29.2.3 圆周角课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕圆周角展开，涵盖定义、定理、推论及圆内接四边形性质等核心知识点。课堂导入通过“练一练”判断图形是否为圆周角，结合反例强调定义的顶点在圆上和两边与圆相交两个条件，衔接圆心角知识搭建学习支架。 其亮点是分圆心在圆周角边上、内部、外部三种情况严谨证明定理，培养推理能力，情境导入的图形辨析发展几何直观，例题融入中考题强化应用。学生能深化概念理解和逻辑推理，教师可利用系统练习与中考衔接提升教学效果。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.3 圆周角 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 29.2.3 圆周角 专项练习 核心知识点梳理：1. 圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角，缺一不可，区别于顶点在圆心的圆心角。2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。3. 重要推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径。4. 圆内接四边形性质：对角互补，任意一个外角等于它的内对角，是角度计算高频考点。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于圆周角的说法正确的是（） A. 顶点在圆上的角是圆周角 B. 两边与圆相交的角是圆周角 C. 顶点在圆上，两边都与圆相交的角是圆周角 D. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半 2. 在⊙O中，某弧所对的圆心角为80°，则该弧所对的圆周角为（） A. 20° B. 40° C. 80° D. 160° 3. 直径所对的圆周角的度数是（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 4. 同一段弧AB所对的圆周角（） A. 互补 B. 互余 C. 相等 D. 无法确定 5. 圆内接四边形ABCD中，∠A=70°，则∠C的度数为（） A. 70° B. 110° C. 130° D. 180° 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 圆周角的度数等于它所对弧上________度数的一半。 7. 90°的圆周角所对的弦是圆的________。 8. 同圆中，等弧所对的圆周角________。 9. 已知⊙O中，弧AB对应的圆周角为35°，则对应圆心角为________°。 10. 圆内接四边形的________互补。 三、中档解答题（每题15分，共30分） 11. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=30°，求∠BAC的度数。 12. 已知圆内接四边形ABCD中，∠B:∠D=2:3，求∠B和∠D的度数。 四、拔高压轴题（30分） 13. 如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，弧AC=弧BD，∠AOB=60°，求证：∠COD=60°，且对应圆周角相等。 参考答案与详细解析 1. C 解析：圆周角需同时满足顶点在圆上、两边与圆相交两个条件；D缺少“同一条弧”前提，表述错误。 2. B 解析：根据圆周角定理，圆周角=对应圆心角÷2=80°÷2=40°。 3. C 解析：核心推论，半圆或直径所对的圆周角为直角90°。 4. C 解析：同弧或等弧所对的所有圆周角度数相等。 5. B 解析：圆内接四边形对角互补，∠C=180°-70°=110°。 6. 圆心角 7. 直径 8. 相等 9. 70 解析：圆心角度数为对应圆周角的2倍，35°×2=70°。 10. 对角 11. 解析：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。根据直角三角形两锐角互余，∠BAC=180°-90°-30°=60°。 12. 解析：圆内接四边形对角互补，∠B+∠D=180°。设∠B=2x，∠D=3x，2x+3x=180°，解得x=36°，故∠B=72°，∠D=108°。 13. 解析：∵弧AC=弧BD，∴弧AC+弧CB=弧BD+弧CB，即弧AB=弧CD。同圆中等弧对等圆心角，故∠COD=∠AOB=60°；又等弧所对圆周角相等，因此两段弧对应圆周角度数相等。 练习总结：圆周角是圆板块核心重难点，核心解题依据为圆周角定理及两大推论，常结合直角三角形、圆内接四边形性质综合出题。解题关键是找准同弧所对的圆周角与圆心角，牢记直径对直角、圆内接四边形对角互补的核心结论，规避“无同弧前提乱等角”的易错点，是中考角度计算、几何证明的高频必考内容。（字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程. 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 情境导入 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ （4） 情境导入 O A B C 如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点. 像这样，顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 探究新知 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 角的两边不与圆相交. 角的其中一边不与圆相交. 角的顶点不在圆上. 角的顶点不在圆上. 例1 探究新知 思考：如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC. 可以发现，圆周角 ∠BAC 与圆心角 ∠BOC 对着同一条弧 ， 它们之间是否存在一定的关系？ O A B C 探究新知 知识点1 圆周角的概念 1.［教材P 129练习T 1变式］下列选项中， 为圆周角的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.如图，弦交于点，连接,,，则 所对的圆周角是 ______________. ， （第2题） 返回 举一反三 9 探究 分别测量图中 所对的圆周角 ∠BAC 和圆心角 ∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？ O A B C 115° 57.5° ∠BAC = ∠BOC. 是不是在同一个圆中，同弧所对的圆周角与圆心角都具有这样的关系呢？ 探究新知 探究 利用信息技术工具，改变 ，测量 ∠BAC，∠BOC 的大小，上述关系是否仍然成立？ ∠BAC = ∠BOC. 你能证明你发现的结论吗？ 探究新知 可以发现，圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有三种： 思考：圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有几种？ (3)圆心在圆周角的外部. (2)圆心在圆周角的内部； (1)圆心在圆周角的一条边上； 逐个完成证明吧！ 探究新知 (1)圆心在圆周角的一条边上； ∵ OA=OC， ∴∠A=∠C. 又∵ ∠BOC=∠A+∠C， ∴ ABOC. 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 探究新知 (2)圆心在圆周角的内部； 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD∠BOD， ∠CAD∠COD， ∴  (∠BOD+∠COD) 即 ∠BAC∠BOC. 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 探究新知 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ (3)圆心在圆周角的外部. 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD=∠BOD, ∠CAD=∠COD, ∴ ∠CAD-∠BAD=(∠COD-∠BOD)， 即 ∠BAC=∠BOC. 探究新知 这样，就得到圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 探究新知 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 解析：∵⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=50°，∴∠BOC=80°， ∴∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 例2 探究新知 思考：圆周角与弧、弦也有这样的关系吗？ 前面我们学习了圆心角、弧、弦三个量之间关系的结论，即： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等（知一推二）. 探究新知 图(1) (1) 如图，连接 OA，OB. ∴ ∴∠C=∠D. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 同弧所对的圆周角相等. 探究 (1) 如图(1)，在优弧上任取两点 C,D，同弧所对的圆周角∠C与∠D有什么关系？ 探究新知 图(2) 探究 (2) 如图(2)，在  上任取 ，它们所对的圆周角 ∠E与∠F 有什么关系？ (2) 如图，连接 OA，OB，OC，OD. ∵ ，∴ ∠AOB=∠COD. 又 ∴∠E=∠F. ∵  和  的位置具有任意性， ∴ 等弧所对的圆周角相等. 探究新知 进一步，可以得到下面的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 探究新知 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，AB 为直径，在圆上任取一点 C，你能尝试求出圆周角∠ACB 的度数吗？ 在与 ∠ACB 相对的另一半圆上任取一点 D，连接 DC，DO，DA. ∵∠BCD=​∠BOD，∠ACD=​∠AOD，∠BOD+∠AOD=180°， ∴∠BCD+∠ACD=(∠BOD+∠AOD)=90°, ∴ ∠ACB=90°. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反过来，圆周角是90°的角，所对的弦会是直径吗？ 探究新知 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，∠ACB=90°，AB 为 ∠ACB 所对的弦，AB是直径吗？ 如图，连接 CD 与 ⊙O 交于点 D，连接 BO，AO. ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°, ∠BCD∠BOD，∠ACD∠AOD, ∴∠ACB(∠BOD+∠AOD)=90°, ∴∠BOD+∠AOD=180°. ∵ ∠BOD 和 ∠AOD 具有共同的顶点和一条共同的边， ∴ ∠AOB=180°，∴ A,O,B 三点共线， ∴ AB 是圆的直径. ∵ ∠ACB 的位置具有任意性， ∴ 90°的圆周角所对的弦是直径. 探究新知 知识点2 圆周角定理 （第3题） 3.[重庆中考] 如图，点，，在 上， ， 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 24 （第4题） 4.如图，是的直径，点，在 上， ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 25 进一步，可以得到下面的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 探究新知 如图，BC 是 ⊙O 的直径，A 是 ⊙O 上一点，∠OAC=32°，则 ∠B 的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 64° D. 68° 例3 解析：方法一 ∵ BC 是直径， ∴ ∠BAC=90°，依据“直径所对的圆周角是直角” ∴ ∠OAB=∠BAC-∠OAC=90°-32°=58°. ∵ OA=OB，∴ ∠B=∠OAB=58°. 方法二 ∵ OA=OC，∴ ∠C=∠OAC=32°， ∴ ∠AOC=180°-32°-32°=116°， ∴ ∠B=∠AOC=58°. 将求圆周角的度数转化为求对应的圆心角的度数 A 探究新知 如图，⊙O 的直径 AB 的长为10，弦 AC 的长为6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 例4 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系. 由 AB 是直径，可知圆周角 ∠ACB=∠ADB=90°； 由圆周角 ∠ACD=∠BCD，可知它们相应的圆心角相等，进而得到弦 AD=BD. 探究新知 如图，⊙O 的直径 AB 的长为10，弦 AC 的长为6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 例4 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵在 Rt△ABC 中，AB=10，AC=6,∴ BC8. ∵ CD 平分 ∠ACB,∴ ∠ACD=∠BCD. 在 ⊙O 中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD, ∴ ∠AOD=∠BOD.∴ AD=BD. 又在 Rt△ABD 中，, ∴ AD=BD. 探究新知 5.[扬州中考] 如图，点，，在上， ，则 ____ . 40 （第5题） 返回 举一反三 30 知识点3 圆周角定理的推论 （第6题） 6.如图，，，，是圆上的点，则图中与 相等 的角是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 31 （第7题） 7.如图，是的直径，点在 上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 32 （第8题） 8.如图，是的直径，，是上两点， 平分.若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 33 9.[常州中考] 如图，是的直径，是 的弦.若 ，，则 ____. （第9题） 返回 举一反三 34 10.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅 用直角尺作如图所示的测量，测得， ，则圆形 玻璃镜面的半径为_ ______. （第10题） 返回 举一反三 35 11.[陕西中考] 如图，为的直径，， ，则 的度数为_____. （第11题） 返回 举一反三 36 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 $