30.3 正多边形与圆 课后练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“正多边形与圆”同步练，通过基础-提升-拓展三层设计，实现从概念辨析到综合应用的进阶，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正多边形定义、中心角、半径等概念|选择填空辨析概念，强化抽象能力| |提升层|周长、面积、边心距计算|解答题结合直角三角形推理，发展运算能力| |拓展层|对称性、实际应用（螺母设计）|综合实践题联系生活，培养应用意识|

新人教版九年级上册 第章 直线与圆的位置关系 正多边形与圆 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形。 · 把圆（）等分，依次连接各分点，就得到圆的内接正边形；正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。 · 正边形的中心角（每边所对的圆心角）等于。 · 正多边形的半径：外接圆的半径；边心距：中心到边的距离。半径、边心距与半条边构成直角三角形。 · 正多边形的面积周长边心距。 · 正六边形的边长等于它的半径。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列说法正确的是（　　） ．各边相等的多边形是正多边形 ．各角相等的多边形是正多边形 ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形 ．矩形是正四边形 ．正六边形的中心角为（　　） ．　　．　　．　　． ．正方形的中心角为（　　） ．　　．　　．　　． ．如图，正六边形内接于是正六边形的（　　） ．边心距　　．半径　　．对角线　　．中心角 ．正六边形的边长为，则它的半径为（　　） ．　　．　　．·　　．· ．正边形的中心角为，则正五边形的每个内角为（　　） ．　　．　　．　　． ．正三角形的半径与边心距之比为（　　） ．:　　．:　　．:　　．: ．圆的内接正方形的边长为，则该圆的半径为（　　） ．　　．　　．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．正边形的中心角等于度。 ．正六边形的边长与它的半径的数量关系是。 ．正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这条边的。 ．正六边形的半径为，则它的边心距为。 ．正三角形的半径为，则它的边长为。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）已知正五边形，求它的中心角的度数和每个内角的度数。 ．（本题分）正六边形的半径为，求它的周长。 ．（本题分）正方形的边长为，求它的外接圆半径和内切圆半径。 ．（本题分）已知正六边形的半径为。求： 它的边心距； 它的周长； 它的面积。 ．（本题分）已知的内接正三角形的边长为。求： 的半径； 正三角形的面积。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读理解】阅读材料，回答问题。 材料：正多边形都是轴对称图形，一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都经过它的中心。当为偶数时，正边形还是中心对称图形，对称中心就是它的中心；当为奇数时（如正三角形、正五边形），它绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形。 问题： 正六边形有几条对称轴？它是中心对称图形吗？ 正五边形有几条对称轴？它是中心对称图形吗？ 若一个正边形既是轴对称图形又是中心对称图形，必须满足什么条件？举出两个这样的图形。 ．（本题分）【综合与实践】画正六边形与设计螺母。 用量角器和圆规：在中，如何用量角器把圆六等分，从而画出圆的内接正六边形？写出步骤； 不用量角器，只用圆规：如何以的半径为"尺"，在圆上顺次截取等弧画出正六边形？为什么每次截得的弦长恰好等于半径？ 螺母、螺帽常做成正六边形，请结合正六边形的对称性说出这样设计的一个好处。 新人教版九年级上册 第章 直线与圆的位置关系 （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ． ．相等（边长半径） ．边心距 ． ． 三、解答题 ．中心角，每个内角 【分析】中心角；内角。 【详解】正五边形的中心角为 ÷。 正五边形的内角和为， 每个内角为÷。 【评分标准】中心角得分；内角得分（共分）。 ． 【分析】正六边形的边长等于半径。 【详解】设正六边形内接于，中心为， 连接、，则是等腰三角形， ，中心角÷， 所以是等边三角形， 所以，即正六边形的边长等于半径。 所以周长。 【评分标准】得出中心角得分；证出边长等于半径得分；求出周长得分（共分）。 ．外接圆半径，内切圆半径 【分析】外接圆半径对角线的一半；内切圆半径边心距边长的一半。 【详解】设正方形的边长为，中心为。 外接圆的半径等于对角线的一半。 对角线， 所以外接圆半径。 内切圆与各边都相切，半径就是边心距， 等于中心到边的距离，即边长的一半： 。 【评分标准】求出对角线及外接圆半径得分；得出内切圆半径得分（共分）。 ． ； ； 【分析】半边、边心距、半径构成直角三角形；面积周长边心距。 【详解】设中心为，取边的中点，连接、。 中心角平分且垂直平分， 所以（边长等于半径）。 在中， ， 即边心距为。 因为正六边形的边长等于半径， 所以周长。 面积周长边心距 。 【评分标准】得分；得分；得分（共分）。 ． ； 【分析】作高，中心在上，（即半径边长）；用面积公式。 【详解】设中心为，连接并延长交于。 由正三角形的对称性，且为中点，在上。 。 正三角形的外心（中心）到三个顶点距离相等， 在上满足此条件的点把分为::， 所以半径。 。 【评分标准】求出得分，得出得分（共分）；求出面积得分（共分）。 四、综合与实践 ． 条，是中心对称图形； 条，不是中心对称图形； 必须是偶数，如正方形、正六边形（正八边形等） 【分析】正边形有条对称轴；为偶数时是中心对称图形，为奇数时不是。 【详解】正六边形有条对称轴（条过对角顶点，条过对边中点）。 因为是偶数，正六边形绕中心旋转后与自身重合， 所以它是中心对称图形，对称中心是它的中心。 正五边形有条对称轴（都过一个顶点和对边中点）。 因为是奇数，正五边形旋转后不能与自身重合， 所以它不是中心对称图形。 必须是偶数（）。 例如正方形（）、正六边形（）、正八边形（）等， 它们既是轴对称图形又是中心对称图形。 【评分标准】得分；得分；条件得分，举例得分（共分）（合计分）。 ． 步骤：用量角器以为顶点，每隔画一条半径，把圆分成等份，顺次连接各分点即得正六边形； 从圆上任一点开始，以为圆心? 不对——以为圆心、的半径为半径画弧交于，再以为圆心同样截取……顺次得个分点；因为相邻分点与中心构成等边三角形（中心角且两腰都等于半径），所以弦长等于半径； 答案不唯一：正六边形有条对称轴且是中心对称图形，用扳手从任意方向都能卡住对应的面拧动，受力均匀、便于装配 【分析】中心角半径相等 ⟹ 等边三角形 ⟹ 弦半径。 【详解】步骤： ①以的圆心为顶点，任作一条半径； ②以为顶点，用量角器从起每隔作一条半径， 共得到条半径，把分成等份； ③顺次连接个分点，即得的内接正六边形。 方法：在上任取一点， 以为圆心、的半径长为半径画弧，交于点； 再以为圆心、同样的半径画弧交于点； 如此继续，依次得到、、， 顺次连接、、、、、即得正六边形。 理由：连接、， 因为是以为圆心、为半径的弧与的交点连线， （都用的半径）， 所以是等边三角形，中心角， ÷，恰好截取次回到起点， 且每次截得的弦长都等于半径。 答案不唯一。例如：正六边形有条对称轴并且是中心对称图形， 把扳手卡在正六边形螺母的对边上时， 不论从哪个方向都能找到平行的对边卡紧，受力均匀， 不易打滑，便于快速装配。 【评分标准】步骤完整得分；方法得分，说理得分（共分）；理由合理得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $