专题06 全等三角形动点压轴题 分类训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册期末复习（重庆专用）

**基本信息** 聚焦全等三角形动点问题，分4类32题系统训练，以题载法构建动态几何解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点定值问题|8道|探究运动中线段/角/面积定值|全等判定→性质应用→不变量推导| |动点最值问题|8道|求线段和/面积/路径最小值|对称转化→垂线段最短→全等构建| |动点存在性问题|8道|判断点位置使三角形全等|分类讨论→等量关系→方程求解| |动点探究数量关系|8道|推导线段和差/倍数关系|动态全等→边角转化→关系归纳|

专题06 全等三角形动点压轴题分类训练 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点最值问题】 16 【类型3 动点存在性问题】 38 【类型5 动点探究数量关系】 56 【类型1 动点定值问题】 1．【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2) 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； (3) 解：是定值，为，理由如下： 如图，在取点M使，连接， 由（2）得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据，，可得，再由，可得，即可解答； （3）在取点M使，连接，证明，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键． 2．已知为等边的角平分线，的边长为6，动点E在直线上（不与点A重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点E在线段上， ①求证：； ②当，时，则点F到的距离是 ； (2)如图2，若点E在的反向延长线上，且直线，交于点M． ①求的度数； ②若P，Q为直线上的两个动点，且，连接，，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) ①证明：和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ② (2)①； ②的面积是定值，定值为12．理由如下： 过作于点， ∵为等边的角平分线， ∴ ，， 由①可知，， ， ， 在中，， ， ， 的面积为定值． 【分析】（1）①直接利用证明三角形全等即可； ②通过三角形的中线和线段之间的比例关系，得到，再通过三角形面积公式计算即可； （2）①同第一问的①先证出，再利用角度之间的关系进行计算即可； ②已知底边求面积，推出高的值即可，联系①中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）①证明：略； ②解：∵， ∴， ∴， ∵为等边的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点F到的距离是为， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：①和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ②略． 【点睛】本题考查三角形全等的证明及性质和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． 3．如图，在中，，，，点是上一动点（不与点，）重合，，． (1)求的度数； (2)在点运动过程中，的值是否为定值？说明理由； (3)当时，连接，三边上分别有动点、、，（点在上），当的周长取最小值时，求的长． 【答案】(1) (2)的值为定值， 理由如下： 作交的延长线于点，交于点，如图所示： ，， ，， ，即有为的角平分线， ， ， ，，有为等腰三角形，， ， ， ， ． (3)． 【分析】（1）根据题干的条件得出为等腰直角三角形，求出，再结合，即可解题． （2）作交的延长线于点，交于点，构造三角形全等，将转化为，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，即可解题． （3）根据对称的性质和“两点之间线段最短”，将的周长转移到同一直线上，再利用等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短和垂线段最短，即可解题． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ． （2）略 （3）解：在上取一点，作关于对称，关于对称， 连接与交于点，与交于点，如图所示： 由对称性质可知：，，，，，所以为等腰三角形， ， ， ， 大小一定，当等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短， 当，最短时，最短， 即当最短时，的周长最小， 最短时为，即， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、三角形的外角、平行线的性质、全等三角形的性质与判定和对称的性质，解题关键在于灵活运用性质定理构造辅助线，再结合图形和题干的条件解决问题． 4．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为定值， 【分析】（1）利用证得，则由“全等三角形的对应边相等”可得，由角平分线的判定定理可得结论； （2）由等积法可求解即可． 【详解】证明：（1）∵为的中点， ∴． 又∵，， ∴ ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线； （2）如图②，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 5．的顶点是平面内一动点，始终保持，分别以为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点，连接交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点运动过程中，证明是定值． 【答案】(1) 证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ； (2) (3) 证明：如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴，又， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，利用证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证； （2）由（1）可知，于是可证得，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，再利用角平分线的判定即可得出答案； （3）选①证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论；选②证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ， ， 平分， ， ； （3）略 6．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 证明: ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值． 【分析】（）根据非负性得出，的值，进而解答即可； （）过点作轴于，证明可得结论； （）证明可得为的中点，证明可得结论； 本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，过点作轴于， ∵，，， ∴，，， ∵，轴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）略 7．如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，∠C的角平分线交边AB于D点，BD=， (1)请求出AC的长； (2)如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，若AE=EC，请求出△EGC的面积． 【答案】(1)AC =； (2)的值为是一个定值，； (3)S△GEC= 【分析】（1）作DM⊥BC于M，由角平分线的性质得到AD=DM，根据BD=，∠B=45°求出DM=BM=1，进而得到AC=AB=； （2）取AF的中点为N，连接EN，CN，证得A、E、C、F四点共圆，推出∠AFE=∠ACD，进而证得△AEF∽△DAC，得到=； （3）由AE=EC求得∠AFC=45°，得到CF=AC=，求出CG=1，AG=，易证AE=DE=EC，利用 S△AEC=，得到S△GEC==． 【详解】（1）作DM⊥BC于M， ∵CD平分∠ACB，∠DAC=90°， ∴AD=DM， ∵BD=，∠B=45°， ∴DM=BM=1， ∴AD=DM=1， 又∵∠A=90°，∠B=45°， ∴AC=AB=； （2）取AF的中点为N，连接EN，CN， ∵∠AEF=∠ACF=90°， ∴EN=CN=AN=NF， ∴A、E、C、F四点共圆， ∴∠AFE=∠ACD， 又∵∠DAC=∠AEF=90°， ∴△AEF∽△DAC， ∴=； （3）由第（2）问可知A、E、C、F四点共圆， ∵AE=EC， ∴∠AFE=∠EFC， ∵∠ACD=22.5° ，∴∠AFE=∠EFC=22.5°， ∴∠AFC=45°， ∴CF=AC=， 又∵， ∴CG=1， ∴AG=， ∵AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE， ∵∠EAC+∠DAE=∠ACE+∠ADC=90°， ∴∠ADE=∠DAE， ∴AE=DE=EC， ∴S△AEC=， ∴S△GEC==． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 8．如图，是等腰三角形，，点D在边上运动（与B，C不重合），点E、F分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点G． (1)求证：； (2)若，随着点D的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴； (2)是定值， 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理， （1）根据等腰三角形性质得到，证明即可得到答案； （2）根据得到，结合内外角关系即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：，是定值，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【类型2 动点最值问题】 9．如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：； (2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (3)连接，若，是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) 证明：如图1， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； (2)的大小不变， (3)的最小值为2． 【分析】（1）如图1，先证是等边三角形，再证，即可证得结论； （2）如图2，的大小不变，．只需求出的大小即可得结论； （3）如图3，过点作于，于，于，先证平分，当时，有最小值，据此计算即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，的大小不变，．理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点作于，于，于， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴，即的最小值为2． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，直角三角形的性质等知识，综合运用上述知识，利用垂线段最短解决最值问题是解本题的关键． 10．在中，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，点是边上一点，且，求证：； (3)如图3，若平分，点是上一动点，点是上一动点，连接，若的面积为10，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点H，使得，交于点G，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； (3) 【分析】（1）根据题意得，结合三角形的外角有即可； （2）延长至点H，使得，交于点G，有，可证明，得和，设，则、和，进一步证明得到，可证明，有即可； （3）过点C作于点M，CM交BD于点，过点作于点，则，根据角平分线的性质得，当点P位于点，的最小值为，结合三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：过点C作于点M，CM交BD于点，过点作于点，如图， 则， ∵平分， ∴， 当点P位于点，，此时，的最小值， ∵的面积为10，， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角、全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是熟悉中线倍长和全等三角形的性质． 11．如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； (3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出． （2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则． （3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：作交于，如图1： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 作交于，如图2， 在和中， ， ∴ ∴，，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，是的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动， ∵关于直线对称， ∴， ∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角函数，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，“将军饮马”的模型，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，“将军饮马”模型的应用是解题的关键． 12．（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，，分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中；你发现线段与有什么数量关系？试说明你的结论 （2）【变式探究】如图2，在中，点、、分别在边，，上，若，那么与有何关系，并加以说理； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，以为腰向右做等腰，使得，，若，点是的中点，连接，，，请求出的最小值． 【答案】 （1）解： .理由如下： ， ． ， ． ，， ， ； （2）解：． 理由如下： ，， ． 又， ； （3） 【分析】本题考查了三角形的综合，熟练掌握三角形全等的判定和性质，轴对称求最短距离的方法是解答关键． （1）利用判定三角形全等的求得，再利用全等三角形的性质求解； （2）利用等量代换来进行求解； （3）在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，利用全等三角形的判定和性质来求解． 【详解】略 【变式探究】略 【拓展应用】解：在上截取，连接，作点关于的对称点， 连接，，如下图， ，， ． ， ， ，，． ， ． ， ， ， ， ， ． ， ， 点在射线上运动． 点与的关于对称， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为． ，， ， ， 由对称性可知，， ． 点是的中点，， ， ， 在中，， 的最小值为． 13．在平行四边形ABCD中，AE⊥DC于点E，． (1)如图1，若，，求平行四边形ABCD的周长； (2)如图2，作∠ABC的平分线交AE于点F，交AD于点M．求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度，得到，当时，停止旋转，此时边与边AE交于点P．点G是边DC上一动点，连接GB，在线段GB右侧作等边△GBN．连接PN，求PN的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用直角三角形30°角的性质，可得三边的比例关系，即可求解； （2）延长FA至H，使，连接BH，证明△HAB≌△DEA，推出，再证明，即可得出结论； （3）延长DC至M，使，连接MN，证明△BMN≌△BCG，推出，即可得出过P作直线MN时，PN取得最小值，求解即可． 【详解】（1）解：（1）在Rt△AED中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴= ； （2）证明：延长FA至H，使，连接BH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AE⊥DC， ∴AE⊥AB， ∴∠BAH=∠AED=90°， ∵AB = AE， ∴△HAB≌△DEA（SAS）， ∴，， ∵，BM平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 延长DC至M，使，连接MN． ∴△BCM是等边三角形， ∴∠CBM=60°， ∵△GBN是等边三角形， ∴∠GBN=60°，BG=BN， ∴∠CBM=∠GBN， ∴∠NBM=∠GBC， ∴△BMN≌△BCG（SAS）， ∴， ∴点N是在直线MN上运动， ∵旋转， ∴， ∴， 过P作直线MN时，PN取得最小值， 在中，求得， 在Rt△PEQ中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， Rt△QMN中，， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，垂线段最短，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 14．如图1，在中，，D为射线上（不与B、C重合）一动点，在的右侧射线的上方作．使得，，连接． (1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论； (2)延长交的延长线于点F，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，直接写出的度数； (3)当D在线段上时，若线段，面积为3，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】(1) ，证明如下： ， ，即， 在和中， ， ； (2)①；②当是等腰三角形时，的度数为或 (3)7 【分析】（1）由，可得，即可证明； （2）①设，可得，即得，，根据，有，故； ②，分两种情况：当时，，当时，； （3）可证，得，即得，知四边形周长最小时，最小，而，可得当最小时，四边形周长最小时，此时，根据，面积为3，得，从而可知四边形最小周长为． 【详解】（1）略 （2）①如图： 设， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， 解得， ； ②由①知，， 当时，如图： ， ， 当时，如图： ， 当是等腰三角形时，的度数为或； （3）如图： 同（1）可证， ， ， 四边形周长最小时，最小， ， 当最小时，四边形周长最小时，此时， ，面积为3， ， 四边形最小周长为， 故答案为：7． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判断与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明． 15．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与边AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥BA交BA的延长线于点G． （1）求证：AG=CF； （2）如图2，点M，N分别是线段AB，射线BD上的动点，若BC=5，S△ABC=5，求MN+AN的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）如图，连接AD，DC，利用角平分线的性质证明DG=DF，证明Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)，即可得到结论； （2）如图，作点M关于BD的对称点，连接，过点A作AP⊥BC于点P，可得当点A，N，P在同一条直线上且AP⊥BC时，MN+AN的值最小，最小值即为AP的长，再利用面积法求解即可. 【详解】证明：（1）如图，连接AD，DC， ∵BD平分∠ABC，DG⊥BA，DF⊥BC， ∴DG=DF． 又∵点D在边AC的垂直平分线上， ∴DA=DC． 在Rt△DGA和Rt△DFC中，， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)． ∴AG=CF． （2）∵BD平分∠ABC，点M在线段AB上， ∴点M关于BD的对称点在边BC上． 如图，作点M关于BD的对称点，连接，过点A作AP⊥BC于点P， ∴． ∴MN+AN=+AN≥AP． ∴当点A，N，P在同一条直线上且AP⊥BC时，MN+AN的值最小，最小值即为AP的长． ∵S△ABC=5， ∴． ∵BC=5， ∴AP=2． ∴MN+AN的最小值为2． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，熟练的运用轴对称的性质，垂线段最短求解线段和的最小值是解本题的关键. 16．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由： ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②，理由： 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【类型3 动点存在性问题】 17．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 18．如图，直线，平分，过点作交于点，动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线向点运动，动点以的速度沿射线上运动，当点到达点时停止运动，已知，设动点，的运动时间为． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在点，运动过程中，是否存在某时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)存在，当时， 【分析】（1）易求，根据可得，即可解题； （2）作于H，于G，则有则有：，，根据角平分线的性质可得，根据，，，又结合当点到达点时停止运动，可得E在C点左则，即有，则有，解方程即可解题； （3）当时，可证明，即有，则可得，即可求解问题． 【详解】（1）如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵CB⊥AB， ∴， ∴， ∴； （2）作于H，于G，如图， 根据运动的特点有：，， 由，，则有：，， ∵平分，，， ∴， 即有：，， ∵，，， 又∵当点到达点时停止运动，， ∴E在C点左则，， 得， 解得； ∴当时，满足； （3）存在．理由如下： 根据当点到达点时停止运动，可得点的运动时间最多为：， 则有：，， 当时，如下图， 则有：，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在（1）中已证明，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴时，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，动点问题等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 19．如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．    (1)如图2，当时， ______； (2)如图3，当点P在边上运动时， _____； (3)当时， ______； (4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)32 (2)128 (3)3或45 (4)存在，或38时，使得与全等 【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案； （2）直接由，求得答案； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）分两种情况，当点P在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的方程求解即可 【详解】（1）∵， ∴； 故答案为：32； （2）∵点P在边上运动， ∴； 故答案为：128； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得，， 即； 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当时，或45； （4）当点P在边或边上运动时，存在一点P，使得与全等． 如图4，当点P在上时，    假设，则有， ∴，即． 如图5，当点P在上时，，    ∴， ∴， 综上所述，或38时，使得与全等． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 20．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）分类讨论当和当时两种情况即可； （2）由题意得，可得，分类讨论当和当时两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得厘米， 当时，； 当时，； 则； （2）由题意得， ∴， 当时，， 此时， 解得； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）由题意得是直角三角形， ∴当时，即点在上运动时，有， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， 解得； （4）存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在长方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 21．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) ，理由如下： 如图2，作交于点G，作于点H，则， ， 为中点， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (3)存在，． 【分析】（1）作交于点F，用全等判定方法证明，得到，即可得出的度数； （2）作交于点G，作于点H，先用全等判定方法证明，得，再由，得，再判定等腰直角得，最后等量代换即可推导出； （3）过点C作交于G，先说明是钝角三角形，则当是等腰三角形时，只存在一种情况：，结合（1）中的结论，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，作交于点F，则， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2）略 （3）在点E运动过程中，存在是等腰三角形， ， ， 是钝角三角形， 当是等腰三角形时，只存在一种情况：， 如图3，过点C作交于G， 由（1）得，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学会运用类比的方法解决同一类型的问题是解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 22．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒． （1）在运动过程中，当______秒时，； （2）在运动过程中，当时，求出的值； （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在；答案见解析． 【分析】（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据CP＝CQ，列式计算即可； （2）根据全等三角形的对应边相等列式计算； （3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可． 【详解】解：（1）由题意得BP＝CQ＝3t， 则CP＝8﹣3t， ∵CP＝CQ， ∴8﹣3t＝3t， 解得，t， 则当t时，； （2）∵D为AB的中点，AB＝AC＝10， ∴BD＝5， ∵△BPD≌△CQP， ∴BD＝CP， ∴8﹣3t＝5， 解得，t＝1， 则当△BPD≌△CQP时，t＝1； （3）不存在，∵△BPD≌△CPQ， ∴BD＝CQ，BP＝CP， 则3t＝5，3t＝8﹣3t 解得，t，t， ∴不存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ． 【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 23．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图：连接， ，是中点， 平分， 又， ， ， 依题意得：， 在与中， ， ， ； (3)存在， 或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质； （1）根据三角形的面积公式，直接求的面积； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可求：，即，且，即可证，可得； （3）根据的面积是的面积的两倍，列出方程可求的值． 【详解】（1）解：， ； （2）略 （3）解：如图：过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 解得：或 综上所述：当或． 24．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； （3）存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 【类型5 动点探究数量关系】 25．【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点F，请直接写出与的数量关系： ． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，猜想并证明的数量关系． 【答案】（1）； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得，再由角性质得到，则． 【详解】解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，角直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 26．在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； (2)尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①，证明如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ② (2) 解：不成立，， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得，证明即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）证明，得出，再根据，即可得到． 【详解】（1）解：①略 ②∵， ∴， 故答案为：； （2）略 27．在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． (2)在（1）的条件下，当时，那么___________． (3)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) ①， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定： （1）首先证明，再证明后即可得到； （2）根据得到，利用三角形内角和求解即可； （3）当在线段上时，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到；当点在线段的延长线上，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到．　 【详解】（1）解：． 理由如下：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， ， 故答案为：． （3）解：①略 ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 28．在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； (3)或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 29． 如图1，在中，，，射线平分，点D是射线上的动点，点C和点D关于直线对称，与分别交于点E、G．请探究线段及之间的数量关系，为了解决问题，可以采用“从特殊到一般”的方法进行研究： (1)如图2，当时，及之间有什么样的数量关系？证明你的结论； (2)如图1，若点时及之间有什么样的数量关系？证明你的结论． (3)如图3，若时，及之间有什么样的数量关系？请直接写出这个结论（不要求证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键 （1）如图1中，结论：当时，由全等三角形的性质证明，再证明即可解决问题． （2）如图2中，结论：当时，．作点A关于的对称点E， 连接，利用（1）中结论以及线段的和差定义解决问题即可． （3）如图3中，结论：当时，．作点A关于的对称点E， 连接，利用（1）中结论以及线段的和差定义解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中，结论：当时， 理由：连接． 在中， ∵， ∵平分，A，C关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）如图2中，结论：当时，． 理由：作点A关于的对称点E，连接， 由（1）可知， ∴ ∵， ∴． （3）如图3中，结论：当时，． 理由：作点A关于的对称点E，连接， 由（1）可知， ∴， ∵ ∴． 30．如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接． (1)若，求的长； (2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由． 【答案】(1)6 (2) ，证明如下； ∵， ∴， ∴； (3) 不变化，，证明如下； 由题意知，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【分析】（1）由题意得，则  ，，由，可求，进而可求的长； （2）证明，进而可得； （3）由题意知，，，证明是等边三角形，则，，由，可得，则，证明，则． 【详解】（1）解：∵，，是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 31．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 32．在等腰三角形中，，，点为射线上一动点（不与点、重合），点、点是关于直线的对称点，过点作，与射线交于点，连接，． (1)如图1，当点在边上，恰好在线段上时． ①依题意补全图形； ②判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1) ①补全图形如图： ②，理由如下： 过点作于点， ∵， ∴， 由对称可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： 当点D在线段上时，过点A分别作交延长线于点，于点，交延长线于点， 由对称得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴ ∴，即； 当点D在线段延长线上时，构造同样辅助线，同理可证明， 综上所述：和的数量关系为． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质以及判定，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形动点压轴题分类训练 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点最值问题】 4 【类型3 动点存在性问题】 7 【类型5 动点探究数量关系】 11 【类型1 动点定值问题】 1．【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 2．已知为等边的角平分线，的边长为6，动点E在直线上（不与点A重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点E在线段上， ①求证：； ②当，时，则点F到的距离是 ； (2)如图2，若点E在的反向延长线上，且直线，交于点M． ①求的度数； ②若P，Q为直线上的两个动点，且，连接，，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 3．如图，在中，，，，点是上一动点（不与点，）重合，，． (1)求的度数； (2)在点运动过程中，的值是否为定值？说明理由； (3)当时，连接，三边上分别有动点、、，（点在上），当的周长取最小值时，求的长． 4．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 5．的顶点是平面内一动点，始终保持，分别以为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点，连接交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点运动过程中，证明是定值． 6．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 7．如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，∠C的角平分线交边AB于D点，BD=， (1)请求出AC的长； (2)如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，若AE=EC，请求出△EGC的面积． 8．如图，是等腰三角形，，点D在边上运动（与B，C不重合），点E、F分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点G． (1)求证：； (2)若，随着点D的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由． 【类型2 动点最值问题】 9．如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：； (2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (3)连接，若，是线段上的动点，求的最小值． 10．在中，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，点是边上一点，且，求证：； (3)如图3，若平分，点是上一动点，点是上一动点，连接，若的面积为10，，请直接写出的最小值． 11．如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； (3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 12．（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，，分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中；你发现线段与有什么数量关系？试说明你的结论 （2）【变式探究】如图2，在中，点、、分别在边，，上，若，那么与有何关系，并加以说理； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，以为腰向右做等腰，使得，，若，点是的中点，连接，，，请求出的最小值． 13．在平行四边形ABCD中，AE⊥DC于点E，． (1)如图1，若，，求平行四边形ABCD的周长； (2)如图2，作∠ABC的平分线交AE于点F，交AD于点M．求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度，得到，当时，停止旋转，此时边与边AE交于点P．点G是边DC上一动点，连接GB，在线段GB右侧作等边△GBN．连接PN，求PN的最小值． 14．如图1，在中，，D为射线上（不与B、C重合）一动点，在的右侧射线的上方作．使得，，连接． (1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论； (2)延长交的延长线于点F，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，直接写出的度数； (3)当D在线段上时，若线段，面积为3，则四边形周长的最小值是 ． 15．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与边AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥BA交BA的延长线于点G． （1）求证：AG=CF； （2）如图2，点M，N分别是线段AB，射线BD上的动点，若BC=5，S△ABC=5，求MN+AN的最小值． 16．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【类型3 动点存在性问题】 17．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 18．如图，直线，平分，过点作交于点，动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线向点运动，动点以的速度沿射线上运动，当点到达点时停止运动，已知，设动点，的运动时间为． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在点，运动过程中，是否存在某时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．    (1)如图2，当时， ______； (2)如图3，当点P在边上运动时， _____； (3)当时， ______； (4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 20．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 21．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 22．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒． （1）在运动过程中，当______秒时，； （2）在运动过程中，当时，求出的值； （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 24．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【类型5 动点探究数量关系】 25．【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点F，请直接写出与的数量关系： ． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，猜想并证明的数量关系． 26．在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； (2)尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 27．在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． (2)在（1）的条件下，当时，那么___________． (3)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 28．在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 29． 如图1，在中，，，射线平分，点D是射线上的动点，点C和点D关于直线对称，与分别交于点E、G．请探究线段及之间的数量关系，为了解决问题，可以采用“从特殊到一般”的方法进行研究： (1)如图2，当时，及之间有什么样的数量关系？证明你的结论； (2)如图1，若点时及之间有什么样的数量关系？证明你的结论． (3)如图3，若时，及之间有什么样的数量关系？请直接写出这个结论（不要求证明） 30．如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接． (1)若，求的长； (2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由． 31．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 32．在等腰三角形中，，，点为射线上一动点（不与点、重合），点、点是关于直线的对称点，过点作，与射线交于点，连接，． (1)如图1，当点在边上，恰好在线段上时． ①依题意补全图形； ②判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，用等式表示和的数量关系，并证明． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $