广东省阳江市第三中学2026-2027学年高三上学期开学综合练习（一）数学试题

**基本信息** 2026-2027学年高三开学数学综合练习，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过路线选择概率等生活情境题与数列证明等逻辑推理题，检测数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（数据意识）素养，适配开学基础巩固与能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量等|注重数学抽象能力| |多选题|3/18|直线与圆、数列性质|体现批判性思维，需严谨推理| |填空题|3/15|统计（上四分位数）、解三角形|检测数据意识与几何直观| |解答题|5/77|椭圆方程、概率应用、四棱锥线面角、数列证明|结合生活情境（路线概率）与空间观念（四棱锥），突出数学语言表达与逻辑推理|

保密 ★ 启用前 2026—2027学年第一学期高三数学综合练习（一）试题 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2026年9月3日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。) 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．设，则在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，若与共线，则（     ） A． B． C． D．3 4．已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（     ） A．36种 B．72种 C．144种 D．576种 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（     ） A． B． C． D． 8．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．已知直线：，圆：，则（     ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 10．已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（     ） A．公差 B． C． D．当时，最小 11．已知是函数的极大值点，则（     ） A． B． C．有两个零点 D．是奇函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________． 13．在中，角所对的边分别为，若，，，则_______. 14．已知奇函数（，）在上单调递增，若锐角满足，则________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 15．(13分)已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 16．(15分)已知的内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 17．(15分)小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知小张到达公司未迟，求他选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 18．(17分)如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 19．(17分)已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高三数学综合练习（一）试题解析版 2026年9月3日 一、单选题 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 2．设，则在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意得，对应复平面的点为，在第一象限. 3．已知向量，，若与共线，则（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意得，因为与共线，所以，所以. 4．已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【详解】对于A：由，，可得或，故A错误； 对于B：由知垂直于平面内的所有直线，因，故，故B正确； 对于C：由面面垂直的判定定理可得C正确；对于D：由线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，且过该直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行可知D正确. 5．4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（     ） A．36种 B．72种 C．144种 D．576种 【答案】C 【详解】第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种， 因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种. 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，又，解得， 所以． 7．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以.又因为的图象关于直线对称， 所以.已知，故，所以. 8．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率，所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得，整理得，解得，， 由题意得，，，所以. 二、多选题 9．已知直线：，圆：，则（     ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 10．已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（     ） A．公差 B． C． D．当时，最小 【答案】BCD 【详解】对于A：已知，，所以，即，解得，A错误； 对于B：，B正确；对于C：，C正确； 对于D：公差，数列递增，，令得，即，， 因此前项均为负，和最小，即时最小，D正确. 11．已知是函数的极大值点，则（     ） A． B． C．有两个零点 D．是奇函数 【答案】ACD 【详解】函数的导数为，已知是函数的极大值点， 所以，解得或，A：当时， 若或时，，则在，上单调递增，若时，，则在上单调递减，显然是函数的极大值点，A正确； B：当时，若或时，，则在，上单调递增，若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极小值点，B错误；C：令，解得或，显然有2个零点，C正确； D.：，设，定义域为且 ，所以是奇函数，D正确. 三、填空题 12．样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________． 【答案】34 【详解】把数据从小到大排序为：17，21，24，28，30，32，33，34，41，100，样本容量， ，所以该样本的上四分位数为34. 13．在中，角所对的边分别为，若，，，则_______. 【答案】 【详解】因为，由正弦定理可得，因为，所以， 由余弦定理可得，即. 14．已知奇函数（，）在上单调递增，若锐角满足，则________. 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，且，所以或者. 当时，，又，此时函数在上上单调递减， 与函数在上单调递增矛盾，舍去.当时，，又，此时函数在上上单调递增，因为函数在上单调递增，所以.当时，，又锐角满足，由平方关系得，.当时，.所以. 四、解答题 15．(13分)已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，......................................2分;可得，............................................3分; 则，....................5分; 故椭圆的标准方程为................6分. （2）联立，..................7分;消元整理得..................9分. 由，......................................................................................11分;解得或.即实数的取值范围为.......................13分. 16．(15分)已知的内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得......................................2分； 又由余弦定理可得，......................................4分;所以，......................................5分; 又，所以．...............................................................................................................................................7分. （2）由余弦定理可得，..............................................................................................................9分;由（1）知，所以，.............................................................................................11分; 又，，所以，，...........13分;所以．..............15分. 17．(15分)小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知小张到达公司未迟，求他选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 【详解】（1）设事件为到公司不迟到（说明选择的路不拥堵），事件为选择第条路． 由全概率公式，得.................................................................3分; ....................................................................................................6分; ．所以小张从家到公司不迟到的概率是．..................................................8分. （2） 所以他选择第一条路的概率约是．.........................................................................................................................15分. 18．(17分)如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】(1)因为平面 ，平面 ，所以，..............................................................2分; 由底面 是正方形，可得，...............4分;又，且 平面 ，................6分; 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 ........................................................................................................7分; （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， ........................................................8分; 则，...................................................9分; ，，，..............................10分;设平面的法向量为，则： ，即，令，得，即平面的一个法向量为 ，.......................12分; 设直线与平面所成角为，则，...........................................................14分; 因为，，， 所以，................16分;又，所以........................................17分. 19．(17分)已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 【详解】（1）证明：由题意,在数列中,，............1分∴,，  ............4分 又满足................5分所以................7分 ∴是以为首项，为公差的等差数列.................8分 （2）在中，  ，................10分 ，................12分 两式相减得，，................15分 ∴......................................................................17分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $