13.3三角形的内角与外角 同步讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“三角形的内角与外角”核心知识点，系统梳理三角形内角和定理（概念、证明及应用）、外角性质（定义、性质及转化应用）、直角三角形性质（两锐角互余等特殊性质），构建从基础到特殊的知识递进支架。 资料以生活实例（如侧压腿、三角板叠放）引导学生用数学眼光观察现实，通过证明思路分析（如内角和转化平角）培养推理意识，题型涵盖折叠、动态问题提升应用能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第13章 13.3 三角形的内角与外角 内 容 导 航 题型1 三角形内角和定理 题型2 三角形的外角性质 题型1 直角三角形的性质 考 点 演 练 题型1 三角形内角和定理 解｜题｜知｜识 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【典例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC边于E， ∴∠CBE＝∠ABE＝25°， ∴∠ABC＝2∠ABE＝50°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°， ∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ACB＝20°， 故选：B． 【变式1】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， ∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°． 所以该三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式2】如图，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　） A．120° B．125° C．130° D．140° 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的角平分线， ∴， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°， 故选：B． 【变式3】如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD﹣∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解答】解：∵CD平分∠BCN，BE平分∠ABC， ∴∠NCD＝∠BCD∠BCN，∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∵∠NCD＝∠P+∠CBP， ∴∠P＝∠NCD﹣∠CBP∠BCN∠ABC， ∵∠BCN＝∠A+∠ABC， ∴∠P（∠A+∠ABC﹣∠ABC）∠A， 因此已知∠A可以求出∠P，所以②不符合题意； ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，而已知∠A可以求出∠P， ∴已知∠ABC+∠ACB也可以求出∠P， 所以①不符合题意； ∵∠NCD＝∠P+∠CBP，而∠CBP＝∠ABD， ∴∠P＝∠NCD﹣∠ABP， 因此已知∠NCD﹣∠ABP，即可求出∠P， 所以③不符合题意； 当已知∠ABC的大小时，∠A的大小不能确定，而∠P∠A， 因此已知∠ABC的大小时，不能确定∠P的大小， 所以④符合题意． 故选：D． 【变式4】如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 　65°　 ． 【答案】65° 【解答】解：如图， ∵△ABC的一角折叠， ∴∠3＝∠5，∠4＝∠6， 而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°， ∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°， ∵∠1+∠2＝130°， ∴∠3+∠4＝115°， ∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°． 故答案为：65°． 【变式5】如图①为永动摆，图②为其某一时刻的抽象图，已知∠ABC＝∠ACB＝55°，若要使AC∥ED，则∠ADE＝　70　 °． 【答案】70． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣55°×2＝70°， 要使AC∥ED， 则∠ADE＝∠BAC＝70°， 故答案为：70． 题型2 三角形的外角性质 解｜题｜知｜识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【典例1】体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．60° D．120° 【答案】A 【解答】解：根据三角形外角性质得，∠1＝∠2+90°， ∵∠1＝120°， ∴∠2＝30°， 故选：A． 【变式1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° 【答案】C 【解答】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，A、B、C、D标记如下： 根据题意可知：∠ABD＝90°，∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠A＝60°， ∴∠1＝∠A+∠ABC＝60°+45°＝105°， 即如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于105°， 故选：C． 【变式2】一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【解答】解：由外角的性质可得：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：C． 【变式3】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】C 【解答】解：∵∠ECD是△BCE的一个外角， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠ECD＝120°， 故选：C． 【变式4】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　90°　 ． 【答案】90° 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故答案为：90° 【变式5】如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B＝30°，∠ACD＝100°，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACD＝100°， ∴∠BAC＝100°﹣30°＝70°， ∴∠EAC＝180°﹣70°＝110°， ∵AD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAEEAC＝55°． 题型3 直角三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【典例1】如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝30°， 故选：A． 【变式1】在△ABC中，满足下列条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A+∠B＝∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝90°﹣∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∠A＝60°，∠C＝30°时，∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，是直角三角形； ②∠A+∠B＝∠C时，∠C＝90°，是直角三角形； ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，∠C＝180°90°，是锐角三角形； ④∠A＝90°﹣∠C时，∠A+∠C＝90°，∠B＝90°，是直角三角形； 综上所述，是直角三角形的有①②④共3个． 故选：C． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】A 【解答】解：设∠A为x，则∠B为2x， 由题意得，x+2x＝90°， 解得，x＝30°， 则2x＝60°， ∴∠B＝60°，∠A＝30°． 故选：A． 【变式3】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 【变式4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是AC延长线上一点，AF是∠BAC的平分线，分别作∠BCA，∠BCD的平分线CE，CF，交AF于点E，F，则∠AEC＝　135　 °，∠F＝ 　45　 °． 【答案】135；45． 【解答】解：由条件可知∠BAC+∠ACB＝90°， ，， ∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF ＝90°， 由条件可知， ∴∠CEF＝∠CAE+∠ACE ＝45°， 由条件可知∠AEC+45°＝180°， ∴∠AEC＝135°， 又∵∠ECF＝90°， ∴∠F+∠CEF＝90°， ∴∠F+45°＝90°， ∴∠F＝45°， 故答案为：135，45． 【变式5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　14°　 ． 【答案】14° 【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°， ∴∠B＝90°﹣52°＝38°， 由题意可知△ECD≌△ACD， ∴∠CED＝∠A＝52°， 由图可知∠CED是△EBD 的外角， ∴∠CED＝∠B+∠EDB， ∴52°＝38°+∠EDB， ∴∠EDB＝14°． 故答案为：14°． 过 关 验 收 1. 在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　60　 度． 【答案】60 【解答】解：设∠A为x． x+2x+3x＝180°⇒x＝30°． ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°． 故填60． 2. 如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠A＝40°，则∠1+∠2的度数为 　80°　 ． 【答案】80°． 【解答】解：∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处， ∴∠A＝∠DA′E＝40°， ∴∠A′EA+∠A′DA＝360°﹣40°×2＝280°， ∵∠1+∠A′EA＝180°，∠2+∠A′DA＝180°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A′EA+∠A′DA）＝80°． 故答案为：80°． 3. 如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝　300　 °． 【答案】300． 【解答】解：由条件可得∠1+∠2＝150°，∠3+∠4＝150°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝150°+150°＝300°． 故答案为：300． 4. 已知△ABC中，AD为BC边上的高，∠B＝50°，∠CAD＝15°，则∠BAC的度数　25°或55°　 ． 【答案】25°或55° 【解答】解：①如图，当AD在△ABC的内部时， ∵AD⊥BC，∠B＝50°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+15°＝55°； ②如图，当AD在△ABC的外部时， ∵AD⊥BC，∠B＝50°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝40°﹣15°＝25°； 故答案为：25°或55°． 5. 探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　∠BPC＝90°∠A ． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　60°　 ． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　2∠BPC＝∠BDC+∠A ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，连接AP并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP， 又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①结论：∠BPC＝90°∠A． 理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y， ∵∠P＝100°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABC＝40°， ∵∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°； 故答案为：∠BPC＝90°∠A，60°； ②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， 四边形BPDC中，∠P∠ABD∠ACD+360°﹣∠D＝360°， ∴∠ABD∠ACD＝∠D﹣∠P， 在四边形ABPC中，∠A∠ABD∠ACD+360°﹣∠P＝360°， ∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0， ∴2∠BPC＝∠BDC+∠A． 故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A． 6. 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF． （1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数； （2）若∠ADE＝α，则∠AED＝　90°α　 （含α的代数式表示）． 【答案】（1）77.5°；（2）90°α． 【解答】解：（1）∵DF∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DEB＝∠EBC＝25°， ∵EC平分∠BEF， ∴∠CEF＝∠BEC＝∠C， ∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°， ∴∠BEC＝77.5°； （2）∵DF∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝α， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DEB＝∠EBCα， ∵EC平分∠BEF， ∴∠AED＝∠CEF（180°α）＝90°α． 故答案为：90°α． 7. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 【答案】C 【解答】解：起吊物体前，设∠BDC＝x， ∵∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， ∴， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝60°+x； 物体被吊起后， ∵机械臂AB的位置不变，∠CBD＝2∠ABD，∠CBD+∠ABD＝120°， ∴∠CBD＝2∠ABD＝80°， ∵∠BDC增大了10°， ∴∠BDC＝x+10°， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝80°+x+10°＝90°+x， ∴（90°+x）﹣（60°+x）＝30°， ∴∠DCE的变化情况为增大30°． 故选：C． 8. 下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，∠A，∠B都是锐角，④△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5．其中能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，符合题意； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴， ∴△ABC是直角三角形，符合题意； ③∵△ABC中，∠A，∠B都是锐角， ∴∠C不一定等于90°， ∴△ABC不一定是直角三角形，不符合题意； ④∵△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5． 设∠A的外角为3x，则∠B的外角为4x，∠C的外角为5x， ∴∠A＝180°﹣3x，∠B＝180°﹣4x，∠C＝180°﹣5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴（180°﹣3x）+（180°﹣4x）+（180°﹣5x）＝180°， 解得x＝30°， ∴该三角形的一个内角为∠A＝180°﹣3×30°＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意． 故选：C． 9. 如图，AD是△ABC的高，交AD于点E．若∠C＝76°，∠BED＝64°，∠ABE＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．39° B．43° C．51° D．53° 【答案】D 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝14°， ∵∠BED＝64°，∠ABE＝25°， ∴∠BAE＝∠BED﹣∠ABE＝39°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAD＝53°， 故选：D． 10. 如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， （∠ACD﹣∠ABC） ∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠1） ＝90°∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD， ∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 11. 如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中AB∥EF，CG⊥EF，若∠ACD＝105°，∠B＝69°，则∠A+∠BDC的度数是（　　） A．15° B．21° C．36° D．48° 【答案】C 【解答】解：延长DC交AB于K， ∵∠AKC＝∠B+∠BDC，∠ACD＝∠A+∠AKC， ∴∠ACD＝∠A+∠B+∠BDC， ∵∠ACD＝105°，∠B＝69°， ∴∠A+∠BDC＝105°﹣69°＝36°， 故选：C． 12. 如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A＝27°，∠D＝20°，求∠ACB与∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BC⊥ED， ∴∠COD＝90°， 又∵∠D＝20°， ∴∠ACB＝∠COD+∠D＝90°+20°＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝43°． 13. 下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：①若∠A+∠B＝∠C，因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以2∠C＝180°，即∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ③若∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝∠C＝60°， 所以△ABC不是直角三角形，不符合题意； ④若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意， 综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②④． 故选：B． 14. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°，故3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ⑤∵∠A＝∠B∠C， ∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 15. 在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠1∠ACB40°＝20°． 故选：B． 16. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∴5x+2x+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 17. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°， ∴∠C＝∠BDF＝∠BAD， ∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°， ∴∠C＝∠ADE， ∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3， 故选：A． 18. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为　75°、15°　 ． 【答案】75°、15° 【解答】解：设另一个锐角是x，则这个锐角是4x+15°， 根据题意得，x+4x+15°＝90°， 解得x＝15°， 4x+15°＝4×15°+15°＝75°， 所以，这两个锐角分别为75°、15°． 故答案为：75°、15°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 13.3 三角形的内角与外角 内 容 导 航 题型1 三角形内角和定理 题型2 三角形的外角性质 题型1 直角三角形的性质 考 点 演 练 题型1 三角形内角和定理 解｜题｜知｜识 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【典例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式1】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】如图，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　） A．120° B．125° C．130° D．140° 【变式3】如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD﹣∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4】如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 　 　 ． 【变式5】如图①为永动摆，图②为其某一时刻的抽象图，已知∠ABC＝∠ACB＝55°，若要使AC∥ED，则∠ADE＝　 　 °． 题型2 三角形的外角性质 解｜题｜知｜识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【典例1】体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．60° D．120° 【变式1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° 【变式2】一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【变式3】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式4】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　 ． 【变式5】如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B＝30°，∠ACD＝100°，求∠DAE的度数． 题型3 直角三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【典例1】如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1】在△ABC中，满足下列条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A+∠B＝∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝90°﹣∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【变式3】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是AC延长线上一点，AF是∠BAC的平分线，分别作∠BCA，∠BCD的平分线CE，CF，交AF于点E，F，则∠AEC＝　 　 °，∠F＝ 　 °． 【变式5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　 　 ． 过 关 验 收 1. 在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　 　 度． 2. 如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠A＝40°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 3. 如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　 °． 4. 已知△ABC中，AD为BC边上的高，∠B＝50°，∠CAD＝15°，则∠BAC的度 数　 　 ． 5. 探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　 ． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　 　 ． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　 ． 6. 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF． （1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数； （2）若∠ADE＝α，则∠AED＝　 　 （含α的代数式表示）． 7. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 8. 下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，∠A，∠B都是锐角，④△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5．其中能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. 如图，AD是△ABC的高，交AD于点E．若∠C＝76°，∠BED＝64°，∠ABE＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．39° B．43° C．51° D．53° 10. 如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 11. 如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中AB∥EF，CG⊥EF，若∠ACD＝105°，∠B＝69°，则∠A+∠BDC的度数是（　　） A．15° B．21° C．36° D．48° 12. 如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A＝27°，∠D＝20°，求∠ACB与∠B的度数． 13. 下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 14. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 15. 在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 16. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别 为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $