第50讲 立体几何中的轨迹问题讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何中的轨迹问题，涵盖平行、垂直、等距、等角、投影、翻折及与圆锥曲线结合等核心考点，以定义法、交轨法、坐标法等知识清单为基础，通过考点梳理、典例精讲与方法总结，帮助学生构建空间轨迹问题的解题框架，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出空间观念与逻辑推理能力培养，创新采用“定义-几何-代数”三维解题策略，如利用阿波罗尼斯球解决等距轨迹问题，通过坐标法将空间轨迹转化为平面圆锥曲线。设置分层典题精练与即时方法总结，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第50讲 立体几何中的轨迹问题 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 2 考点一：由动点保持平行求轨迹 2 考点二：由动点保持垂直求轨迹 4 考点三：由动点保持等距(或定长)求轨迹 7 考点四：由动点保持等角(或定角)求轨迹 17 考点五：投影求轨迹 21 考点六：翻折与动点求轨迹 23 考点七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 24 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.立体几何中的轨迹问题是培养空间想象能力、逻辑推理能力和代数运算能力的绝佳载体.通过对空间动点轨迹的探究，能够加深对线面平行、线面垂直、空间角与距离等核心概念的理解，同时熟练掌握坐标法、向量法及圆锥曲线定义的综合应用，对解答立体几何压轴题及解析几何综合题具有重要的思维训练价值. 二、知识清单 1. 定义法 （1） 球面定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面. （2） 中垂面定义：空间中到两定点距离相等的点的集合是这两定点连线的中垂面. （3） 圆柱面定义：空间中到定直线的距离等于定长的点的集合是圆柱面. （4） 阿波罗尼斯球：空间中到两定点距离之比为常数（不等于 ）的点的轨迹是球面. （5） 圆锥曲线定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 的点的轨迹，当 时为椭圆，当 时为抛物线，当 时为双曲线. 2. 交轨法 （1） 两个不重合的球面的交线是一个圆. （2） 平面与球面的交线是一个圆，且球心与截面圆心的连线垂直于截面.截面圆半径 、球半径 与球心到截面的距离 满足 . （3） 平面与圆柱面或圆锥面相交，根据截面与旋转轴的夹角不同，交线可能是圆、椭圆、双曲线或抛物线. 3. 几何法 （1） 线面平行的性质定理：若一条直线与一个平面平行，经过该直线的平面与此平面相交，则交线与该直线平行. （2） 线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （3） 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （4） 最小角定理：斜线与平面内所有直线所成角中，斜线与它在平面内的射影所成角最小. 4. 坐标法 （1） 空间两点间的距离公式：若 ，，则 . （2） 空间线段的中点坐标公式：若 ，，则线段 的中点坐标为 . （3） 球面的标准方程：，其中球心为 ，半径为 . 5. 向量法 （1） 空间向量共线定理：对空间任意两个向量 和 （）， 的充要条件是存在实数 ，使 . （2） 空间向量共面定理：如果两个向量 和 不共线，则向量 与向量 和 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 . （3） 空间向量垂直的充要条件：两个非零向量 和 互相垂直的充要条件是 . （4） 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称 为平面 的法向量. 三、典题精讲 考点一：由动点保持平行求轨迹 考法1：线面平行求正方体动点轨迹 例1.在棱长为 的正方体 中， 在棱 上且满足 ，点 是侧面 上的动点，且 面 ，则动点 在侧面 上的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】寻找线面平行的等价条件，通过取中点构造平行线，将动点轨迹转化为具体的线段. 【解析】如图， 取 的中点 ，并连接 、、， 因为 在棱 上且满足 ，即 是棱 的中点， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，同理可证 平面 ， 又 ，所以平面 平面 ，又 平面 ， 所以 平面 ，所以动点 在侧面 上的轨迹即为 ， 因为正方体的棱长为 1，由勾股定理有：. 【规律】处理线面平行求轨迹问题，核心是利用面面平行性质.若动点所在平面与已知平面平行，则动点轨迹为两平面的交线或区域. 考法2：线面平行求棱柱棱锥动点轨迹 例2.已知棱长为 3 的正四面体 ， 为 的中点，动点 满足 ，平面 经过点 ，且平面 平面 ，则平面 截点 的轨迹所形成的图形的周长为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先利用空间坐标系和距离公式求出动点满足的轨迹方程，再利用面面平行确定截面的位置，最后转化为球的截面圆问题求解. 【解析】设 的外心为 ， 的中点为 ，过 作 的平行线，则以 为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系， 为等边三角形，，，， ，，， 设 ，由 得：， 整理可得：， 动点 的轨迹是以 为球心，2 为半径的球； 延长 ，， 到点 ，，，使得 ，，， 则 ，，又 ， 平面 ，， 平面 ， 平面 ， 平面 ，由 ，， 平面 ， 平面 平面 ，即平面 为平面 ， 则点 到平面 的距离 即为点 到直线 的距离， ，，，即 ， 点 到直线 的距离 ， 截面圆的半径 ， 球被平面 截得的截面圆周长为 ， 即平面 截点 的轨迹所形成的图形的周长为 . 【规律】空间中到两定点距离之比为非1常数的动点轨迹是球面（阿波罗尼斯球）.求平面截球的轨迹周长，关键是算出球心到截面的距离. 【考点一 方法总结】 1. 处理线面平行求轨迹问题，核心是利用面面平行性质.若动点所在平面与已知平面平行，则动点轨迹为两平面的交线或区域. 2. 空间中到两定点距离之比为非1常数的动点轨迹是球面（阿波罗尼斯球）.求平面截球的轨迹周长，关键是算出球心到截面的距离. 考点二：由动点保持垂直求轨迹 考法3：线面垂直求正方体动点轨迹 例3.在棱长为 4 的正方体 中，点 、 分别是 ， 的中点，点 为正方体表面上一动点，若 与 垂直，则点 所构成的轨迹的周长为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】动直线与定直线垂直，可转化为动直线所在的平面与定直线垂直.通过构造定直线的垂面，寻找其与正方体表面的交线. 【解析】如图， 只需过点 作直线 的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点 的轨迹. 分别取 ， 的中点 ，， 由 ，知 ，易知 ， 又 ，，， 平面 ， 所以 平面 ， 过 作平面 的平行平面 ，点 的轨迹为四边形 ， 其周长与四边形 的周长相等， 其中 ，， 所以点 所构成的轨迹的周长为 . 【规律】空间中“线线垂直”常通过“线面垂直”来落实.若动点与定点的连线始终垂直于某定直线，则动点必在过该定点且垂直于定直线的平面内. 考法4：线面垂直求棱柱动点轨迹 例4.在正四棱柱 中，，， 为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨迹的长为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】寻找与定直线垂直的平面，将线线垂直转化为线面垂直，确定动点所在的平面后，再求该平面与棱柱表面的交线长度. 【解析】如图， 连接 ，，由题可知，， 平面 . 因 平面 ，则 . 又 平面 ， 平 ，，则 平面 .又 平面 ，则 . 如图，过 做 平行线，交 于 ，则 为 中点.连接 ，， 过 做 垂线，交 于 . 由题可得， 平面 ，又 ，则 平面 . 因 平面 ，则 . 又 平面 ， 平面 ，，则 平面 . 因 平面 ，则 . 因 平面 ， 平面 ，，则 平面 . 连接 ，则点 轨迹为平面 与四棱柱的交线，即 . 注意到 ， ，则 ，故 . 则点 的轨迹的长为 . 【规律】构造垂面时，通常利用正方体或长方体中天然的正交基底，分别在两个相交平面内寻找与已知直线垂直的直线，从而确定垂面. 考法5：线面垂直求圆柱与球动点轨迹 例5.已知 为正方体 的内切球球面上的动点， 为 的中点，，若动点 的轨迹长度为 ，则正方体的体积是＿＿＿＿＿＿. 【答案】64 【思路】将线线垂直转化为线面垂直，确定动点所在的截面，动点轨迹即为该截面与球面的交线圆，结合等体积法求出圆心距即可. 【解析】如图所示： 正方体 ，设 ，则内切球的半径 ， 其中 为 的中点，取 的中点 ，连接 ， 则有：，， 又 ，， 平面 ， 所以 平面 ， 所以动点 的轨迹是平面 截内切球 的交线， 即平面 截内切球 的交线， 因为正方体 ，， 如图所示： 连接 ，，，则有 且 ， ， 且 ， 设 到平面 的距离为：， 则在三棱锥 中，有 ， 所以 ， 即 ， 解得：， 截面圆的半径 ， 所以动点 的轨迹长度为：， 即 ，解得 ， 所以 ，正方体的体积：. 【规律】动点在球面上且满足与定直线垂直，其轨迹必定是平面截球所得的圆.求该圆半径的核心是求出球心到截面的距离，常用等体积法或几何法. 【考点二 方法总结】 1. 空间中“线线垂直”常通过“线面垂直”来落实.若动点与定点的连线始终垂直于某定直线，则动点必在过该定点且垂直于定直线的平面内. 2. 构造垂面时，通常利用正方体或长方体中天然的正交基底，分别在两个相交平面内寻找与已知直线垂直的直线，从而确定垂面. 3. 动点在球面上且满足与定直线垂直，其轨迹必定是平面截球所得的圆.求该圆半径的核心是求出球心到截面的距离，常用等体积法或几何法. 考点三：由动点保持等距(或定长)求轨迹 考法6：距离关系求正方体长方体动点轨迹 例6.（2026·山东枣庄·模拟）在棱长为 1 的正方体 中， 是棱 的中点， 是正方形 内的动点（包含边界），且 平面 ，则点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】建立空间直角坐标系，利用线面平行的向量条件求出动点的坐标关系，进而求出轨迹长度. 【解析】以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，， ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，得 . 设 ，其中 ，，则 ， 因为 平面 ，所以 ，即 . 又 ，，所以点 的轨迹是连接 和 的线段， 其长度为 . 【规律】利用坐标法处理线面平行问题，可将几何条件转化为代数方程，通过变量的取值范围直接锁定轨迹的形状与长度. 例7.（2026·河北衡水·检测）在长方体 中，，， 为长方体表面上一动点，且 ，则点 的轨迹的总长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】将空间距离转化为各个面上的圆弧，分别计算弧长后求和. 【解析】若点 在平面 内，则 ，如图， 点 的轨迹为 ，其长度为 ； 若点 在平面 内，则 ，如图， 点 的轨迹为 ，其长度为 ，由对称性可知， 点 在平面 内的轨迹长度也为 ； 点 不可能在平面 内，在平面 ， 内时分别位于点 ， 处，所以 点 的轨迹的总长度为 . 【规律】动点在多面体表面上且到定点距离为定值，其轨迹为以定点为球心的球面与多面体各面的交线（多段圆弧），需分类讨论各面上的情况. 例8.（2026·山东名校联盟·检测）（多选）已知正方体 的棱长为 2，若点 在平面 内， 为 的中点，且 ，则（　　） A. 点 的轨迹长度为 B. 存在点 使得 C. 直线 与 所成角的正切值的最小值为 D. 到直线 距离的最大值小于 【答案】ABD 【思路】动点在已知平面内且到定点距离为定值，其轨迹为该平面内的圆.建立空间直角坐标系，求出圆心和半径，再结合向量运算逐项分析判断. 【解析】以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 则 ，，，，. 设平面 的法向量为 ， 由 ，，令 ，得 . 点 到平面 的距离 . 设点 在平面 上的投影为 ，则 ， 所以 ，代入平面 的方程 ，得 ，解得 ， 即 . 因为 在平面 内，且 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆. 对于 A，点 的轨迹长度为 ，故 A 正确； 对于 B，，若 ，则 ， 设 ，则 ，即 . 又 在平面 内，所以 ，即 . 代入圆的方程 ， 得 ， 即 ，解得 ，有解，故 B 正确； 对于 C，直线 的方向向量为 ，， 设直线 与 所成角为 ，则 . 因为点 在圆上，所以 的取值范围为 ，其中 为平面 与 轴的夹角. ，所以 ，即 . 所以 ，. 所以 的最小值为 ，故 C 错误； 对于 D，，， 点 到直线 的距离 . 点 到直线 距离的最大值为 . 因为 ，所以 ， 所以 ，故 D 正确. 【规律】空间中“平面内动点到定点距离为定值”的轨迹是该平面内的圆.结合空间直角坐标系，将圆的方程参数化，是解决此类轨迹上最值问题的通用方法. 例9.（2026·江苏南京·二模）已知平行六面体 的底面是边长为 2 的正方形，动点 满足 ，，且 平面 .则 的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用空间向量基本定理，将线面平行转化为向量共面，求出参数的关系式，进而确定轨迹. 【解析】由 ，得 . 又 ，， 因为 平面 ，所以存在实数 ，使得 . 由于 ，， 不共面，所以 ，，， 即 ，得 . 又 ，所以点 的轨迹是线段 . 因为底面是边长为 2 的正方形，所以 的轨迹长度为 . 【规律】利用基底向量表示动点位置时，若动点所在直线与某平面平行，则其方向向量可用该平面内的两个不共线向量线性表示，由此可得系数间的等量关系. 考法7：距离关系求棱柱棱锥动点轨迹 例10.（2025·河南青桐鸣·联考）已知正六棱柱 的底面边长为 4，体积为 ，点 在正六边形 内及其边界上运动，若 ，则动点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据体积求出高，利用勾股定理将空间距离转化为平面距离，确定轨迹为圆弧，再计算弧长. 【解析】设此正六棱柱的高为 ，则体积 ，得 ，又 ，在直角三角形 中，可得 ，所以点 的轨迹为以 为圆心，以 2 为半径的圆弧，又因为 ，所以动点 的轨迹长度为 . 【规律】当动点在已知多边形平面内，且到多边形外一定点的距离为定值时，利用勾股定理可将其转化为动点到该平面内某定点（投影点）的距离为定值，轨迹即为圆弧. 例11.（2026·山东德州·三模）（多选）在直四棱柱 中，底面 为菱形，，，侧棱 ， 为底面 对角线的交点，点 是侧面 内的动点（含边界），且满足 平面 ，则（　　） A. 动点 的轨迹是一条线段，且长度为 B. 过 三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C. 直线 与平面 所成角的正切值的取值范围为 D. 三棱柱 的外接球球心与动点 距离的最小值为 【答案】ABC 【思路】建立空间直角坐标系，利用法向量和线面平行的充要条件求出动点的坐标约束，从而确定轨迹方程. 【解析】对于 A，建立空间直角坐标系， 为原点，，， 方向为 ，， 轴正方向. 则 ，，，，，，，. 平面 的法向量 . 设 ，因为 在侧面 内，所以 . 又 平面 ，所以 ，得 . 所以 ，其中 . 当 时， 为 ；当 时， 为 . 所以 的轨迹是线段 ，长度为 ，故 A 正确； 对于 B，当 为 中点时，过 的平面即为平面 .因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，故 B 正确； 对于 C，，平面 的法向量为 . 设直线 与平面 所成角为 ， 则 . 设 ，，求导得 ， 所以 在 上单调递减，最大值为 ，最小值为 . 所以 ，故 C 正确； 对于 D，三棱柱 的外接球球心 . . 当 时， 取得最小值 2，所以最小距离为 ，故 D 错误. 【规律】动点受限于某平面内，且满足线面平行，可通过坐标系设出动点坐标，联立平面方程与法向量垂直条件，化简得到动点的单参数方程，进而求解. 例12.已知正四面体 的棱长为 ，点 为 的重心，点 在正四面体表面上的动点，且满足点 到点 的距离恒为 ，则点 的运动轨迹的总长度为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】将空间轨迹问题转化为球面与多面体各面的交线问题，分别求出底面和侧面截得的圆弧半径和圆心角，最后求和. 【解析】正四面体棱长 ，点 为底面 的中心. 点 在正四面体表面上，且 . 到 各边的距离 ， 到各顶点的距离为 . 因为 ，所以球面与底面 截得的圆与三边相交. 在底面上，截得的圆弧有三段，每段圆弧对应的弦心距为 ， 设弦心距对应的圆心角为 ，则 ，得 . 所以每段在三角形外的圆弧圆心角为 ，三角形内的三段圆弧总圆心角为 . 底面上的轨迹长度 . 对于侧面 ，设 到平面 的距离为 ，平面 与底面夹角为 ，则 ，. . 因为 ，所以球面与侧面 相交，截面圆半径 . 截面圆心 到 的距离为 . 因为 ，所以截面圆与 相交，且弦心距对应的圆心角 满足 ，得 . 截面圆在侧面 内的圆心角为 . 每个侧面上的轨迹长度 . 总轨迹长度 . 【规律】动点在多面体表面上且到某定点距离为定值，轨迹为球面与多面体各面的交线.需分别计算球心到各面的距离以判断是否相交，并利用平面几何知识求出各面上的圆弧长. 考法8：阿波罗尼斯球与球面距离求轨迹 例13.设 A，B 是半径为 3 的球体 O 表面上两定点，且 ，球体 O 表面上动点 P 满足 ，则点 P 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用阿波罗尼斯圆的性质，求出动点P在空间中的轨迹球面，再与原球面求交线，计算交线圆的周长. 【解析】以 AOB 所在的平面建立直角坐标系，AB 为 轴，AB 的垂直平分线为 轴， ，则 ，，设 ，， 则 ，整理得到 ， 故 P 轨迹是以 为圆心，半径 的圆， 转化到空间中：当 P 绕 AB 为轴旋转一周时，， 不变，依然满足 ， 故空间中 P 的轨迹为以 C 为球心，半径为 的球， 同时 P 在球 O 上，故 P 在两球的交线上，为圆. 球心距为 ， 为直角三角形，对应圆的半径为 ， 周长为 . 【规律】空间中到两定点距离之比为常数（不为1）的点的轨迹是一个球面（空间阿氏圆）.动点同时在两个球面上，其轨迹为两球面的交线圆，利用勾股定理或余弦定理求交线圆半径. 例14.设 是半径为 4 的球 的表面上两定点，且 ，球 的表面上一动点 满足 ，则点 的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用空间直角坐标系将距离关系转化为球面方程，求出两球面的交线圆半径即可. 【解析】以 的中点为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系. 因为 ，所以 ，. 设 ，由 ，得 ， 整理得 ， 即点 在以 为球心， 为半径的球面上. 又点 在以 为球心， 为半径的球面上， 因为 是边长为 4 的等边三角形，所以 到 的距离为 ，即 . 两球心距离 . 点 的轨迹是两球面的交线圆，设其半径为 ，在 中，，，， 由余弦定理得 ， 所以 . 所以交线圆的半径 . 所以点 的轨迹长度为 . 【规律】通过建系将距离比例关系代数化，直接得到阿波罗尼斯球的方程.两球相交问题，核心是解由两球半径和球心距构成的三角形. 考法9：圆锥曲线定义判断空间动点轨迹 例15.设 ， 为异面直线， 为平面，已知 ，，，动点 .若 到直线 ， 的距离相等，则 的轨迹为（　　） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【思路】将空间距离转化为平面内点到定点和定直线的距离关系，结合圆锥曲线定义判断轨迹形状. 【解析】如图： 不妨设 在平面 内投影为 ，则 ， 设直线 与平面 的距离为 ， 则在平面 内，以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，设 则 到 的距离为 ， 到 的距离为 ， 所以 到直线 的距离为 ， 所以 ，即 ，故轨迹为双曲线. 【规律】空间中的距离关系若能通过投影或坐标系转化为平面内动点坐标的代数方程，化简后即可根据圆锥曲线的标准方程进行判定. 例16.（多选）如图，平面 平面 ， 为线段 的中点，，，直线 与平面 所成角的大小为 ， 为平面 内的动点，则下列说法正确的是（　　） A. 球心为 、半径为 的球面被平面 截得的圆周长为 B. 若点 到点 和点 的距离相等，则点 的轨迹是抛物线 C. 若点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为 D. 满足 的点 的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【思路】建立空间直角坐标系，将动点条件转化为平面内的轨迹方程，结合圆锥曲线定义进行判断. 【解析】对于 A，因为直线 MN 与平面 所成角的大小为 ，所以点 N 到平面 的距离 ，球心为 N、半径 的球面被平面 截得的图形为圆，圆的半径 ，所以圆的周长为 ，故 A 正确； 对于 B，因为平面 平面 ，所以以 AB 所在直线为 轴，在平面 内过点 M 作 轴 ，在平面 ABN 内作 轴 ，建立如图 1 所示的空间直角坐标系， 则 ，，，，设 ，由 ，得 ，化简得 ，故点 P 的轨迹是一条直线，故 B 错误； 对于 C，由上面的分析知 ，，所以点 P 到直线 MN 的距离为 ，可得 ，所以点 P 的轨迹是平面 内的椭圆 ，如图 2， 当 P 为短轴的端点时， 最大，由于 ，，故 是正三角形，因此 ，故 C 正确； 对于 D，，，，若 ，则 ，化简得 且 ，故满足 的点 P 的轨迹是双曲线的一部分，故 D 错误. 【规律】空间中动点满足某种距离或角度关系，判断其在某平面内的轨迹类型时，最直接有效的方法是建立空间直角坐标系，求出该平面内的二维坐标方程，化简后根据圆锥曲线的标准方程进行判定. 【考点三 方法总结】 1. 空间中“平面内动点到定点距离为定值”的轨迹是该平面内的圆.结合空间直角坐标系，将圆的方程参数化，是解决此类轨迹上最值问题的通用方法. 2. 动点在多面体表面上且到定点距离为定值，其轨迹为以定点为球心的球面与多面体各面的交线（多段圆弧），需分类讨论各面上的情况. 3. 动点受限于某平面内，且满足线面平行，可通过坐标系设出动点坐标，联立平面方程与法向量垂直条件，化简得到动点的单参数方程，进而求解. 4. 空间中到两定点距离之比为常数（不为1）的点的轨迹是一个球面（空间阿氏圆）.动点同时在两个球面上，其轨迹为两球面的交线圆，利用勾股定理或余弦定理求交线圆半径. 5. 空间中的距离关系若能通过投影或坐标系转化为平面内动点坐标的代数方程，化简后即可根据圆锥曲线的标准方程进行判定. 考点四：由动点保持等角(或定角)求轨迹 考法10：等角关系判断空间动点轨迹 例17.在正方体 中，动点 在底面 内运动且满足 ，则动点 在底面 内的轨迹为（　　） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线一支的一部分 D. 前三个答案都不对 【答案】A 【思路】寻找空间中与定直线成等角的动线，其轨迹为圆锥面.再求圆锥面与底面的交线. 【解析】因为 ，故 在圆锥面上，该圆锥以 为轴， 为顶点， 而 在底面 内， 故动点 在底面 内的轨迹是以 为圆心的四分之一圆弧 . 【规律】空间中过定点且与定直线成定角的动直线，其轨迹是一个圆锥面.该圆锥面与垂直于旋转轴的平面的交线为圆. 考法11：等角关系求正方体动点轨迹 例18.（多选）如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 、 分别是直线 、 上的动点， 是正方形 内动点（包含边界）， 与 相交于 ，记直线 与 所成角为 ，若 的最小值为 ，则下列说法中正确的是（　　） A. 的轨迹是双曲线的一部分 B. 的轨迹是椭圆的一部分 C. 四棱锥 体积最大值为 D. 的轨迹长度为 【答案】BCD 【思路】利用最小角定理确定线面角，得出动点轨迹为圆弧；通过圆锥截线性质判断轨迹形状；利用代数坐标法求出体积最大值. 【解析】依题意，直线 与平面 内的直线 所成角的最小值为 ， 由最小角定理可知，直线 与平面 所成的角为 ， 即 ，在 中，，则 . 因为 是正方形 内动点（包含边界），所以 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在正方形内的一段圆弧， 其长度为 ，故 A 错误，D 正确； 对于 B，点 是直线 与平面 的交点，即点 的轨迹是平面 截圆锥 的侧面所得的曲线. 圆锥的轴为 ，母线与轴的夹角为 . 以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面 的法向量为 ， 设平面 与轴 的夹角为 ，则 ， 即截面与轴的夹角大于母线与轴的夹角，所以截线是椭圆，故 B 正确； 对于 C，设 ，则 ()， 直线 的参数方程为 ，代入平面 的方程 ， 得 ，解得 . 所以点 的竖坐标 . 因为 ， 所以 . 四棱锥 的体积最大值为 ，故 C 正确.故选 BCD. 【规律】处理线线角的极值问题，常利用“最小角定理”转化为线面角.当斜线与平面内所有直线的夹角存在最小值时，该最小值即为斜线与平面所成的角. 考法12：等角关系求棱锥与球面动点轨迹 例19.已知 ，，， 是半径为 2 的球面上的四点，且 ，．二面角 的大小为 ，则点 形成的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用二面角确定动点所在平面的位置，求出该平面截球面所得的圆半径，进而求出轨迹长度. 【解析】由题意， 为等腰直角三角形，且外接圆半径 ，圆心为 中点 ， 又 外接球半径 ，球心 ，则 ， 易知： 为等腰直角三角形，又二面角 的大小为 ， 由 为 外接圆直径，且面 面 ，则 与面 所成角为 ， 所以 到 外接圆圆心距离 ，故 外接圆的半径为 ， 注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示， 轨迹在大球冠对应 外接圆优弧的一侧，在小球冠对应 外接圆劣弧的一侧， 所以 轨迹长度为 . 【规律】二面角为定值，意味着动点所在的半平面位置固定.动点又在球面上，因此轨迹是该半平面与球面的交线（圆弧或整圆）.求出球心到该平面的距离即可求出圆半径. 考法13：等角关系求折叠图形动点轨迹 例20.如图所示，在平行四边形 中， 为 中点，，，.沿着 将 折起，使 到达点 的位置，且平面 平面 .设 为 内的动点，若 ，则点 的轨迹的长度为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式将角度关系转化为坐标方程，确定轨迹为圆弧并求长. 【解析】因平面 平面 ，平面 平面 ，，于是得 平面 ，而 ，则 平面 ， 从而得 ， 分别是 ， 在平面 内的射影，如图示， ， ，而 ，，则 ， 在 所在平面内以点 为原点，射线 、 分别为 ， 轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图， 则 ，设 ，于是得 ，整理得 ， 从而得点 的轨迹是以 为圆心，4 为半径的圆，圆 交 ， 分别于 ，， 显然 ，圆 在 内的部分是圆心角 所对的弧 ，弧 长为 ， 所以点 的轨迹的长度为 . 【规律】涉及折叠后的角度相等问题，常通过面面垂直找到射影，利用直角三角形中的三角函数关系将角度相等转化为线段比例关系，进而转化为阿波罗尼斯圆问题. 【考点四 方法总结】 1. 空间中过定点且与定直线成定角的动直线，其轨迹是一个圆锥面.该圆锥面与垂直于旋转轴的平面的交线为圆. 2. 处理线线角的极值问题，常利用“最小角定理”转化为线面角.当斜线与平面内所有直线的夹角存在最小值时，该最小值即为斜线与平面所成的角. 3. 二面角为定值，意味着动点所在的半平面位置固定.动点又在球面上，因此轨迹是该半平面与球面的交线（圆弧或整圆）.求出球心到该平面的距离即可求出圆半径. 4. 涉及折叠后的角度相等问题，常通过面面垂直找到射影，利用直角三角形中的三角函数关系将角度相等转化为线段比例关系，进而转化为阿波罗尼斯圆问题. 考点五：投影求轨迹 考法14：投影法求折叠图形动点轨迹 例21.如图，在 中，，，， 为线段 (端点除外) 上一动点.现将 沿线段 折起至 ，使二面角 的大小为 120°，则在点 的移动过程中，下列说法错误的是（　　） A. 不存在点 ，使得 B. 点 在平面 上的投影轨迹是一段圆弧 C. 与平面 所成角的余弦值的取值范围是 D. 线段 的最小值是 【答案】D 【思路】通过作垂线找到投影点，利用几何关系推导轨迹及相关最值. 【解析】过点 作 的垂线，交 于点 ，连接 ，，过点 作 的垂线，交 于点 ，易知 ，则 平面 ，所以 为二面角 的平面角的补角，即 ，所以 ，即 为 的中点，易知平面 平面 ，又 ，所以 平面 ，所以 在平面 上的投影为点 ， 对于选项 A，若 ，连接 ，则 ，而这是不可能成立的，故 A 正确； 对于选项 B，因为 ，所以点 的轨迹为以 为直径的一段圆弧，又 为 的中点，所以点 的轨迹也为一段圆弧，故 B 正确； 对于选项 C，连接 ，则 与平面 所成的角为 ，设 ，则 ，所以由 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故 C 正确； 对于选项 D，设 ，则 ，， ， 其中 ，故 ，故 D 错误， 故选：D. 【规律】折叠问题中求动点投影的轨迹，关键是利用二面角的平面角构造直角三角形，找到投影点与折痕上垂足的几何位置关系. 考法15：投影法求球的平行投影轨迹 例22.如图，已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为 ，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆 .如图，椭圆中心为 ，球与地面的接触点为 ，.若光线与地面所成角为 ，椭圆的离心率 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用平行投影的性质，结合直角三角形求出椭圆的长短半轴，进而求离心率. 【解析】连接 ， 因为 ，，， 所以 ， 所以 ， 在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即 ， 如图，椭圆的长轴长 是 ，过点 向 作垂线，垂足为 ， 由题意得 ，， 因为 ，所以 ， 所以 ，得 ， 所以椭圆的离心率为 ， 故答案为：. 【规律】球在平行光下的投影是椭圆，其短半轴长等于球的半径，长半轴长与光线倾斜角有关.通过截面图构造直角三角形是求解关键. 【考点五 方法总结】 1. 折叠问题中求动点投影的轨迹，关键是利用二面角的平面角构造直角三角形，找到投影点与折痕上垂足的几何位置关系. 2. 球在平行光下的投影是椭圆，其短半轴长等于球的半径，长半轴长与光线倾斜角有关.通过截面图构造直角三角形是求解关键. 考点六：翻折与动点求轨迹 考法16：几何法求多边形翻折动点轨迹 例23.已知菱形 的各边长为 2，.如图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 . 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】确定外接球球心位置，利用线面垂直找到动点所在的平面，求出截面圆半径即可. 【解析】取 中点 ，则 ，，， 平面 ，，又 ，，作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，则平面 经过点 且 ，设三棱锥 外接球的球心为 ，， 的中心分别为 ，，易知 平面 ， 平面 ，且 ，，， 四点共面，由题可得 ，，解 ，得 ，又 ，则三棱锥 外接球半径 ，易知 到平面 的距离 ， 故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ， 截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 . 故选：C. 【规律】翻折问题中求外接球上的动点轨迹，核心是先定位外接球球心，再根据垂直条件确定动点所在的截面，最后利用勾股定理求截面圆半径. 考法17：几何法求多边形翻折投影轨迹 例24.已知 的边长都为 2，在边 上任取一点 ，沿 将 折起，使平面 平面 .在平面 内过点 作 平面 ，垂足为 ，那么随着点 的变化，点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】利用面面垂直的性质定理，确定投影点P恒在过B作CD的垂线上，进而转化为平面几何中的轨迹问题. 【解析】由题意，在平面 内作 ，交 于 ，因为平面 平面 ，平面 与平面 交于 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 两点重合，于是随着点 的变化， 始终成立，可得在平面 中， 始终成立，即得点 的轨迹是以 为直径的圆的一部分，由题意知随着点 的变化， 的范围为 ，可得点 的轨迹是以 为直径 (半径为 1) 的圆的 ，即得点 的轨迹长度为 . 故选：C. 【规律】翻折过程中的投影点轨迹，通常利用面面垂直性质定理，将投影点锁定在某条直线上.若该直线与某定直线始终垂直，则轨迹为圆弧. 【考点六 方法总结】 1. 翻折问题中求外接球上的动点轨迹，核心是先定位外接球球心，再根据垂直条件确定动点所在的截面，最后利用勾股定理求截面圆半径. 2. 翻折过程中的投影点轨迹，通常利用面面垂直性质定理，将投影点锁定在某条直线上.若该直线与某定直线始终垂直，则轨迹为圆弧. 考点七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 考法18：坐标法求空间距离转化轨迹 例25.已知正方体 的棱长为 ，对角线 的中点为 ，动点 在平面 内，且点 到平面 的距离等于 . （1）求四棱锥 体积的最小值； （2）记点 的轨迹为曲线 ，点 ，， 是曲线 上不同三点. （i）若平面 与轨迹 相交于 ， 两点，求线段 的长； （ii）若点 在点 上方，且 ，， 与平面 所成角相等，平面 过 ， 且与 平行，判断平面 与平面 的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i） （ii）是定值， 【思路】将空间距离关系转化为平面内的抛物线定义，建立空间直角坐标系，利用向量法和解析几何方法综合求解. 【解析】（1）设点 到平面 和直线 的距离分别为 ，， 因为点 在平面 内，且平面 与平面 的夹角为 ， 因此 ，得 ， 所以点 的轨迹是 为焦点， 为准线的抛物线， 当点 在抛物线的顶点 处时， 最小， 最小值为 ，此时 ， 所以四棱锥 体积的最小值为 ； （2）设 的中点为 ，则 ，如图 1， 以 的中点 为原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，设点 ，则 ， （i）平面 与平面 的交线为 ， 因此 ， 是直线 与抛物线 的交点，如图 2， 在平面 中，可以设 ， 与抛物线 方程联立，得：， 因此，； （ii）如图 3， 在平面 中，点 在点 上方，且 ， 得到点 坐标为 ，因为 ， 与平面 所成角相等， 所以 ， 与 所成角相等， 因此，， 的斜率互为相反数， 设 ，，则 ， 得 ， 因此，， 因此，在空间直角坐标系中， 的方向向量为 ， 又 ， 设平面 的法向量 ， 由 ，由 ， 令 ，则 ， 又平面 的法向量 ，. 【考点七 方法总结】 1. 空间中的距离关系若能转化为平面内动点到定点与定直线的距离相等，则可判定轨迹为抛物线.后续常结合坐标系转化为解析几何综合题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第50讲 立体几何中的轨迹问题 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 2 考点一：由动点保持平行求轨迹 2 考点二：由动点保持垂直求轨迹 3 考点三：由动点保持等距(或定长)求轨迹 3 考点四：由动点保持等角(或定角)求轨迹 6 考点五：投影求轨迹 7 考点六：翻折与动点求轨迹 8 考点七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 9 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.立体几何中的轨迹问题是培养空间想象能力、逻辑推理能力和代数运算能力的绝佳载体.通过对空间动点轨迹的探究，能够加深对线面平行、线面垂直、空间角与距离等核心概念的理解，同时熟练掌握坐标法、向量法及圆锥曲线定义的综合应用，对解答立体几何压轴题及解析几何综合题具有重要的思维训练价值. 二、知识清单 1. 定义法 （1） 球面定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面. （2） 中垂面定义：空间中到两定点距离相等的点的集合是这两定点连线的中垂面. （3） 圆柱面定义：空间中到定直线的距离等于定长的点的集合是圆柱面. （4） 阿波罗尼斯球：空间中到两定点距离之比为常数（不等于 ）的点的轨迹是球面. （5） 圆锥曲线定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 的点的轨迹，当 时为椭圆，当 时为抛物线，当 时为双曲线. 2. 交轨法 （1） 两个不重合的球面的交线是一个圆. （2） 平面与球面的交线是一个圆，且球心与截面圆心的连线垂直于截面.截面圆半径 、球半径 与球心到截面的距离 满足 . （3） 平面与圆柱面或圆锥面相交，根据截面与旋转轴的夹角不同，交线可能是圆、椭圆、双曲线或抛物线. 3. 几何法 （1） 线面平行的性质定理：若一条直线与一个平面平行，经过该直线的平面与此平面相交，则交线与该直线平行. （2） 线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （3） 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （4） 最小角定理：斜线与平面内所有直线所成角中，斜线与它在平面内的射影所成角最小. 4. 坐标法 （1） 空间两点间的距离公式：若 ，，则 . （2） 空间线段的中点坐标公式：若 ，，则线段 的中点坐标为 . （3） 球面的标准方程：，其中球心为 ，半径为 . 5. 向量法 （1） 空间向量共线定理：对空间任意两个向量 和 （）， 的充要条件是存在实数 ，使 . （2） 空间向量共面定理：如果两个向量 和 不共线，则向量 与向量 和 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 . （3） 空间向量垂直的充要条件：两个非零向量 和 互相垂直的充要条件是 . （4） 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称 为平面 的法向量. 三、典题精练 考点一：由动点保持平行求轨迹 考法1：线面平行求正方体动点轨迹 例1.在棱长为 的正方体 中， 在棱 上且满足 ，点 是侧面 上的动点，且 面 ，则动点 在侧面 上的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 考法2：线面平行求棱柱棱锥动点轨迹 例2.已知棱长为 3 的正四面体 ， 为 的中点，动点 满足 ，平面 经过点 ，且平面 平面 ，则平面 截点 的轨迹所形成的图形的周长为＿＿＿＿＿＿. 【考点一 方法总结】 1. 处理线面平行求轨迹问题，核心是利用面面平行性质.若动点所在平面与已知平面平行，则动点轨迹为两平面的交线或区域. 2. 空间中到两定点距离之比为非1常数的动点轨迹是球面（阿波罗尼斯球）.求平面截球的轨迹周长，关键是算出球心到截面的距离. 考点二：由动点保持垂直求轨迹 考法3：线面垂直求正方体动点轨迹 例3.在棱长为 4 的正方体 中，点 、 分别是 ， 的中点，点 为正方体表面上一动点，若 与 垂直，则点 所构成的轨迹的周长为＿＿＿＿＿＿. 考法4：线面垂直求棱柱动点轨迹 例4.在正四棱柱 中，，， 为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨迹的长为＿＿＿＿＿＿. 考法5：线面垂直求圆柱与球动点轨迹 例5.已知 为正方体 的内切球球面上的动点， 为 的中点，，若动点 的轨迹长度为 ，则正方体的体积是＿＿＿＿＿＿. 【考点二 方法总结】 1. 空间中“线线垂直”常通过“线面垂直”来落实.若动点与定点的连线始终垂直于某定直线，则动点必在过该定点且垂直于定直线的平面内. 2. 构造垂面时，通常利用正方体或长方体中天然的正交基底，分别在两个相交平面内寻找与已知直线垂直的直线，从而确定垂面. 3. 动点在球面上且满足与定直线垂直，其轨迹必定是平面截球所得的圆.求该圆半径的核心是求出球心到截面的距离，常用等体积法或几何法. 考点三：由动点保持等距(或定长)求轨迹 考法6：距离关系求正方体长方体动点轨迹 例6.（2026·山东枣庄·模拟）在棱长为 1 的正方体 中， 是棱 的中点， 是正方形 内的动点（包含边界），且 平面 ，则点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 例7.（2026·河北衡水·检测）在长方体 中，，， 为长方体表面上一动点，且 ，则点 的轨迹的总长度为（　　） A. B. C. D. 例8.（2026·山东名校联盟·检测）（多选）已知正方体 的棱长为 2，若点 在平面 内， 为 的中点，且 ，则（　　） A. 点 的轨迹长度为 B. 存在点 使得 C. 直线 与 所成角的正切值的最小值为 D. 到直线 距离的最大值小于 例9.（2026·江苏南京·二模）已知平行六面体 的底面是边长为 2 的正方形，动点 满足 ，，且 平面 .则 的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 考法7：距离关系求棱柱棱锥动点轨迹 例10.（2025·河南青桐鸣·联考）已知正六棱柱 的底面边长为 4，体积为 ，点 在正六边形 内及其边界上运动，若 ，则动点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 例11.（2026·山东德州·三模）（多选）在直四棱柱 中，底面 为菱形，，，侧棱 ， 为底面 对角线的交点，点 是侧面 内的动点（含边界），且满足 平面 ，则（　　） A. 动点 的轨迹是一条线段，且长度为 B. 过 三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C. 直线 与平面 所成角的正切值的取值范围为 D. 三棱柱 的外接球球心与动点 距离的最小值为 例12.已知正四面体 的棱长为 ，点 为 的重心，点 在正四面体表面上的动点，且满足点 到点 的距离恒为 ，则点 的运动轨迹的总长度为＿＿＿＿＿＿. 考法8：阿波罗尼斯球与球面距离求轨迹 例13.设 A，B 是半径为 3 的球体 O 表面上两定点，且 ，球体 O 表面上动点 P 满足 ，则点 P 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 例14.设 是半径为 4 的球 的表面上两定点，且 ，球 的表面上一动点 满足 ，则点 的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 考法9：圆锥曲线定义判断空间动点轨迹 例15.设 ， 为异面直线， 为平面，已知 ，，，动点 .若 到直线 ， 的距离相等，则 的轨迹为（　　） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 例16.（多选）如图，平面 平面 ， 为线段 的中点，，，直线 与平面 所成角的大小为 ， 为平面 内的动点，则下列说法正确的是（　　） A. 球心为 、半径为 的球面被平面 截得的圆周长为 B. 若点 到点 和点 的距离相等，则点 的轨迹是抛物线 C. 若点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为 D. 满足 的点 的轨迹是椭圆 【考点三 方法总结】 1. 空间中“平面内动点到定点距离为定值”的轨迹是该平面内的圆.结合空间直角坐标系，将圆的方程参数化，是解决此类轨迹上最值问题的通用方法. 2. 动点在多面体表面上且到定点距离为定值，其轨迹为以定点为球心的球面与多面体各面的交线（多段圆弧），需分类讨论各面上的情况. 3. 动点受限于某平面内，且满足线面平行，可通过坐标系设出动点坐标，联立平面方程与法向量垂直条件，化简得到动点的单参数方程，进而求解. 4. 空间中到两定点距离之比为常数（不为1）的点的轨迹是一个球面（空间阿氏圆）.动点同时在两个球面上，其轨迹为两球面的交线圆，利用勾股定理或余弦定理求交线圆半径. 5. 空间中的距离关系若能通过投影或坐标系转化为平面内动点坐标的代数方程，化简后即可根据圆锥曲线的标准方程进行判定. 考点四：由动点保持等角(或定角)求轨迹 考法10：等角关系判断空间动点轨迹 例17.在正方体 中，动点 在底面 内运动且满足 ，则动点 在底面 内的轨迹为（　　） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线一支的一部分 D. 前三个答案都不对 考法11：等角关系求正方体动点轨迹 例18.（多选）如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 、 分别是直线 、 上的动点， 是正方形 内动点（包含边界）， 与 相交于 ，记直线 与 所成角为 ，若 的最小值为 ，则下列说法中正确的是（　　） A. 的轨迹是双曲线的一部分 B. 的轨迹是椭圆的一部分 C. 四棱锥 体积最大值为 D. 的轨迹长度为 考法12：等角关系求棱锥与球面动点轨迹 例19.已知 ，，， 是半径为 2 的球面上的四点，且 ，.二面角 的大小为 ，则点 形成的轨迹长度为＿＿＿＿＿＿. 考法13：等角关系求折叠图形动点轨迹 例20.如图所示，在平行四边形 中， 为 中点，，，.沿着 将 折起，使 到达点 的位置，且平面 平面 .设 为 内的动点，若 ，则点 的轨迹的长度为＿＿＿＿＿＿. 【考点四 方法总结】 1. 空间中过定点且与定直线成定角的动直线，其轨迹是一个圆锥面.该圆锥面与垂直于旋转轴的平面的交线为圆. 2. 处理线线角的极值问题，常利用“最小角定理”转化为线面角.当斜线与平面内所有直线的夹角存在最小值时，该最小值即为斜线与平面所成的角. 3. 二面角为定值，意味着动点所在的半平面位置固定.动点又在球面上，因此轨迹是该半平面与球面的交线（圆弧或整圆）.求出球心到该平面的距离即可求出圆半径. 4. 涉及折叠后的角度相等问题，常通过面面垂直找到射影，利用直角三角形中的三角函数关系将角度相等转化为线段比例关系，进而转化为阿波罗尼斯圆问题. 考点五：投影求轨迹 考法14：投影法求折叠图形动点轨迹 例21.如图，在 中，，，， 为线段 (端点除外) 上一动点.现将 沿线段 折起至 ，使二面角 的大小为 120°，则在点 的移动过程中，下列说法错误的是（　　） A. 不存在点 ，使得 B. 点 在平面 上的投影轨迹是一段圆弧 C. 与平面 所成角的余弦值的取值范围是 D. 线段 的最小值是 考法15：投影法求球的平行投影轨迹 例22.如图，已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为 ，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆 .如图，椭圆中心为 ，球与地面的接触点为 ，.若光线与地面所成角为 ，椭圆的离心率 ＿＿＿＿＿＿. 【考点五 方法总结】 1. 折叠问题中求动点投影的轨迹，关键是利用二面角的平面角构造直角三角形，找到投影点与折痕上垂足的几何位置关系. 2. 球在平行光下的投影是椭圆，其短半轴长等于球的半径，长半轴长与光线倾斜角有关.通过截面图构造直角三角形是求解关键. 考点六：翻折与动点求轨迹 考法16：几何法求多边形翻折动点轨迹 例23.已知菱形 的各边长为 2，.如图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 . 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（　　） A. B. C. D. 考法17：几何法求多边形翻折投影轨迹 例24.已知 的边长都为 2，在边 上任取一点 ，沿 将 折起，使平面 平面 .在平面 内过点 作 平面 ，垂足为 ，那么随着点 的变化，点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 【考点六 方法总结】 1. 翻折问题中求外接球上的动点轨迹，核心是先定位外接球球心，再根据垂直条件确定动点所在的截面，最后利用勾股定理求截面圆半径. 2. 翻折过程中的投影点轨迹，通常利用面面垂直性质定理，将投影点锁定在某条直线上.若该直线与某定直线始终垂直，则轨迹为圆弧. 考点七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 考法18：坐标法求空间距离转化轨迹 例25.已知正方体 的棱长为 ，对角线 的中点为 ，动点 在平面 内，且点 到平面 的距离等于 . （1）求四棱锥 体积的最小值； （2）记点 的轨迹为曲线 ，点 ，， 是曲线 上不同三点. （i）若平面 与轨迹 相交于 ， 两点，求线段 的长； （ii）若点 在点 上方，且 ，， 与平面 所成角相等，平面 过 ， 且与 平行，判断平面 与平面 的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 【考点七 方法总结】 1. 空间中的距离关系若能转化为平面内动点到定点与定直线的距离相等，则可判定轨迹为抛物线.后续常结合坐标系转化为解析几何综合题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $