精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对函数，其自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，等腰的顶角为度，则它的底角为（ ）度． A. B. C. D. 4. 估计的结果应该在（ ）之间 A. 0和1 B. 1和2 C. 2和3 D. 3和4 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 函数经过，，，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两地相距米 B. 李师傅的速度是米/分钟 C. 李师傅出发分钟后追上陈师傅 D. 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 8. 如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（ ） A B. C. D. 10. 定义：，其中n为正整数，，记：，例：，则．下列说法正确的有（ ）个： ①； ②； ③记，若，则； ④将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到，…，以此类推，则坐标为． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 将2300000000用科学记数法表示 ____________． 12. 直线与直线的交点坐标是__________． 13. 若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 14. 已知点满足，将点P向右平移2个单位长度后得到点Q，则点Q的坐标是 __________． 15. 如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 16. 关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 17. 如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，连接，将沿翻折，使得点B的对应点刚好落在上，作的角平分线交于点F，若，且，则____________________． 18. 一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________． 三、解答题：本题共8小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，在四边形中，，F为线段上一点，E为线段延长线上一点，其中． （1）小明在求证时，考虑先由平行线的性质与等量代换，得到，进而利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形，再结合“平行四边形的对边相等”和“等角对等边”，证得．请根据小明的证明思路补充以下证明过程． 证明：∵， ∴　 　①． 又， ∴， ∴　 　②， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴　 　③． 又∵， ∴ ④． ∴． （2）连接，若，求的长． 22. 随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． （1）A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ （2）若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 23. 如图，在四边形中，平分，，点E在边上，且满足． （1）证明：； （2）若，求的度数． 24. 如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式． ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 25. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． （1）用待定系数法求直线的解析式； （2）F是直线上一点，若，求点F的坐标； （3）点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 26. 已知是等边三角形，在中，，，连接． （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，F、M、N分别、、中点，连接、，证明：； （3）如图3，在（2）条件下，连接，P是线段上一点，Q是线段上一点，满足，连接、、，以为边向上作正方形，当时，是否存在的最小值，若存在，请直接写出正方形的面积，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 2. 对函数，其自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式分母不为0，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数中，可得，解得． 3. 如图，等腰的顶角为度，则它的底角为（ ）度． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可得答案． 【详解】解：∵等腰的顶角为度， ∴度． 4. 估计的结果应该在（ ）之间 A. 0和1 B. 1和2 C. 2和3 D. 3和4 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的结果应该在3和4之间． 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用平行四边形及矩形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、一组对边平行且有一个角为直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 6. 函数经过，，，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数为一次函数，且系数恒正，故y随x增大而增大，比较x值的大小即可得y值的大小关系． 【详解】解：∵函数中，， ∴y随x增大而增大， ∵，，，且， ∴． 故选：A． 7. 李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两地相距米 B. 李师傅的速度是米/分钟 C. 李师傅出发分钟后追上陈师傅 D. 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， 甲乙两地相距米，故选项A错误，不符合题意； 李师傅的速度为：（米/分钟），故选项B错误，不符合题意； 设李师傅出发分钟后追上陈师傅， 陈师傅的速度为：（米/分钟）， ∴， 解得，故选项C正确，符合题意； 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地： ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 9. 已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题易证，得到，，再根据中点构造中位线，取中点G，易证为等边三角形，进而求出，由的面积求出的长度，即可得解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 如图，取中点G，连接、， ∵的中点为N，中点为M， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 10. 定义：，其中n为正整数，，记：，例：，则．下列说法正确的有（ ）个： ①； ②； ③记，若，则； ④将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到，…，以此类推，则坐标为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的运算以及平移的坐标变化规律，正确地化简题干给出的两个定义是本题解题的关键． 对进行化简，再根据等差数列求和求解； ①直接代入移项即可得到； ②将和代入计算即可； ③先化简，再代入求代数式，最后根据等式求解的取值范围即可； ④先求的代数式，进而求解的横纵坐标的代数式，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ①， ∴， 故①正确； ②， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴， 故③正确； ④， ∴的横坐标为：，的纵坐标为： ∴的坐标为：， 故④错误； 综上所述，正确的个数有3个． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 将2300000000用科学记数法表示为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 直线与直线的交点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】联立两直线解关于x、y的二元一次方程组即可得交点坐标． 【详解】解：∵直线与直线相交， 联立直线方程可得，解得， ∴交点坐标为． 13. 若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数解析式为． 14. 已知点满足，将点P向右平移2个单位长度后得到点Q，则点Q的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的被开方数不小于零的条件求出x与y，再根据题意求出Q的坐标即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， 则点P坐标为， 当点P向右平移2个单位长度后得到点Q， 则Q的坐标为． 15. 如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】在上取一点F'，使，连接，交于E，此时的值最小，为的长． 【详解】解：在上取一点，使，连接，交于E， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴，当C、E、共线时取等号， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得． ∴的最小值是5． 故答案为：5． 16. 关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定符合条件的整数a的值即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， 将关于y的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴或或， 解得或或或或或， 又∵分式方程的增根是， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴符合条件的整数a的和为． 17. 如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，连接，将沿翻折，使得点B的对应点刚好落在上，作的角平分线交于点F，若，且，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，直角梯形，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，过点A作交的延长线于点T，过点F作于点H．首先证明四边形是正方形，证明，推出，求出正方形的边长，设，利用勾股定理求出x，再利用面积法求出可得结论． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点T，过点F作于点H． ∵，， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴．，， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据最小，可得，，，根据即可确定的最小值；规定化简，再根据整除特性得到为整数，令，，则，即可得到是整数，根据得出，，即可求出，，要使最大，可得，，，，即可得答案． 【详解】解：∵，，，互不相等，且均不为， ∴当，，时，最小， ∵， ∴， ∴； ∵对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵能被的各个数位上的数字之和整除， ∴为整数， ∴为整数， 设，， ∵， ∴，，， ∴为整数， ∵， ∴是整数， ∴是的正因数， ∵， ∴， ∴， ∵要使的值最大，四个数字互不相等且不为， ∴，，，． ∴的最大值为． 三、解答题：本题共8小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用单项式乘以多项式和完全平方公式计算，然后合并同类项即可； （2）先把括号内合并，再将除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先分母有理化，再根据二次根式的性质、立方根的定义化简，再合并即可； （2）先根据负整数指数幂、完全平方公式、绝对值的意义计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在四边形中，，F为线段上一点，E为线段延长线上一点，其中． （1）小明在求证时，考虑先由平行线的性质与等量代换，得到，进而利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形，再结合“平行四边形的对边相等”和“等角对等边”，证得．请根据小明的证明思路补充以下证明过程． 证明：∵， ∴　 　①． 又， ∴， ∴　 　②， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴　 　③． 又∵， ∴ ④． ∴． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由，得，因为，所以，则，所以四边形是平行四边形，则，由，得，即可证明，于是得到问题答案； （2）推导出，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的长是． 22. 随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． （1）A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ （2）若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】（1）A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 （2）最大利润为1998元 【解析】 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【小问1详解】 解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 23. 如图，在四边形中，平分，，点E在边上，且满足． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是判定． （1）过C作于H，由角平分线的性质推出，判定，推出； （2）由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到，求出，得到，求出，即可得到的度数．． 【小问1详解】 证明：过C作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式． ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 【答案】（1） （2）当时，y随着x的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）理解题意，分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：在正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点． ∴，，， 当点P在上时，如图， 则，， ∴， ∴的面积 ； 当点P在上时，，如图， 则， ∴的面积 ； 综上所述： 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时； 当时； 即经过点； 当时，； 当时； 即经过点； 如图： 观察函数图象，得当时，y随着x的增大而增大， 【小问3详解】 解：令，则， ∴， 解得； ∴经过， 令，则， ∴经过， 如图， 由图象知，当时，x的取值范围为， 25. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． （1）用待定系数法求直线的解析式； （2）F是直线上一点，若，求点F的坐标； （3）点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为：，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：或． 26. 已知是等边三角形，在中，，，连接． （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，F、M、N分别是、、中点，连接、，证明：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，P是线段上一点，Q是线段上一点，满足，连接、、，以为边向上作正方形，当时，是否存在的最小值，若存在，请直接写出正方形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过构造直角三角形和，然后利用特殊直角三角形的性质求出和，即可求出答案． （2）利用辅助线构造得到，，然后判定是等边三角形，是其中线，进而得到，再由中位线的性质得出，从而证得结论． （3）本题其实是求直角三角形两边上的点P到两锐角顶点距离之和的最小值，通过构造正方形将转化为，然后通过证明当点D和点Q重合时值最小，求出的长度就等于得到正方形的边长，即可求出其面积． 【小问1详解】 解：过点E作的垂线交延长线于点F． ∵是等边三角形，， ∴平分，则． 根据可得：，则． 易得是等腰直角三角形，故由勾股定理得． 在中，由可得， ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：延长至点G，使，连接并延长分别交、于点O、H，连接，，，． 根据题意是中位线，则． 根据图中所示，和关于点F中心对称，则，． ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵F是的中点，则，． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：根据（2）可知，，． 如图，以为边向下作正方形，连接，，交于点J． ∴，． ∵． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，则，． ∴． 在线段上截取，使， 延长交于点V，假设点P从点A运动至图中所示点P位置． 由于，，则． ∴的值在变小，直到点J时的值最小． 而的最大值为，，则的最小值为． ∴当时，点Q与点D重合，的最小值为． ，． 故正方形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $