13.3三角形的内角与外角 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦人教版八年级上册13.3三角形的内角与外角，核心知识点包括三角形内角和定理（含概念、定理、证明及应用）、三角形外角性质（含定义、性质及应用）、直角三角形性质（含定义及特殊性质），形成从一般三角形内角到外角再到特殊直角三角形性质的递进式学习支架。 该资料通过系统讲解与典型例题结合，如内角和比例求角、外角性质证角度关系、直角三角形锐角互余计算等，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师教学，课后学生可借助详细解析回顾知识，有效查漏补缺。

人教版（2024）八年级上册13.3三角形的内角与外角 【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春•顺德区校级月考）适合条件∠A：∠B：∠C=2：3：5的△ABC是（　　） A．不等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2.（2025春•泰兴市期末）已知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC=64°，直线EF分别交AB、AC、BC的延长线于点E、D、F，若∠F=20°，则∠CDF=______°． 3.（2025春•莒县期末）在△ABC中，，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，则∠DCE=______． 【知识点2】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 1.（2025•玉田县二模）下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC=48°，∠BCE=117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69° B．89° C．111° D．165° 3.（2025秋•信州区期中）如图，已知∠1=125°，则∠2-∠3的度数为______． 4.（2025•浙江模拟）如图，∠B=20°，∠C=31°，∠BPC=123°，则∠A=______°． 【知识点3】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋•房山区期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 2.（2024春•渭滨区期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=4∠C，则∠B的度数为（　　） A．45° B．60° C．72° D．84° 3.（2024秋•西乡塘区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=3∠A，则∠A= ______． 4.（2024秋•大同期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=48°，则∠B的度数为______． 人教版（2024）八年级上册13.3三角形的内角与外角 (参考答案) 【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春•顺德区校级月考）适合条件∠A：∠B：∠C=2：3：5的△ABC是（　　） A．不等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】在△ABC中，根据∠A：∠B：∠C=2：3：5及∠A+∠B+∠C=180°，可求出∠C的度数，进而可得出△ABC是直角三角形． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°×=90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：C． 2.（2025春•泰兴市期末）已知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC=64°，直线EF分别交AB、AC、BC的延长线于点E、D、F，若∠F=20°，则∠CDF=______°． 【答案】32． 【分析】由∠DCF是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠DCF的度数，再在△CDF中，利用三角形内角和定理，即可求出∠CDF的度数． 【解答】解：∵∠DCF是△ABC的外角， ∴∠DCF=A+∠ABC=64°+64°=128°． 在△CDF中，∠F=20°，∠DCF=128°， ∴∠CDF=180°-∠F-∠DCF=180°-20°-128°=32°． 故答案为：32． 3.（2025春•莒县期末）在△ABC中，，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，则∠DCE=______． 【答案】15°． 【分析】根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可． 【解答】解：设∠A=x, ∴∠B=2x,∠ACB=3x, ∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴x+2x+3x=180°， 解得：x=30°， ∴∠A=30°，∠ACB=90°， 由条件可知∠ADC=90°， ∴∠ACD=90°-30°=60°， ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴， ∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°． 故答案为：15°． 【知识点2】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 1.（2025•玉田县二模）下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质等角的余角相等对四个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项错误； B、若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项错误； C、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确； D、已知三角形是直角三角形，推出由直角三角形两锐角互余和同角的余角相等可判断出∠1=∠2． 故选：C． 2.（2024秋•庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC=48°，∠BCE=117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69° B．89° C．111° D．165° 【答案】C 【分析】由三角形外角的性质得出∠BCE=∠BAC+∠ABC，即可求出∠ABC的度数，再根据邻补角互补即可求出 ∠CBD的度数． 【解答】解：∵∠BCE是△ABC的外角， ∴∠BCE=∠BAC+∠ABC， ∵∠BAC=48°，∠BCE=117°， ∴∠ABC=117°-48°=69°， ∴∠CBD=180°-∠ABC=180°-69°=111°， 故选：C． 3.（2025秋•信州区期中）如图，已知∠1=125°，则∠2-∠3的度数为______． 【答案】55°． 【分析】根据三角形外角的定义和性质以及邻补角的定义代入求解即可． 【解答】解：∠2-∠3=∠3+（180°-∠1）-∠3=∠3+180°-125°-∠3=55°， 故答案为：55°． 4.（2025•浙江模拟）如图，∠B=20°，∠C=31°，∠BPC=123°，则∠A=______°． 【答案】72． 【分析】连接AP并延长至点D，利用∠BPD=∠BAP+∠B，∠CPD=∠CAP+∠C，得∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠B+∠CAP+∠C=123°，即∠BAC+∠B+∠C=123°，代入∠B=20°，∠C=31°，即可求解． 【解答】解：如图，连接AP并延长至点D， 有由意可得： ∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠B+∠CAP+∠C=123°， ∴∠BAC+∠B+∠C=123°， ∵∠B=20°，∠C=31°， ∴∠BAC=123°-∠B-∠C=72°， 故答案为：72． 【知识点3】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋•房山区期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】A 【分析】根据角的和差计算即可解答． 【解答】解：一副三角板中，角的度数有：30°，60°，90°，45°， 由这4个角中的两个可以作出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°， 所以用一副三角板可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°， 故选：A． 2.（2024春•渭滨区期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=4∠C，则∠B的度数为（　　） A．45° B．60° C．72° D．84° 【答案】C 【分析】用∠B表示出∠C，再根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【解答】解：Rt△ABC中，∠A=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∵∠B=4∠C， ∴， ∴， ∴∠B=72°， 故选：C． 3.（2024秋•西乡塘区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=3∠A，则∠A= ______． 【答案】22.5°． 【分析】先根据直角三角形两锐角互余，再等量代换得到关于∠A的方程，从而得解． 【解答】解：由题意可知：∠A+∠B=90°， ∵∠B=3∠A， ∴∠A+3∠A=90°， 解得：∠A=22.5°， 故答案为：22.5°． 4.（2024秋•大同期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=48°，则∠B的度数为______． 【答案】42°． 【分析】根据直角三角形的性质直接求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠A=48°， ∴∠B=42°． 故答案为：42°． 学科网（北京）股份有限公司 $