29.2.3 圆周角（第1课时） 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆周角的概念、定理及推论，通过“旧识回顾”复习圆心角定义及弧、弦、圆心角关系，搭建从圆心角到圆周角的认知支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以“探索新知”为主线，通过动手测量、分类证明（圆心与圆周角三种位置关系）培养推理能力，结合判断练习发展几何直观，典型例题与当堂检测强化应用意识。小结系统梳理定理及推论，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供清晰教学逻辑和互动素材。

29.2.3 圆周角 （第1课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十九章 圆 学习目标 1 理解圆周角的概念 2 了解圆周角定理及其推论 3 能利用圆周角定理进行相关证明和计算，增强推理能力 旧识回顾 问题 1：什么叫圆心角？指出图中的圆心角，并说说识别圆心角的需要注意什么？ 顶点在圆心的角叫圆心角，∠BOC. 注意点：①顶点在圆心上，②两条边和圆相交. A 问题 2：弧、弦、圆心角的关系定理是什么？ 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也相等. 探索新知 圆周角 B O C A 注意：(1) 圆周角必须具备两个条件： ①顶点在圆上；②两边都与圆相交. (2) 同一条弧所对的圆周角有无数个. 如图所示，可以一直往下画弧 AB 的圆周角. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角．如图，∠BAC. 探索新知 判断下列各图中，哪些是圆周角？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 不是，顶点不在圆上 不是，边没有和圆相交 不是，顶点不在圆上 不是，边没有和圆相交 探索新知 分别测量图中 所对的圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？ 探究 O A B C 115° 57.5° 是不是在同一个圆中，同弧所对的圆周角与圆心角都具有这样的关系呢？ ∠BAC ＝ ∠BOC. 探索新知 利用信息技术工具，改变 ，测量 ∠BAC，∠BOC 的大小，上述关系是否仍然成立？ 探究 ∠BAC ＝ ∠BOC. 你能证明你发现的结论吗？ 探索新知 思考：圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有几种？ 可以发现，圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有三种： A B O C (1) 圆心在圆周角的一条边上； A B O C (2) 圆心在圆周角的内部； A B O C (3) 圆心在圆周角的外部. 探索新知 证明：(1) 圆心在圆周角的一条边上； A B O C (1) OA＝OC ∠A＝∠C ∠BOC＝∠A＋∠C ∠A ＝ ∠BOC 符号“”读作“推出”，“”表示由条件 A 推出结论 B. 探索新知 证明：(2) 圆心在圆周角的内部； 连接 AO 并延长交 ☉O 于点 D，由第一种情况的结果， 得∠BAD＝ ∠BOD， ∠CAD＝ ∠COD， ∴∠BAD＋∠CAD＝ (∠BOD＋∠COD)， 即 ∠BAC＝ ∠BOC. 探索新知 证明：(3) 圆心在圆周角的外部. 连接 AO 并延长交 ☉O 于点 D，由第一种情况的结果， 得∠BAD＝ ∠BOD，∠CAD＝ ∠COD， ∴∠CAD－∠BAD＝ (∠COD－∠BOD)， 即∠BAC＝ ∠BOC. 探索新知 圆周角定理 ∠BAC＝ ∠BOC 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 探索新知 思考：“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？ A B C O D E ∠BAC＝∠BDC＝∠BEC ∠BAC＝∠BDC＝∠BEC 探索新知 思考：“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？ 同弧或等弧所对的圆周角相等. 等弧 B A O D C 探索新知 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，AB 为直径，在圆上任取一点 C，你能尝试求出圆周角∠ACB 的度数吗？ 在与 ∠ACB 相对的另一半圆上任取一点 D，连接 DC，DO，DA. ∴ ∠ACB＝90°. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 半圆 (或直径) 所对的圆周角是直角. 探索新知 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，∠ACB＝90°，AB 为 ∠ACB 所对的弦，AB 是直径吗？ 如图，连接 CD 与 ☉O 交于点 D，连接 BO，AO. ∴∠BOD＋∠AOD＝180°. ∵ ∠BOD 和 ∠AOD 具有共同的顶点和一条共同的边， ∴ ∠AOB＝180°，∴ A，O，B 三点共线， ∴ AB 是圆的直径. ∵ ∠ACB 的位置具有任意性，∴ 90°的圆周角所对的弦是直径. 探索新知 圆周角的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆 (或直径) 所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 典型例题 例 3 如图，☉O 直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 6，∠ACB 的平分线交☉O 于 D，求 BC、AD、BD 的长． A O B D C · 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系. 由 AB 是直径，可知圆周角 ∠ACB＝∠ADB＝90°； 由圆周角 ∠ACD＝∠BCD，可知它们相应的圆心角相等，进而得到弦 AD＝BD. 典型例题 例 3 如图，☉O 直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 6，∠ACB 的平分线交☉O 于 D，求 BC、AD、BD 的长． A O B D C · 6 10 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是 ☉O 的直径，∴ ∠ACB＝∠ADB＝90°. ∵在 Rt△ABC 中，AB＝10，AC＝6，∴ BC8. ∵ CD 平分 ∠ACB，∴ ∠ACD＝∠BCD. 在 ☉O 中，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD， ∴ ∠AOD＝∠BOD，∴ AD＝BD. 又在 Rt△ABD 中，， ∴ AD＝BD＝ . 当堂检测 当堂检测 B 当堂检测 A 当堂检测 D 当堂检测 58° 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆 (或直径) 所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理 THANKS Lavf57.25.100 1.下列图形中，是圆周角的是( ) A. B. C. D. 解析：圆周角的两个基本特征：①顶点在圆周上；②两边都与圆相交.由题图可知是圆周角的只有B选项，故选B. 2.如图，在中，直径与弦相交于点E，连接、、，若，则( ) A. B. C. D. 解析：与都是所对的圆周角， ， ，. 3.如图，是的直径，C、D是上的两点，连接，，，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 解析：如图，连接. 和都是中弧所对的圆周角， ∴. 是的直径，， 在中，. 4.如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点D，连接，若，则的大小为______________. 解析：，， ，， 是的直径， ，. 5.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则AE的长为________. 解析：如图，连接CE，CD，AC. 每个小正方形的边长均为1， ，， ， ，，， 5.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则AE的长为________. 解析：是等腰直角三角形. ，是圆弧所在圆的直径， ，， ，故答案为. $