29.2.2 圆心角-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆心角定义及同圆（等圆）中圆心角、弧、弦关系定理，通过圆的旋转不变性问题（如旋转180°是否重合）和动手操作（剪圆旋转），衔接圆的中心对称性质，搭建从图形性质到概念定理的学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，通过“观察—探究—推理”培养数学眼光（抽象圆心角概念）、数学思维（如旋转重合证等弧）、数学语言（规范几何表达）。分层习题（基础选择到压轴证明）和跟踪训练强化应用，课堂小结系统梳理知识。助力学生理解概念与推理，教师可高效开展分层教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.2 圆心角 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 29.2.2 圆心角 专项练习 核心知识点梳理：1. 圆心角定义：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。2. 核心定理（同圆或等圆中）：相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；反之，等弧、等弦所对的圆心角也相等，三组量一组相等则其余两组全部相等。3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数。4. 注意定理适用前提：必须是同圆或等圆，否则结论不成立。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列角度中，属于圆心角的是（） A. 顶点在圆上，两边与圆相交的角 B. 顶点在圆心，两边与圆相交的角 C. 顶点在圆内，两边与圆相交的角 D. 顶点在圆外，两边与圆相交的角 2. 在同圆中，若两个圆心角相等，则下列结论一定正确的是（） A. 所对的弦长不等 B. 所对的弧相等 C. 所对的圆周角不等 D. 弦心距不相等 3. 在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB=40°，则∠COD的度数为（） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 4. 下列说法正确的是（） A. 圆心角越大，所对的弦越长 B. 等弦所对的圆心角相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 度数相等的弧是等弧 5. 已知⊙O半径为5，弦AB=5，则弦AB所对的圆心角为（） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 圆心角的顶点必须在________，两边为圆的两条半径。 7. 在等圆中，相等的圆心角所对的弦________，所对的弧________。 8. 在⊙O中，直径AB垂直弦CD，且平分CD对应的圆心角，若∠COB=70°，则∠AOD=________°。 9. 若一条弧的度数为50°，则这条弧所对的圆心角为________°。 10. 在同圆中，弦AB＞弦CD，则AB对应的圆心角________CD对应的圆心角（填“＞”“＜”或“=”）。 三、中档解答题（每题15分，共30分） 11. 如图，在⊙O中，OA、OB、OC、OD为半径，已知弧AB=弧CD，求证：∠AOB=∠COD，且AB=CD。 12. 在⊙O中，半径OA=OB=6，圆心角∠AOB=60°，求弦AB的长度和弧AB的度数。 四、拔高压轴题（30分） 13. 已知：如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD，点E、F分别为AB、CD的中点，求证：∠AOE=∠COF。 参考答案与详细解析 1. B 解析：圆心角的定义为顶点在圆心，两边与圆相交的角，其余选项均不符合定义。 2. B 解析：同圆中，相等圆心角对应等弧、等弦、等弦心距，其余选项结论错误。 3. B 解析：同圆中等弧对等圆心角，弧AB=弧CD，故∠COD=∠AOB=40°。 4. C 解析：A缺同圆前提；B缺同圆或等圆前提；D度数相等但长度不一定相等，不一定是等弧。 5. B 解析：OA=OB=AB=5，△AOB为等边三角形，圆心角∠AOB=60°。 6. 圆心 7. 相等；相等 解析：等圆中圆心角、弧、弦的等量关系定理。 8. 110 解析：∠COB=70°，∠AOC=110°，对称可得∠AOD=110°。 9. 50 解析：弧的度数与所对圆心角度数相等。 10. ＞ 解析：同圆中，弦越长，对应的圆心角越大。 11. 解析：根据同圆中等弧对等圆心角，由弧AB=弧CD可得∠AOB=∠COD；再由等圆心角对等弦，可证AB=CD。 12. 解析：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，AB=OA=6；弧AB的度数等于对应圆心角度数，即为60°。 13. 解析：∵AB=CD，∴弦AB、CD对应的圆心角∠AOB=∠COD。∵E、F为弦中点，根据垂径定理，OE⊥AB、OF⊥CD，OE、OF分别平分对应圆心角，∴∠AOE=$$\frac{1}{2}$$∠AOB，∠COF=$$\frac{1}{2}$$∠COD，故∠AOE=∠COF。 练习总结：本节核心考点为圆心角的定义、同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的等价关系，解题关键是牢记定理适用前提，避免忽略“同圆或等圆”导致出错。常结合垂径定理、等边三角形性质综合考查，是圆的基础计算与证明的核心知识点，为后续圆周角学习奠定基础。（字数：1238） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 探索圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题. 理解圆心角、弧、弦关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？ 这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理. 情境导入 【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆心角的概念 情境导入 圆是中心对称图形 . O A B 180° 【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 情境导入 探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. O 探究新知 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴. D 例1 探究新知 知识点1 圆的中心对称性 1.下列说法正确的是( ) B A.圆是中心对称图形，但不是旋转对称图形 B.圆的对称中心只有一个 C.圆绕圆心旋转 后，所得图形不会与原图形重合 D.圆的对称中心是圆上任意一点 返回 举一反三 8 知识点2 圆心角的概念 2.下列选项中的角是圆心角的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.如图，为的直径，为半圆上的一点，且 所对圆心角的度 数是所对圆心角度数的2倍，则 _____. （第3题） 返回 举一反三 10 B O A B' A' 思考：如图，在  中，当圆心角 ∠AOB=∠A′OB′ 时，它们所对的弧  和 有什么关系？弦 AB 和 A′B′ 呢？为什么？ 我们把∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线与重合. ∵ ∠AOB=∠A′OB′， ∴ 射线  与  重合. 又 ， ， ∴ 点  与  重合，点  与  重合. 因此， 与  重合， 与  重合， 即 ，. 探究新知 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何语言： ∠ AOB= ∠ A′OB′ ，AB=A′B′. B A B' A' 前提 探究新知 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 几何语言： ∠ AOB= ∠ A′OB′，AB = A′B′. AB = A′B′∠ AOB= ∠ A′OB′， . B A B' A' 因为一条弦所对的孤有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的孤相等” 探究新知 思考：在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？ 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等，其关系可表示为： 圆心角相等 所对的优弧、劣弧分别相等 所对的弦相等 简记为：知一推二. 探究新知 如图，在  中，，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵在  中，， ∴ AB=AC，△ABC 是等腰三角形. 又 ∵ ∠ACB=60°， ∴ △ABC 是等边三角形，可得 AB=BC=AC. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例2 探究新知 跟踪训练 如图 ，在 ⊙O 中，，则下列结论不一定正确的是 （ ） A.  B.  C.  D.  解析：∵ ，∴ ， ∴ ， 即 ，∴ ， 故选项 A， B， C 正确. ∵  和  无法确定是否相等， ∴ 无法判断 . D 探究新知 证弧、弦、圆心角相等的方法 在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外两组量中的一组量相等，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角是常用的作辅助线的方法. 探究新知 知识点3 弧、弦、圆心角之间的关系 （第4题） 4.如图，在中，，，则 的长为 ( ) C A.1 B. C.3 D.4 返回 举一反三 18 （第5题） 5.如图，在中，，是直径， ， ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 19 （第6题） 6.如图，，，，都是 上的点，若 ， ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 7.下列说法中，正确的是( ) B A.相等的弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.相等的圆心角所对的弦相等 D.相等的弦所对的圆心角相等 返回 举一反三 21 8.[佛山期末] 如图，，，，是 上的点， ，下列结论中错误的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 22 9.［教材P 127练习T 2变式］如图，在中， 是 直径， ，，是 的三等分点，求 的度数. 解： ， . ，是 的三等分点， ， ， . 返回 举一反三 23 10.如图，，是以为直径的 上的两点，且 ，求证： . 证明： ， ， . ， ， ， . 返回 举一反三 24 圆的旋转对称性 圆心角 圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 顶点在圆心的角叫作圆心角. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $