7.3 平行线的证明 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦平行线证明的基础巩固与能力进阶，通过三级分层设计实现从概念辨析到综合应用的梯度提升，培养推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行公理、判定定理辨析、简单性质应用|单选1-5考查同位角/内错角判定，填空9-10直接应用平行公理，强化概念理解| |提升层|性质与计算综合、跨知识整合|单选6-8结合折叠/网格求角度，填空11-13融合勾股定理与点到直线距离，培养几何直观| |拓展层|逻辑推理、实际情境探究|解答题14-18含尺规作图、多步证明及盘山公路/路灯工程车情境探究，发展创新意识与应用能力|

7.3 平行线的证明 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，由，则可得出（    ） A． B． C．且 D． 2．如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．“内错角相等，两直线平行”是（   ） A．定义 B．公理 C．定理 D．需要判断的命题 4．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 5．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 6．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果ab，bc，那么ac，这个推理的依据是______． 10．如图，若要使，则可以添加的一个条件是____________．（只填一个） 11．如图，点E，F分别在，上，，垂足为O，．若，，则点F到直线的距离为__________．    12．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 13．如图，光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是_______°． 三、解答题 14．尺规作图：(保留作图痕迹，不要求写画法) 已知：直线和外一点． 求作：直线的平行线．使它经过点． 15．如图，已知，线段分别与线段、相交于点G，H，若，求证：．完成下面的证明过程． 证明：∵，____， ∴_______， ∴_________________（________________）， ∴_________（____________）． ∵， ∴（____________）， ∴． 16．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 17．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)同旁内角相等，两直线平行； (3)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 18．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D D A B B 1．【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行 【详解】解：∵， ∴， 和没有条件求证． 2．【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质．根据两直线平行同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了数学中定义、公理、定理及命题的概念区分，解题的关键是掌握各概念的本质特征：定义是对术语的描述，公理是无需证明的基本事实，定理是经推理证明的真命题，需要判断的命题是未确定真假的语句． 先明确定义、公理、定理、需要判断的命题的核心定义；再对照“内错角相等，两直线平行”的属性，判断其属于哪一类概念． 【详解】解：A、定义是对数学术语的含义描述（如“平行线是同一平面内不相交的两条直线”），“内错角相等，两直线平行”不是对术语的描述，此选项不符合题意；   B、公理是无需证明的基本事实（如“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”），“内错角相等，两直线平行”可通过其他公理推导，不是公理，此选项不符合题意；   C、定理是经推理证明成立的真命题，“内错角相等，两直线平行”可由“同位角相等，两直线平行”推导证明，属于定理，此选项符合题意；   D、需要判断的命题是未确定真假的语句，“内错角相等，两直线平行”是已证明为真的命题，无需再判断，此选项不符合题意；   故选：C． 4．【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，理解平行线的判定定理是解答关键． 根据同旁内角互补，两直线平行来求解． 【详解】解：， ， 依据是同旁内角互补，两直线平行． 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 7．【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、两直线平行同位角相等 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 8．【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【解析】略 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键. 【详解】解：当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（内错角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：或或或或 （答案不唯一）. 11．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、点到直线的距离、根据平行线判定与性质证明 【分析】首先证明，再证明，利用勾股定理求出，最后运用面积法可求出点到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设点到直线的距离为，且，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 12．【答案】平行 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 13．【答案】 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，关键是利用“两直线平行，同旁内角互补”求出与相关的两个角的度数，再通过角的和计算出． 【详解】解：，， ． ，， ， ； ，， ， ； ． 故答案为：． 14．【答案】 直线，如图所示， 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作平行线，在直线上找一点，作射线，作，则． 【详解】略． 15．【答案】；；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据所给的证明思路，结合对顶角相等，平行线的判定及性质解答即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴． 16．【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 17．【答案】(1) 题设：两个角的和等于平角， 结论：这两个角互为补角，该命题正确； (2) 题设：同旁内角相等， 结论：两直线平行，该命题错误， 反例：“与是同旁内角，且，但两直线相交； (3) 题设：两条平行直线被第三条直线所截， 结论：内错角相等，该命题正确． 【知识点】两直线平行内错角相等、写出命题的题设与结论、判断命题真假、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构特征写出命题的题设和结论，再根据补角的定义、平行线的判定和性质判断即可求解.掌握命题的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．【答案】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 (2) ，理由： 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据两直线平行，同位角相等，即可得，根据等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为，所以，依据是两直线平行，同位角相等； 又因为，所以； 由得，依据是内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2）略 （3）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $