29.2.1 垂直于弦的直径-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”，核心知识点为垂径定理及其推论。通过对折圆形纸片的实践探究导入，先建立圆的轴对称性认知，以此为支架自然过渡到定理推导，衔接圆的对称性与直角三角形模型应用。 其亮点在于情境化与结构化结合，以赵州桥、《九章算术》问题为实例，融入数学文化。通过“知二推三”梳理推论，分层练习覆盖基础到拔高压轴题，培养学生几何直观、推理意识与模型意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 29.2.1 垂直于弦的直径 专项练习 核心知识点梳理：1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2. 垂径定理推论：平分非直径弦的直径垂直于这条弦；弦的垂直平分线经过圆心，平分弦所对的两条弧。3. 解题核心模型：半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段，构成直角三角形，常用勾股定理求解长度。4. 关键注意：定理中弦不能为直径，两条直径互相平分但不一定垂直。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于垂径定理的说法正确的是（） A. 任意直径平分弦，则直径垂直于弦 B. 垂直于弦的半径平分弦所对的弧 C. 平分弧的直线必过圆心 D. 垂直于弦的直线平分这条弦 2. 在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，下列结论错误的是（） A. CE=DE B. 弧AC=弧AD C. ∠AEC=90° D. AB=CD 3. 已知⊙O半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 圆的弦长为8，圆心到弦的距离为3，则该圆的半径为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 5. 下列图形中，一定能使用垂径定理求解的是（） A. 任意圆内两条相交弦 B. 过圆心且垂直于弦的线段 C. 圆内任意一条弦 D. 圆的任意一条半径与弦 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的两条弧。 7. 在⊙O中，弦AB=12，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为________。 8. 直径垂直平分一条弦，则这条弦所对的________被直径平分。 9. 已知⊙O半径为10，弦AB=16，则圆心到弦AB的距离为________。 10. 平分弦（不是直径）的直径________于这条弦。 三、中档解答题（每题15分，共30分） 11. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OE=3，求⊙O的半径。 12. 已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，求两条平行弦AB与CD之间的距离。 四、拔高压轴题（30分） 13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且CE=DE，AB=20，CD=16，求AE的长。 参考答案与详细解析 1. B 解析：A未排除弦为直径的情况；C平分弧的直线不一定过圆心，需是直径或半径；D必须过圆心的垂线才平分弦，B符合垂径定理推论。 2. D 解析：由垂径定理可得CE=DE、弧AC=弧AD、垂直夹角为90°，直径与弦长度无必然相等关系。 3. C 解析：半径5，垂距3，半弦长=$$\sqrt{5^2-3^2}=4$$，弦长AB=8。 4. A 解析：半弦长4，垂距3，半径=$$\sqrt{4^2+3^2}=5$$。 5. B 解析：垂径定理适用条件为过圆心且垂直于弦的线段，其余选项不满足定理条件。 6. 平分；平分 7. $$2\sqrt{13}$$ 解析：半弦长6，垂距4，半径=$$\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$$。 8. 两条弧 9. 6 解析：半弦长8，半径10，垂距=$$\sqrt{10^2-8^2}=6$$。 10. 垂直 11. 解析：由垂径定理得AE=$$\frac{1}{2}$$AB=4，在Rt△AOE中，OA=$$\sqrt{4^2+3^2}=5$$，即圆的半径为5。 12. 解析：分两种情况。圆心同侧：距离=12-5=7；圆心异侧：距离=12+5=17。故两弦距离为7或17。 13. 解析：∵CE=DE，∴AB⊥CD。半径OC=10，CE=8，求得OE=6。当E靠近A时，AE=10-6=4；当E靠近B时，AE=10+6=16，故AE长为4或16。 练习总结：垂径定理是圆的核心基础考点，核心解题思路是构造半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理计算。解题需重点注意“弦不是直径”的前提条件，以及平行弦、相交弦的分类讨论题型，是中考圆的计算、几何证明高频考点，为后续圆心角、圆周角的学习打下基础。（字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 实践探究 　 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 圆的轴对称性 情境导入 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. ●O 说一说 （2）如何来证明圆是轴对称图形呢？ 情境导入 4 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？ 重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？ 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 如何证明这个结论呢？ 探究新知 如图，设AB是⊙O 的任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点， 那么直线AB是线段MM′的垂直平分线. 因为圆心O在AB上，所以OM′=OM， 因此点M′在⊙O 上. 如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. M′ M A B N O 探究新知 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆有无数条对称轴. 直径是线段，而对称轴是直线， 所以不能说“圆的对称轴是直径”. O 探究新知 M′ M A B N O 思考：回顾刚才的证明过程，⊙O的直径AB垂直于弦MM′，垂足为N，那么M和M′是关于直线AB的对称点，把圆沿着直径AB对折，你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗? 为什么? 相等的线段： MN=M′N. 相等的弧： ， . 探究新知 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 探究新知 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 此处的“直径”可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段，如下图所示. 探究新知 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 探究新知 在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么一定可以推出其他三个： ①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 简称“知二推三”. 探究新知 知识点1 圆的轴对称性 1.下列说法中，不正确的是( ) B A.圆是轴对称图形 B.圆的对称轴是直径 C.圆有无数条对称轴 D.经过圆心的直线是圆的对称轴 返回 举一反三 13 知识点2 垂径定理 （第2题） 2.如图，是的直径， 是弦且不是直径， 于点 ，则下列结论不一定正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 14 （第3题） 3.[温州期末] 如图，在中，弦的长为8，圆心 到 的距离，则的半径 的长为( ) B A.4 B. C.5 D. 返回 举一反三 15 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题. 例1 探究新知 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 例1 解：如图， 表示主桥拱，设  所在圆的圆心为 O， 半径长为  m. 经过圆心O作弦 AB的垂线 OC，D 为垂足，OC 与   相交于点 C，连接 OA. 根据垂径定理,D 是 AB 的中点,C是 的中点,CD 就是拱高. 由题设可知AB=37， CD=7.23， 所以ADAB×37=18.5. OD=OC-CD=R-7.23. 探究新知 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 例1 在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得 即 解得 R27.3. 因此，赵州桥主桥拱的半径长约为 27.3 m. 探究新知 用垂径定理求相关线段长的方法 一构造：过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形； 二求解：用勾股定理，列方程求解. （如图 ，） 探究新知 （第4题） 4.[北京东城区期末] 如图，是 的直径，弦 于点，若，，则弦 的长 是( ) B A. B. C.6 D.8 返回 举一反三 20 5.如图，的半径为5，弦的长为8，是弦 上的一个动点，则 线段 的长的最小值为___. 3 （第5题） 返回 举一反三 21 6.［教材P 125练习T 1变式］如图，是的弦，，为直线 上的 两点，.求证： . 证明：过点作于点，则由垂径定理，得 . ， ， ，即 . 返回 举一反三 22 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉. 在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道 AB=1 尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______寸. 解析：设该圆材的半径为 x 寸. AB=1 尺 = 10寸. 如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 D，交 于点 C，连接 OA， 则 CD=1 寸，OA=x 寸，AD=BDAB=5寸. 在 △AOD 中，， 即 ， 解得 x=13，则 2x=2×13=26， 即该圆材的直径为26寸. 26 A B O C D 1  x   x-1   5 跟踪训练 探究新知 知识点3 垂径定理的推论 （第7题） 7.如图，，，都是的半径，与 交于点 .若，，则 的长为( ) B A.5 B.4 C.3 D.2 返回 举一反三 24 8.［教材复习题变式］如图，是的直径，是弦， 与 交于点,，，则 ____. 20 （第8题） 返回 举一反三 25 知识点4 垂径定理及其推论的应用 9.直径为 的圆柱形排水管，截面如图所示.若管内 有积水（阴影部分），水面宽为 ，则积水的 最大深度 为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 26 （第10题） 10. 陕西饮食文化源远流长，“老碗 面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看到的 一个“老碗”的形状示意图.是的一部分， 是的中点，连接，与弦交于点 ，连接 A A. B. C. D. ，.已知，碗深，则的半径 为 ( ) 返回 举一反三 27 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距. 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $