30.3 正多边形与圆 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册“正多边形与圆”新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，通过梯度题型培养几何直观与推理能力，构建从概念到应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选8题）|正多边形中心角、边心距等概念|直接考查定义与公式，如第1题辨析旋转重合条件，夯实数学眼光| |理解层（填空5题）|中心角计算、面积比较等|结合图形转化，如第11题对比圆内接正三角形与六边形面积，发展空间观念| |应用层（解答4题）|作图、证明及拓展应用|综合勾股定理与圆周角定理，如第17题探究正方形内接圆中线段关系，提升推理能力|

30.3 正多边形与圆 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 2．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（    ）    A． B． C． D．3 4．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（    ） A．6 B．12 C． D． 5．如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：用圆的内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（　） A． B． C． D． 8．如图，点是正十二边形的中心，于点，则正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 10．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则______． 11．如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”） 12．三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________． 13．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 三、解答题 14．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 15．（1）解方程：． （2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长． 16．如图，正五边形的两条对角线相交于点F． (1)求的度数； (2)求证：四边形为菱形． 17．【给出问题】如图1，正方形内接于 ，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于 ，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D C D A C 1．【答案】C 【知识点】求正多边形的中心角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正多边形的中心角，旋转的性质，熟练掌握正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的中心角都相等是解题的关键．根据正多边形绕中心旋转后能与自身重合的条件是旋转角度为中心角的整数倍，正多边形的中心角为除以边数n，据此计算各选项的中心角，判断是否为中心角的整数倍，即可解答． 【详解】解：∵ 正多边形的中心角， ∴旋转后能与自身重合，当且仅当是的整数倍时，符合题意， A、 正三角形：，，不符合题意； B、正方形：，，不符合题意； C、正六边形：，，符合题意； D、正八边形：，，不符合题意． 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．连接，，可得是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出． 【详解】解：连接，，    ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， 由题意可知，则垂直平分， ∴， ∴ 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求正多边形的中心角 【分析】过点作于点，则边心距，先根据正六边形的性质、等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：边心距， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， ， 解得， 则正六边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的边心距、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 5．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 根据圆周角定理，得到是含的直角三角形，再根据的直角三角形性质及勾股定理求出的长，即可得的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是⊙O的内接正六边形， ，． ，． ． ． ． ． 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正多边形和圆、含角直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先求出中心角，过作于，可求出的长，再根据三角形的面积和圆的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， ， 在中，， ， 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】三线合一、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，涉及正多边形性质、等腰三角形性质、三角函数定义等知识，根据正十二边形的性质、等腰三角形三线合一得到，在中，可得，恒等变形即可得到，熟记正多边形性质及三角函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 点是正十二边形的中心，于点， ， ， 在中，可得，则， 故选：C． 9．【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 10．【答案】12 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可． 【详解】解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，， ∴， ∴； 故答案为：12． 11．【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质 【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求关于原点对称的点的坐标、全等的性质和SAS综合（SAS）、坐标与图形 【分析】如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO， 三个正六边形，O为原点， 同理： 三点共线， 关于O对称， 故答案为： 【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键． 13．【答案】1/ 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 14．【答案】(1) 正方形如图所示： (2) 以为顶角的等腰三角形如图所示： ． 【知识点】用勾股定理解三角形、作等腰三角形(尺规作图)、尺规作图——正多边形 【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题； （2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 15．【答案】（1），  （2） 【知识点】正多边形和圆的综合、公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一元二次方程的解法，圆内接正六边形的边心距问题，掌握公式法解一元二次方程，正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）连接，证出，，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解： ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； （2）连接， ∵是正六边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 16．【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴，同理 ∴ ∴四边形CDEF为菱形． 【知识点】正多边形和圆的综合、证明四边形是菱形 【分析】（1）利用正五边形的性质求出及度数，得出，最后求出的度数； （2）根据四边相等的四边形是菱形即可证． 【详解】（1）解：∵正五边形ABCDE ∴，， ∴ 同理：， ∴． （2）略 【点睛】本题考查了正多边形的性质及菱形的判定，利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键． 17．【答案】 [给出问题]证明：四边形是正方形， ， 是的中点， ； [深入思考]  ，理由如下， 过点作交于点，取圆心，连接，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，即 [拓展应用] 【知识点】正多边形和圆的综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】[给出问题] 证明，即可得到； [深入思考]过点作交于点，取圆心，连接，，证明，进而根据全等三角形的性质，勾股定理，即可求解． [拓展应用]以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，根据圆周角定理可得在上，进而通过勾股定理求出的长度，从而得出矩形的面积． 【详解】[给出问题]略 [深入思考]略 [拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上， ，， 点在上， ，， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去） ， 矩形的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，掌握圆的基本性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $