29.2.1垂直于弦的直径（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“垂径定理”核心内容，涵盖定理及推论、解题模型与易错点。课堂通过折叠圆形纸片探究圆的轴对称性，从直径和弦的位置关系切入，建立与圆对称性的联系，为定理理解提供直观学习支架。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观、空间观念）、数学思维（推理意识、运算能力）和数学语言（模型意识），如赵州桥半径计算、“圆材埋壁”等传统文化实例，通过构造直角三角形模型和“知二推三”规律总结，帮助学生提升探究能力和应用意识，教师可利用梯度化练习和清晰脉络提高教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十九章 圆 29.2.1垂直于弦的直径 2026年8月3日 29.2.1 垂直于弦的直径 同步练习题（全文1122字） 一、课时知识梳理（218字） 本节课核心掌握垂径定理及其推论，是圆中线段、角度、长度计算的核心工具。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。定理核心要素：直径、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，知二推三。解题常用模型：过圆心作弦的垂线段，构造“半径、弦心距、半弦长”直角三角形，利用勾股定理求长度。常见易错点：忽略推论中“弦不是直径”的前提；未作辅助线构造直角三角形；混淆弦心距、半径、弦长的数量关系。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 垂径定理的核心内容是：垂直于弦的直径（） A. 只平分弦 B. 只平分弦所对的弧 C. 平分弦且平分弦所对的两条弧 D. 与弦互相平行 2. 下列关于垂径定理推论说法正确的是（） A. 平分弦的直径一定垂直于弦 B. 平分非直径弦的直径垂直于弦 C. 所有弦都能被直径垂直平分 D. 直径一定平分所有弧 3. 在圆中计算弦长常用的模型是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 已知圆的半径为5，弦心距为3，则该弦的半弦长为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 5. 若直径平分一条弦所对的弧，则直径与弦的位置关系是（） A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 重合 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的两条弧。 2. 平分________的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 圆中弦长计算的直角三角形三边分别为：圆的半径、________、________。 4. 一条弦长为8，弦心距为3，则圆的半径为________。 5. 过圆心作弦的垂线，垂足一定是弦的________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）根据垂径定理完成基础作答： （1）完整叙述垂径定理内容； （2）说明定理适用的前提条件； （3）写出圆中弦长计算的常用辅助线做法。 2.（12分）基础计算应用：已知⊙O的半径为10cm，弦AB的弦心距OC=6cm，OC⊥AB。 （1）求半弦长AC的长度； （2）求弦AB的全长； （3）说明OC、AC、OA构成的三角形特点及依据。 3.（12分）综合几何应用：在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=16，OE=6。 （1）求圆的半径长度； （2）结合定理说明AE与BE、弧AD与弧BD的关系； （3）总结垂径定理“知二推三”的核心解题规律。 总字数统计：1122字 参考答案精简版 选择：1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 填空：1.平分、平分；2.非直径弦；3.弦心距、半弦长；4.5；5.中点 解答： 1.(1)垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；(2)圆中直径与弦垂直相交；(3)过圆心作已知弦的垂线段 2.(1)AC=8cm；(2)AB=16cm；(3)直角三角形，垂径定理垂直构造直角 3.(1)半径=10；(2)AE=BE，弧AD=弧BD；(3)已知直径、垂直、平分弦、平分优弧、平分劣弧中任意两个条件，可推出其余三个条件 （精准核对字符：全文1122字，贴合人教版29.2.1课时重难点，覆盖垂径定理、推论、易错辨析、弦长计算模型，题型梯度合理，适配课堂训练与课后巩固作业） 对于圆，与之相关的几何对象有线段、弧和角. 研究圆的有关性质，就是研究这些几何对象之间的位置关系和数量关系. 我们先来研究与圆有关的线段. 与圆有关的线段主要是直径和弦，而提到直径，你能想到圆的哪种对称性？ 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？ 重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？ 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 如何证明这个结论呢？ 如图，设AB是⊙O 的任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点， 那么直线AB是线段MM′的垂直平分线. 因为圆心O在AB上，所以OM′=OM， 因此点M′在⊙O 上. 如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. M′ M A B N O 1. 返回 下列说法中，不正确的是(　　) A．圆是轴对称图形 B．圆的对称轴是直径 C．圆有无数条对称轴 D．经过圆心的直线是圆的对称轴 B 举一反三 5 返回 2. 如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是(　　) A．AE＝BE B．OE＝DE B 举一反三 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆有无数条对称轴. 直径是线段，而对称轴是直线， 所以不能说“圆的对称轴是直径”. O M′ M A B N O 思考：回顾刚才的证明过程，⊙O的直径AB垂直于弦MM′，垂足为N，那么M和M′是关于直线AB的对称点，把圆沿着直径AB对折，你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗? 为什么? 相等的线段： MN=M′N. 相等的弧： ， . 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 此处的“直径”可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段，如下图所示. 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么一定可以推出其他三个： ①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 简称“知二推三”. 返回 3. [内江中考]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5.则DC的长是________． 2 举一反三 返回 4. [教材P125练习T1变式]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：AD＝BC； 证明：过点O作OH⊥CD于点H. ∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH， ∴AH＋DH＝BH＋CH，∴AD＝BC. 举一反三 返回 (2)若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长为________． 举一反三 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题. 例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 例1 解：如图， 表示主桥拱，设  所在圆的圆心为 O， 半径长为  m. 经过圆心O作弦 AB的垂线 OC，D 为垂足，OC 与   相交于点 C，连接 OA. 根据垂径定理,D 是 AB 的中点,C是 的中点,CD 就是拱高. 由题设可知AB=37， CD=7.23， 所以ADAB×37=18.5. OD=OC-CD=R-7.23. 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 例1 在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得 即 解得 R27.3. 因此，赵州桥主桥拱的半径长约为 27.3 m. 用垂径定理求相关线段长的方法 一构造：过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形； 二求解：用勾股定理，列方程求解. （如图 ，） 如图，A，B，C三点在⊙O上，D为弦AB的中点，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则OD＝(　　) 返回 5. B 举一反三 如图，过 的中点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝4，CD＝2，则 所在圆的半径长是________． 返回 6. 5 举一反三 返回 7. [石家庄期中]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　　) A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m B 举一反三 返回 8. 【新考向 传统文化】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是________寸． 26 举一反三 返回 9. 【易错题】已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则AB与CD之间的距离为(　　) A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．3 cm或4 cm C 举一反三 24 返回 10. 如图，已知点M(0，－3)，N(0，－9)，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为(　　) A．(－5，－6) B．(4，－6) C．(－6，－4) D．(－4，－6) D 举一反三 25 返回 11. 下面是甲、乙两人测量圆形工件直径的方法． 甲：如图①，在工作台上用棱长相同的两个正方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的棱长a即可； 乙：如图②，把两个小木块换成两个相同的小圆柱(假设圆柱可固定在工作台上)，量得小圆柱的底面半径n和两个圆心之间的距离m即可． 下面的说法正确的是(　　) A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 D 举一反三 26 返回 12. 【新考向 传统文化】[石家庄长安区期中]“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有一千多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度(即水面下方的圆上任一点距离水面的最大距离)为1米． (1)求该圆的半径OA； 举一反三 27 解：过点O作OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D， 由题意可知，CD＝1米，AB＝6米． ∵OC⊥AB，AB＝6米，∴AC＝BC＝ AB＝3米． 设该圆的半径为r米， 则OA＝OD＝r米，∴OC＝(r－1)米． 在Rt△AOC中，OC2＋AC2＝OA2，即(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5， ∴该圆的半径OA为5米． 返回 举一反三 (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米，则水面上涨的高度为________米． 返回 1 举一反三 13. 如图，P是⊙O内一定点． (1)过点P作弦AB，使P是AB的中点．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 返回 解：如图，弦AB即为所求． 举一反三 (2)若⊙O的半径为13，OP＝5. ①求过点P的弦的长度m的取值范围； 返回 解：过点P的所有弦中，直径最长，为13×2＝26； 与OP垂直的弦最短．连接OA，如图所示． ∵OP⊥AB，∴ ∴AB＝AP＋BP＝24， ∴过点P的弦的长度m的取值范围为24≤m≤26. 举一反三 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距. 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 谢谢观看 THANKS C．＝ D．＝ A. cm B. cm C. cm D. cm AP＝BP＝＝＝12， $