7.2 球的切、接问题【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦球的切接问题，覆盖正方体、长方体等六类几何体的内外接球模型，按“核心梳理-题型突破-限时训练”架构，通过考点归纳、方法指导与真题演练，帮助学生构建空间关系认知，突破高考重难点。 特色在于模型化与结构化复习，如用补形法将三棱锥外接球转化为长方体问题，培养数学思维与空间观念。设置分层练习与限时检测，确保高效突破，提升学生几何推导能力，为教师把控复习节奏提供系统支撑。

第七章立体几何与空间向量 §7.2　球的切、接问题 【高考考向预测】 球的切接问题考查内外接球、切面几何体的半径与表面积体积计算，依托几何关系找球心求解；近三年常作为填空选择重难点题型，考频颇高；预测2027 年依旧侧重多面体球类结合计算，侧重模型归纳与几何等量推导。 【核心梳理●明考点】 一、正方体与球 1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. 2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长a. 3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长a. 二、长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高). 三、正棱锥与球 1.内切球：V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. 2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 四、直棱柱的外接球 球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r). 五、圆柱的外接球 R=(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 六、圆锥的外接球 R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 【题型突破●明方向】 题型一　外接球 命题点1　定义法 例1　在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC将△ACD折起，使点D到达点P(P∉平面ABC)的位置，连接BP，形成四面体PABC.则在折起的过程中，四面体PABC的外接球的体积为(　　) A. B. C. D. 命题点2　补形法 例2　(1)(2026·宝鸡模拟)已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，BC=2，PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为(　　) A.28π B.7π C.14π D. (2)已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则球O的表面积是　　　　　　. 命题点3　垂面法 例3　(2025·哈尔滨模拟)在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥外接球的表面积为(　　) A.5π B.10π C.28π D.56π 跟踪训练1　(1)(2025·黔南模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=AA1=2，AB=4，则该正四棱台的外接球的半径为(　　) A. B. C.2 D.10 (2)(2025·鹤壁模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　　　. 题型二　内切球与棱切球 命题点1　内切球 例4　圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为3，则该圆台的内切球的表面积为(　　) A.π B.2π C.4π D.8π 命题点2　棱切球 例5　一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为(　　) A.4π B.4π C.4π D.3π 跟踪训练2　(1)(2026·绵阳模拟)四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=，则该四棱锥的内切球的半径为(　　) A. B. C. D. (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为4，若球O1与该正三棱柱的每条侧棱都相切，则球O1的表面积为　　　　；若在该正三棱柱里面放一个球O2，则球O2的最大体积为　　　　. 多球堆叠相切问题 多球堆叠相切问题关键是连接各球的球心，通过研究球心连接成的几何体解题. 典例　(1)把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为　　　　　　. (2)两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的三个面相切，球O2与过点C1的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为(　　) A.3(2-)π B.4(2-)π C.6(2-)π D.12(2-)π 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为(　　) A.48π B.24π C.12π D.6π 2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为(　　) A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1 3.(2025·十堰模拟)已知某圆柱的轴截面是正方形，且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上，则该圆柱的体积与球O的体积的比值是(　　) A. B. C. D. 4.(2026·运城模拟)一个圆锥的底面半径为，高为3，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值为(　　) A. B. C. D. 5.(2025·景德镇模拟)已知三棱锥P-QRS的各条棱都与同一个球面相切，若PQ=4，PR=5，PS=6，QS=8，则△QRS的周长为(　　) A.12 B.16 C.20 D.24 6.(2025·双鸭山模拟)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·黄冈模拟)将一个棱长为10 cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(　　) A.底面半径为8 cm，高为10 cm的圆柱体 B.底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体 C.半径为5 cm的球体 D.各棱长均为10 cm的四面体 8.(2023·全国甲卷改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值可以是(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，AB=4，PA=3，则此四棱锥外接球的表面积为　　　　　. 10.(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　　　　　 cm. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章立体几何与空间向量 §7.2　球的切、接问题 【高考考向预测】 球的切接问题考查内外接球、切面几何体的半径与表面积体积计算，依托几何关系找球心求解；近三年常作为填空选择重难点题型，考频颇高；预测2027 年依旧侧重多面体球类结合计算，侧重模型归纳与几何等量推导。 【核心梳理●明考点】 一、正方体与球 1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. 2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长a. 3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长a. 二、长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高). 三、正棱锥与球 1.内切球：V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. 2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 四、直棱柱的外接球 球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r). 五、圆柱的外接球 R=(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 六、圆锥的外接球 R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 【题型突破●明方向】 题型一　外接球 命题点1　定义法 例1　在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC将△ACD折起，使点D到达点P(P∉平面ABC)的位置，连接BP，形成四面体PABC.则在折起的过程中，四面体PABC的外接球的体积为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，在原矩形ABCD中，因为AB=4，BC=3， 所以DB=AC=5，设DB与AC交于点O， 则O是Rt△ABC和Rt△DAC的外心， 所以OA=OB=OC=OP=， 所以O为四面体PABC的外接球的球心，且外接球半径R=， 则在折起的过程中，四面体PABC的外接球的体积为V=πR3=×π×=. 命题点2　补形法 例2　(1)(2026·宝鸡模拟)已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，BC=2，PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为(　　) A.28π B.7π C.14π D. 【答案】D 【解析】将三棱锥P-ABC补形成直三棱柱，如图，其中O'为△ABC外接圆的圆心，O为所得三棱柱外接球的球心，也即三棱锥P-ABC外接球的球心， 则OO'⊥平面ABC，OO'=， 则2·O'A===4， 所以O'A=2， 则外接球的半径R=OA==， 所以三棱锥P-ABC的外接球的体积 V=πR3=. (2)已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则球O的表面积是　　　　　　. 【答案】8π 【解析】将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，则 则a2+b2+c2=8， 因为球O的直径即为长方体的体对角线， 则球O的半径为=， 所以球O的表面积是4π×=8π. 命题点3　垂面法 例3　(2025·哈尔滨模拟)在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥外接球的表面积为(　　) A.5π B.10π C.28π D.56π 【答案】D 【解析】如图所示，连接AC，BD交于点O1，取AD的中点E，连接O1E，SE， 由题意知，O1E⊥AD，SE⊥AD，O1为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，O1E⊂平面ABCD， 所以O1E⊥平面SAD， 同理可得SE⊥平面ABCD， 设等边△SAD的外接圆的圆心为O2，过O2作O1E的平行线，过O1作SE的平行线，2条直线交于点O， 则OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAD， 所以O为四棱锥S-ABCD外接球的球心， 设外接球的半径为R， 在等边△SAD中，由正弦定理得=2SO2， 解得SO2=2， 又因为OO2=AB=， 所以R=OS===， 所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为4πR2=4π×()2=56π. 【思维升华】空间几何体外接球问题常见解法 (1)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上.特殊几何体(正棱锥、直棱柱、正棱台等)的外接球的球心，常用定义法. (2)补形法：满足下列条件的可以补成长方体 ①(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①. ②三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②. ③(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③. (3)垂面法：找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心. 跟踪训练1　(1)(2025·黔南模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=AA1=2，AB=4，则该正四棱台的外接球的半径为(　　) A. B. C.2 D.10 【答案】B 【解析】在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，取AC，A1C1的中点分别为F，M，连接MF(图略)，设正四棱台ABCD-A1B1C1D1外接球的球心为O，半径为R，则点O在直线MF上， 由A1B1=AA1=2，AB=4， 所以A1M=×=，AF=×=2，MF==， 若球心O在棱台内部， 所以R2=OF2+AF2=(MF-OF)2+A1M2， 即OF2+(2)2=(-OF)2+()2， 解得OF=-，不符合题意， 所以球心O在棱台外部， 所以R2=OF2+AF2=(OF+MF)2+A1M2， 即OF2+(2)2=(OF+)2+()2，解得OF=， 所以R2=()2+(2)2=10，故R=， 故该正四棱台的外接球的半径为. (2)(2025·鹤壁模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　　　. 【答案】 【解析】如图，设E是BC的中点，连接AE，DE，△BCD的外心为O1，△ABC的外心为O2，O是三棱锥外接球的球心， 由于△ABC和△BCD都是边长为的等边三角形， 所以AE⊥BC，DE⊥BC， AE=DE==， 且O1，O2分别在DE，AE靠近点E的三等分点处， 则EO1=EO2=DE=，O1D=DE=1， 根据二面角A-BC-D的大小为90°及球的性质可知， OO1⊥平面BCD，OO2⊥平面ABC，∠AED=90°， 所以OO1⊥DE，OO2⊥AE，AE⊥DE， 由于EO1=EO2， 所以四边形OO1EO2是正方形，OO1=EO1=， 设三棱锥外接球的半径为R， 则R=OD===， 所以外接球的体积为πR3=×=. 题型二　内切球与棱切球 命题点1　内切球 例4　圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为3，则该圆台的内切球的表面积为(　　) A.π B.2π C.4π D.8π 【答案】D 【解析】如图，取圆台的轴截面，则圆台的高h==2， 则该圆台的内切球的半径r==， 故内切球表面积S=4πr2=8π. 命题点2　棱切球 例5　一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为(　　) A.4π B.4π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】如图所示， 因为正四棱锥底边边长为2，高为， 所以OB=，SB=2， O到SB的距离为d==1， 同理O到SC，SD，SA的距离为1，易知O到AB，BC，CD，DA的距离也为1， 所以O为球的球心，所以球的半径为1， 所以球的表面积为4π. 【思维升华】多面体内切球的球心与半径的确定 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. (4)体积分割是求内切球半径的通用做法. 跟踪训练2　(1)(2026·绵阳模拟)四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=，则该四棱锥的内切球的半径为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=，所以四棱锥P-ABCD为正四棱锥，设底面中心为O，则四棱锥的内切球球心在PO上，且PO==， 设内切球的半径为r，在△PBC中，PB=PC=，BC=2，则cos∠BPC==， sin∠BPC==， 所以S△PBC=×××=2， 所以四棱锥的表面积为S=4×2+22=12， 由V四棱锥P-ABCD=S四边形ABCD·PO=Sr， 即×22×=×12×r，所以r=， 故该四棱锥的内切球的半径为. (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为4，若球O1与该正三棱柱的每条侧棱都相切，则球O1的表面积为　　　　；若在该正三棱柱里面放一个球O2，则球O2的最大体积为　　　　. 【答案】16π　 【解析】若球O1与该正三棱柱的每条侧棱都相切， 即O1到三条侧棱的距离相等， 则球O1的半径即为底面△ABC的外接圆半径R， 又2R==4，∴R=2， ∴球O1的表面积为4πR2=16π. 设底面△ABC的内切圆半径为r， ∴r=2××=1， ∴与该正三棱柱三个侧面相切的球的半径r'=1<=2， ∴与三个侧面相切的球即为该正三棱柱里体积最大的球O2，其体积为πr'3=. 多球堆叠相切问题 多球堆叠相切问题关键是连接各球的球心，通过研究球心连接成的几何体解题. 典例　(1)把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为　　　　　　. 【答案】-2 【解析】如图，点E为下层三个球中的一个球的球心，连接各球的球心，可得到棱长为4的正四面体，这个正四面体的外接球的球心O就是放入空隙的最大半径的小球的球心，连接OE，OE与球E的交点为K，正四面体的外接球半径R=，即OE=，故OK=-2，所以所求的最大半径为-2. (2)两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的三个面相切，球O2与过点C1的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为(　　) A.3(2-)π B.4(2-)π C.6(2-)π D.12(2-)π 【答案】D 【解析】如图，设球O1和O2的半径分别为r1和r2，故O1A=r1，O2C1=r2，O1O2=r1+r2，AC1=2=r1+r2+r1+r2，则r1+r2=，故两球表面积之和为4π+4π=4π(+)≥4π·=2π· =12(2-)π. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为(　　) A.48π B.24π C.12π D.6π 【答案】C 【解析】如图所示，正三棱锥S-ABC，满足SA=SB=SC=2，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥S-ABC放置在一个棱长为2的正方体内，可得正三棱锥S-ABC的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥S-ABC的外接球的半径为R， 则2R==2，即R=，所以正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为4πR2=12π. 2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为(　　) A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1 【答案】A 【解析】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，正四面体各面面积为S，则由正四面体的体积得V=Sr×4=S(R+r)⇒R=3r，所以正四面体的内切球和外接球的体积之比为πr3∶πR3=1∶27. 3.(2025·十堰模拟)已知某圆柱的轴截面是正方形，且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上，则该圆柱的体积与球O的体积的比值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设该圆柱的底面圆的半径为r，高为h，则h=2r，设球O的半径为R，由题意知R==r，则圆柱的体积V1=πr2·h=2πr3，球O的体积V2=πR3=，则==. 4.(2026·运城模拟)一个圆锥的底面半径为，高为3，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为r=，高为h=3，母线长为l，则l===2， 圆锥的轴截面如图，设体积最大的球的半径为R， 则△AOE∽△ACD，故=， 即=，解得R=1， 故该球的体积V的最大值为πR3=. 5.(2025·景德镇模拟)已知三棱锥P-QRS的各条棱都与同一个球面相切，若PQ=4，PR=5，PS=6，QS=8，则△QRS的周长为(　　) A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】D 【解析】如图，设球与棱PQ，PR，PS的切点分别为A，B，C， 则PA=PB=PC，设PA=PB=PC=x， 因为PQ=4，PR=5，PS=6， 则QA=4-x，RB=5-x，SC=6-x， 又QS=QA+SC=(4-x)+(6-x)=8， 解得x=1， 则QR=QA+RB=(4-1)+(5-1)=7， RS=RB+SC=(5-1)+(6-1)=9， 所以△QRS的周长为QR+RS+QS=7+9+8=24. 6.(2025·双鸭山模拟)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，取BC的中点E，BD的中点F，因为BC⊥CD，所以F为△BCD的外心， 连接AE，EF，设△ABC的外心为G， 因为AB=BC=AC=2， 即△ABC为等边三角形， 所以点G在AE上，连接OG，OF， 则OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD， 因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF， 因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点， 所以AE⊥BC， 因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊂平面ABC， 所以AE⊥平面BCD，则AE∥OF， 因为E，F分别为BC，BD的中点， 所以EF∥CD， 又BC⊥CD，所以EF⊥BC， 同理可得EF⊥平面ABC，所以EF∥OG， 故四边形OGEF是矩形. 由BC⊥CD，可得BD==2， 故DF=， 又OF=EG=AE=ABsin 60°=， 设球O的半径为R，则R2=OD2=OF2+DF2=， 所以球O的表面积S=4πR2=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·黄冈模拟)将一个棱长为10 cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(　　) A.底面半径为8 cm，高为10 cm的圆柱体 B.底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体 C.半径为5 cm的球体 D.各棱长均为10 cm的四面体 【答案】BCD 【解析】由于正方体的棱长为10 cm，故圆柱(或圆锥)底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5 cm，圆柱(或圆锥)的高最大不超过10 cm，故A错误，B正确； 正方体的内切球的半径为5 cm，为正方体内最大的球，故C正确； 正方体的面对角线的长度为10 cm，故正四面体的棱长不超过10 cm，故D正确. 8.(2023·全国甲卷改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值可以是(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 【答案】BC 【解析】如图，设球O的半径为R. 当球O是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球O的半径最大，若半径变得更大，球O会包含正方体，球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径2R'为体对角线长AC1==4， 即2R'=4，R'=2，故Rmax=2. 分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，连接MH，HG，NG，MN，MG，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线MG的中点， 则MG=4，当球O的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球O的半径达到最小，即Rmin=2. 综上，R的取值范围为[2，2]，故A，D错误，B，C正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，AB=4，PA=3，则此四棱锥外接球的表面积为　　　　　. 【答案】41π 【解析】由于PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD， 由于四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD， 所以AB，AD，PA两两互相垂直， 所以四棱锥P-ABCD可补形为长方体，且长方体的体对角线为PC==， 所以外接球的半径R==， 所以此四棱锥外接球的表面积为4πR2=41π. 10.(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　　　　　 cm. 【答案】 【解析】设铁球的半径为r cm. 分三种情况讨论. 情况一：竖直排列(一个在上，一个在下)，则4r≤9， ∴r≤； 情况二：水平排列(并排放置)，则4r≤8， ∴r≤2； 情况三：斜向排列，截面图如图所示，0<r<4，由图可知(8-2r)2+(9-2r)2=4r2， 即4r2-68r+145=0，即(2r-5)(2r-29)=0， 解得r=或r=(舍去). 综上所述，铁球半径的最大值为 cm. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $