球均相切，作出纵截面的示意图如图， 此时3个小球的球心构成边长为4的等边三角形，则点到的距离为， 又，故D正确.故选：BCD 12.（2026·重庆·三模）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____． 【详解】由题意有，所以为该三棱锥的外接球直径，即外接球半径，表面积． 13.（2026·四川自贡·三模）三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 【详解】如图所示，在中：，因此，即. 在中：，因此，即.因为，且平面，根据线面垂直判定定理可得：平面.是边长为的等边三角形，由正弦定理，其外接圆半径满足：，解得，即.外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于，设球心到平面的距离为，由，得：，即，已知，故，，外接球半径满足： 由球的表面积公式，代入得：. 14.（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 【详解】如图，为直角三角形，且． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ．当平面平面时，三棱锥的高最大，为． ．设，则．． 在区间上单调递增，．，当时取等号，此时取得最大值，最大值为．此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为．故答案为： 15.（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 【详解】在平面内，，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到:点在双曲线上，同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上，由，所以、两点在直线上的投影相同，记为， ∴设，则因为,所以为平面的平面角,所以中，，由余弦定理，，解得:，所以 又，所以重合，则，所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为，记为外接球球心，则平面平面，则四点共面，且四边形中，，因为，所以， ，在中，. ∴三棱锥的外接球的表面积为. 16.（2026·云南昆明·模拟预测）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，由六根完全一样的正四棱柱体分成三组构成，其上下、左右、前后完全对称，若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为__________． 【分析】由题可得当该球形容器的半径为并在一起的两个长方体体对角线的一半时满足题设. 【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为，所以该球形容器体积的最小值为： 17.（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心，是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，可知四边形为矩形，且，在直角三角形中，， 且为锐角，则，由可得，所以，在直角三角形中，，得，所以．在直角三角形中，．在直角三角形中，,．即圆台的上底面半径，下底面半径，高．可得圆台的体积，所以水的体积为． 18.（2026·河北·二模）在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____． 【分析】取过圆锥轴及其中一个大球球心的截面，并结合与底面平行且距离底面为的平面内三个球心的位置关系，将空间问题转化为平面中圆与直线、圆与圆的相切问题.先由截面中半径为的圆确定大球球心到圆锥轴的距离，再利用三个球心构成边长为的正三角形求圆锥底面半径.设再放入的小球半径为，由对称性知其球心在圆锥轴上，再由相切条件列方程即可求得. 如图： 【详解】设圆锥底面圆心为，顶点为，底面半径为，高为，三个半径为的大球球心分别为.因为母线与底面所成角为，所以，故过圆锥轴的截面是边长为的等边三角形.取过圆锥轴及球心的截面.在该截面内，单位圆与底边、腰都相切.设右侧底角为，则在的角平分线上，且到底边的距离为.在相应的直角三角形中，，解得.于是球心到圆锥轴的距离为.设为圆锥轴与过且平行于底面的平面的交点，则.又因为三个大球两两相切，所以，故是边长为的正三角形.由对称性可知，是的外心，于是.从而，解得.故第一空应填.设再放入的小球半径为，球心为.由对称性可知，在圆锥轴上.在上述截面内，小球化为一个与两腰都相切的圆.由于顶角为，且在顶角平分线上，所以，从而.又因为，所以到底面的距离为.在同一截面内，大球与小球相切，所以.由前面结论可得，球心到圆锥轴的距离为，且到底面的距离为，因此.于是，化简得.解得.因为，所以.故第二空应填. 19.（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，将沿翻折至，翻折过程中四棱锥外接球半径的最小值为______． 【详解】由题意，正边长为，分别是的中点，由三角形中位线性质得，故四边形为等腰梯形，且取中点，中点，连接，则为等腰梯形的对称轴，梯形高，易证： 因此点为底面等腰梯形的外接圆圆心，底面外接圆半径，沿翻折为，翻折过程中边长与垂直关系不变：即翻折时，动点在垂直于直线的平面内，以定点为圆心、为半径的圆上运动，设四棱锥的外接球球心为，半径为，由外接球性质：球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上， 设，由线面垂直得底面，故， 由勾股定理得外接球半径核心关系： ①过点作平面，则设翻折角 ，在中，，则 由 ②由①②得到得到，代入①得到，令，则当，即，此时. 20.（25-26高三下·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知是圆锥的轴截面，，． （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正弦值． 【详解】（1）因为是圆锥的轴截面，所以平面．又平面，所以． 在中，，，所以．设圆锥的外接球的球心为，半径为，结合圆锥的定义及对称性易知球心在上．在中，，则，整理得，解得．所以圆锥的外接球的表面积． （2）因为为弧的中点，所以．因为平面，平面，所以． 又，设为原点，以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． ，，设平面的一个法向量为， 则，，令，则，，所以． 因为，，，平面，所以平面， 则即为平面的一个法向量，．设二面角的平面角为，从图中可以看出为锐角，则， ，故二面角的正弦值为． 21.（2026·陕西渭南·三模）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，．    （1）证明：； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）因为是以为斜边的等腰直角三角形， 是的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 又平面，所以. （2）如图：    取的中心，因为为等边三角形，所以.又平面，平面，所以.因为是以为斜边的等腰直角三角形， 是的中点，所以. 所以，即.所以为三棱锥外接球的球心，设其半径为， 则.所以所求球的体积为. （3）以为原点，，，所在射线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，，.设平面的法向量为， 则，可取. 设平面的法向量为， 则，可取.设平面与平面所成的二面角为， 则. 22.（2026·贵州贵阳·二模）如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． （1）若DC平分时，求的大小； （2）如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    【详解】（1）因为，所以，即， 若DC平分，则，所以.设，则，因为，，所以.由，得，解得，即.所以，又，所以； （2）（i）设，作，垂足为O，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面BDC.又，所以，当且仅当时取最大值，此时，，即BD，CD，PD两两垂直，设三棱锥的外接球半径为R，则，所以三棱锥的外接球的表面积为； （ii）如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 则，设平面PBD的一个法向量为，则， 所以，   令，则，所以，，设直线PC与平面PBD所成角为，则 ， 令，则，所以，当且仅当时取等号，所以，故直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何中的外接球、内切球与棱切球 知识点一 几个与球有关的切、接常用结论 1.正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 2.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 3.正四面体的棱长为a，外接球半径为．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 知识点二 外接球 1.外接球模型一：墙角模型（三条直线两两垂直） 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 2.外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 3.外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 4.外接球模型四：垂面模型 （1）垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 （2）或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 5.外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 6.外接球模型六：二面角模型 如图所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 7.外接球模型七：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点三 内切球 1、等积法： 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点四 棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 一 真题导向 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 8.（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 二 题型分类 题型一 墙角以及补成长方体模型 例1.（1）（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·吉林长春·期末）如图所示，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B．3π C． D．2π （4）（2026·吉林长春·阶段检测）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 例2.（1）（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． （2）（2026·山西晋城·三模）如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·四川绵阳·模拟预测）在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为______.    （4）（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）在直三棱柱中，，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面、底面均相切）则__________，当为的中点，为棱上的点，时，四面体外接球的表面积为__________. 题型二 利用三棱锥的三组对棱长分别相等模型 例3.（1）（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． （2）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （3）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． （4）（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 题型三 圆柱、棱柱的外接球 例4.（1）已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为______. （4）（2026·山东临沂·一模）已知圆柱，点是上底面圆周上的一动点，点在下底面的圆周上，且满足，，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________． 例5.（1）（2025·河南·二模）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·河南·开学考试）已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. （3）（2026·河北·模拟预测）正三棱柱的顶点均在球的表面上，且，当此三棱柱的体积最大时，球的表面积为________． （4）已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 题型四 圆锥、正棱锥的外接球 例6.（1）（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·山东聊城·模拟预测）已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 （3）（26-27高三上·云南·阶段检测）在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． （4）（2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． （5）（2026·甘肃金昌·三模）在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·重庆·三模）已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 例7.（1）（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． （3）（2026·福建龙岩·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积的比值为__________． （4）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． （6）（2026·河南驻马店·模拟预测）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五 圆台、棱台的外接球 例8.（1）（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． （2）（26-27高三上·浙江·阶段检测）底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台．当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为（   ） A． B．1 C． D． （3）（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 . （4）（2026·湖南株洲·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线(侧棱)长为，该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，若球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （6）（2025高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 例9.（1）（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·河南安阳·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. （4）（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为 . 题型六 垂面模型 例10（1）（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________． （4）（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． （5）（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例11（1）（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． （2）（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B．1 C． D． （4）（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·山东济宁·一模）四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型七 二面角模型 例12（1）（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （3）（26-27高三上·云南·阶段检测）在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． （4）（2026·湖北·二模）三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________. 例13（1）（25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. （2）（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为__________. （3）（山东德州市2026届高三下学期一模考试数学试题）在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. （4）（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 题型八 坐标法 例14（1）（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·山东烟台·二模）三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·湖南·三模）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 例15（1）（2026·天津南开·二模）已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． （2）（江苏南京外国语学校等学校2026届高三年级第三次质量检测数学试题）在等腰梯形ABCD中，AB与CD平行，，，沿对角线AC将折起得到三棱锥，若异面直线与BC所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D．或 （3）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在三棱锥中，平面ABC，． （1）求证：平面平面PBC； （2）设，，点M，A，B、C均在球O的球面上． （ⅰ）当时，求球O的表面积； （ⅱ）设球O的球面与直线PA交于点G（异于点A）．求直线BG与平面PBC所成角最大时的值． 题型九 棱柱、圆柱内切球 例16（1）（26-27高三上·云南大理·开学考试）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． （2）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． （3）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． （4）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·高三·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 题型十 圆锥、圆台、棱台内切球 例17（1）（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知某圆锥的母线长为2，且其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥内切球的表面积为（     ） A． B． C． D． （2）（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． （3）（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． （4）．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． （5）（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 例18（1）（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·河南·三模）一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． （3）（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ． （4）（2026·河北保定·三模）现有一个带有盖子的正四面体容器，将一个冰球放入该容器中，盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该容器的深度为h，则当冰球完全融化为水后(冰融化为水的体积变化忽略不计)，水的深度约为（    ）(参考数据： ． A． B． C． D． 题型十一 棱锥内切球 例19（1）．（26-27·广西柳州·开学考试）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． （2）（2026·江西南昌·三模）在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为_____________． （3）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 （4）（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . （5）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 题型十二 棱切球 例20（1）（2026·江西南昌·三模）已知正方体的棱长为，若球同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． （2）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 （3）（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . （4）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． （5）（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 课后练习题 1.（2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·云南玉溪·模拟预测）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·江西宜春·模拟预测）若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江温州·二模）已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为，若圆台内接于球，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 6.（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 7.（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 8.（2026·福建泉州·模拟预测）在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 9.（2026·天津滨海新区·三模）已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（     ） A． B． C． D． 10.（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（   ） A． B． C． D．3 11.（多选题）（2026·陕西咸阳·三模）现有3个半径为2且完全相同的小球，若要将这3个小球放入封闭型容器中（容器壁的厚度忽略不计），则这个容器可以是（   ） A．底面边长为，高为4的正三棱锥 B．底面边长为7，高为12的正三棱柱 C．直径为9的球体 D．长为8，宽为4，高为的长方体 12.（2026·重庆·三模）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____． 13.（2026·四川自贡·三模）三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 14.（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 15.（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 16.（2026·云南昆明·模拟预测）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，由六根完全一样的正四棱柱体分成三组构成，其上下、左右、前后完全对称，若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为__________． 17.（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____. 18.（2026·河北·二模）在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____． 19.（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，将沿翻折至，翻折过程中四棱锥外接球半径的最小值为______． 20.（25-26高三下·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知是圆锥的轴截面，，． （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正弦值． 21.（2026·陕西渭南·三模）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，．    （1）证明：； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 22.（2026·贵州贵阳·二模）如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． （1）若DC平分时，求的大小； （2）如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    1 学科网（北京）股份有限公司 $