7.3 平行线的证明 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦平行线证明，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一判定公理到动态几何应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行线判定公理、性质直接应用|单选1-5直接考查同位角等判定条件，填空9-11强化平行公理表述| |提升层|判定与性质综合、简单模型应用|单选6-8结合折叠（题7）、角平分线（题8），填空12-13引入动态旋转（题12）、折射模型（题13）| |拓展层|多步推理与实际问题建模|解答17-18通过盘山公路（题17）、路灯维护（题18）构建角关系探究，发展空间观念与应用意识|

7.3 平行线的证明 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，求证：．下面为琪琪同学的证明过程． 证明：，（① ）， ． 又， ， （② ）． 其中①②为解题依据，则下列描述正确的是（   ） A．①代表内错角相等 B．②代表同位角相等，两直线平行 C．①代表同位角相等 D．②代表同旁内角互补，两直线平行 3．如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 5．如图，，直线与分别交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，长方形为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．18 二、填空题 9．如果ab，bc，那么ac，这个推理的依据是______． 10．设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是___． 11．如图，（1）因为，所以_______；（2）因为_______，所以；（3）因为，所以_______． 12．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 13．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________． 三、解答题 14．如图，已知，点在上，请利用尺规作图画出经过点且与平行的直线．（不写作法，保留作图痕迹） 15．已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①；②；③；④．请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，分别写出满足下列条件的命题． (1)写出一个真命题，并写出证明； (2)写出一个假命题，并举出反例． 16．如图，已知，线段分别与线段、相交于点G，H，若，求证：．完成下面的证明过程． 证明：∵，____， ∴_______， ∴_________________（________________）， ∴_________（____________）． ∵， ∴（____________）， ∴． 17．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 18．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D B B C C 1．【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行、对顶角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行． 依据对顶角相等以及的度数，即可得到，根据平行线的判定即可判断． 【详解】证明：，（①对顶角相等）， ． 又， ， （②同旁内角互补，两直线平行）． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判断方法，是解题的关键，根据平行线的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：A、，不能判定，不符合题意； B、，内错角相等，两直线平行，得到，符合题意； C、，不能判定，不符合题意； D、，内错角相等，两直线平行，得到，不符合题意； 故选B． 4．【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行以及对顶角相等得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．【答案】B 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线性质，以及平行公理推论，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作，得到，以及结合平行公理推论证明，得到，最后根据运算求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、折叠问题、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型；由题意，根据平行线的性质得，根据已知，易得；由图可得，等量代换即可解答问题． 【详解】解：如图： 由翻折的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由图可得；， ∴， ， ∴ ∴． 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线性质，通过证明，，得到，根据求出结果即可． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 平分，平分， ，， 在与中， ， ， 同理， ， ， ， ， 故选：C． 9．【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【解析】略 10．【答案】 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为 ，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 12．【答案】5秒或秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况． 分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，． 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即． 解得； 旋转到与都在的右侧时， ，， 要使，则， 即， 解得； 旋转到与都在的左侧时， ，， 要使，则， 即， 解得． ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5秒或秒． 13．【答案】/79度 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数， 【详解】解：如图，c'c ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 14．【答案】 如图，即为所作，使得． 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查作图复杂作图，掌握作一个角等于已知角的尺规作图是解题的关键． 根据作一个角等于已知角画图即可． 【详解】解：略． 15．【答案】(1) 如果①；②；那么③； 证明：∵；∴， ∵， ∴， ∴； 如果①；③；那么②； 证明：∵； ∴， ∵， ∴， ∴； 如果②；③；那么①； 证明：∵，， ∴， ∴； (2) 假命题：如果②；③；那么④． 证明：∵，， ∴， ∴； ∴是假命题． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）利用平行线的性质判断即可； （2）写出假命题：如果②；③；那么④．由平行公理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 16．【答案】；；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据所给的证明思路，结合对顶角相等，平行线的判定及性质解答即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴． 17．【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 18．【答案】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 (2) ，理由： 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据两直线平行，同位角相等，即可得，根据等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为，所以，依据是两直线平行，同位角相等； 又因为，所以； 由得，依据是内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2）略 （3）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $