30.3正多边形与圆同步培优练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以正多边形与圆为核心，通过基础概念辨析、中档计算应用、提升探究拓展的三层设计，覆盖从单一性质到综合推理的知识路径，适配新授课巩固与思维进阶需求，体现几何直观与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正多边形概念、基本性质|选择1-3直接考查尺规作图与命题辨析，填空11-13结合图形计算中心角，强化概念理解| |中档|中心角/边心距计算、简单应用|选择6-10涉及外接圆内切圆综合计算，解答17-19需推理证明图形性质，培养空间观念| |提升|综合证明与规律探究|解答22通过点阵密铺规律探究，融合运算能力与创新意识，实现知识迁移应用|

30.3正多边形与圆同步培优练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是(    ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正七边形 2.有下列命题：各边相等的多边形是正多边形；正多边形是中心对称图形；正六边形的外接圆半径与边长相等；正边形共有条对称轴．其中，真命题的个数是(    ) A. B. C. D. 3.若正多边形的中心角为，则正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 4.如图，六角形螺帽的边长是，这个扳手张开的开口是，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆的半径为(    ) A. B. C. D. 6.如图，，，，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心若，则这个正多边形的边数为(    ) A. B. C. D. 7.若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，，，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，将正方形的四个角截去后使之变成正八边形若正方形的边长为，则正八边形的边长为(    ) A. B. C. D. 9.如图是我国清代康熙年间的八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线，相交于点则线段的长为(    ) A. B. C. D. 10.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，点为正八边形的中心，连接，，则          ． 12.某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同现已摆放个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状要完成这一圆环排列，总共需要          个正五边形木片． 13.中国古代窗户的设计展现了深厚的文化底蕴和生活智慧，如图是一个正八边形窗户的示意图，点是该正八边形的中心，，分别为边，的中点连接，则的度数为          ． 14.已知的半径为，则它的外切正六边形的边长为          ． 15.如图，正方形的边长为，的半径为若在正方形内平移可以与该正方形的边相切，则点到上的点的距离的最大值为          ． 三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.作图并填空： 如图，利用尺规作出已知的内接正六边形不写作法，保留作图痕迹 若已知的半径为，则这个内接正六边形的面积为          ． 17.如图，正五边形，连接对角线，，设与相交于． 写出图中所有的等腰三角形； 判断四边形的形状，并说明理由． 18.如图，正六边形的边长为，求该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积． 19.如图，在的内接等腰三角形中，，弦、分别平分、，． 求证：五边形是正五边形； 若、相交于点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 20.已知的半径． 如图，求的内接正三角形的边心距、边长、周长、面积． 如图，求的内接正四边形的边心距、边长、周长、面积． 如图，求的内接正六边形的边心距、边长、周长、面积． 21.如图，已知是的内接正三角形，点为上一动点，求证： 如图，四边形是的内接正方形，点为上一动点，求证： 如图，六边形是的内接正六边形，点为上一动点，请探究，，三者之间有何数量关系，并予以证明． 22.【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． 探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵图和相应的等式： ； ； ； ； 填空：______； 猜想：______是正整数． 探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． 第层中分别含有______块正方形和______块正三角形； 第层中分别含有______块正方形和______块正三角形用含的代数式表示． 【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16. 【小题】 解：如图六边形即为所求． 【小题】   17. 、、、、  答案见证明过程  18. 解：如图，连接，，作，垂足为， 则． ，是等边三角形， ，，， 即正六边形外接圆的半径为，内切圆的半径为， 圆环的面积为．  19. 【小题】 ，． 弦、分别平分、，． ，，． ，， ，五边形是正五边形． 【小题】 四边形是菱形证明如下： 五边形是正五边形，，，， ，同理可得：，四边形是平行四边形． 又，四边形是菱形．  20. 【小题】 如图，连接，过点作于点． 由题意，得，． ，边心距． ． 由垂径定理得边长． 周长，面积． 【小题】 如图，连接，过点作于点． 由题意，得． ， 是等腰直角三角形， ，边心距， ，由垂径定理得边长． 周长，面积． 【小题】 如图，连接，过点作于点． 由题意，得． ，． 边心距． 由垂径定理得边长． 周长，面积．  21. 【小题】 【证明】如图，延长至，使，连接． 是正三角形，，． ，，，四点共圆，． ，． 又，是正三角形， ，． ．． ． ． 【小题】 【证明】如图，连接，，过点作交于点． ，． ，． ． 又，．． ． 【小题】 【解】证明如下： 如图，过点作于点，在上截取，连接． ，，， ． ．． 易得，． ． ．．  22. 解：观察等式左边，这是从开始的连续个奇数相加． 根据我们发现的规律，前个连续奇数的和应该等于的平方． 所以，括号中应填入：． 故答案为：； 等式左边是从开始的连续奇数相加，最后一项是． 第个正奇数可以表示为． 这个等式左边表示的是从开始的前个连续奇数相加． 根据规律，前个连续奇数的和等于的平方． 所以，括号中应填入：． 故答案为：； 第一层包括块正方形和块正三角形地板砖， 第二层包括块正方形和块正三角形地板砖， 第三层包括块正方形和块正三角形地板砖． 故答案为：；； 每一层中正方形地板砖块数不变，都是块， 正三角形地板砖的块数分别为：第一层块， 第二层块， 第三层块， 第层中分别含有块正方形和块正三角形地板砖． 故答案为：；． 铺设这样的图案，还需要块正三角形地板砖．理由如下： 层， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案层； 铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， 当时，． 故铺设这样的图案，还需要块正三角形地板砖． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $