1.3 绝对值 课时作业 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖绝对值从概念到应用的完整路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|绝对值的几何意义、代数意义及基本性质|选择填空为主，直接考查概念辨析与基础运算，夯实抽象能力| |B组能力提升|非负性应用、实际问题解决|解答题结合零件偏差等情境，强化运算与推理意识| |C组拓展探究|数轴距离模型、分类讨论|探究题通过阅读材料构建|a-b|模型，发展创新意识与应用能力|

浙教版数学七年级上册 第1章 1.3 绝对值 课时作业 第1章 有理数 1.3 绝对值 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 理解绝对值的几何意义与代数意义，会用符号 |a| 表示一个数的绝对值；2. 会求一个有理数的绝对值，会由绝对值反过来求这个数；3. 知道绝对值的非负性，能利用非负性解决简单问题；4. 进一步体会数形结合的思想，会用绝对值表示实际问题中的"偏差""距离"。 一、知识梳理 知识点 1 绝对值的意义 在数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。数 a 的绝对值记作 |a|。 图 1-1 绝对值的几何意义 如图，点 P 表示 -3，它到原点的距离是 3 个单位长度，所以 |-3| = 3；点 Q 表示 4，它到原点的距离是 4 个单位长度，所以 |4| = 4。 关键理解 绝对值的本质是"距离"。距离只有大小、没有方向，所以任何一个数的绝对值都不会是负数。 知识点 2 绝对值的代数意义 根据绝对值的几何意义，可以得到求绝对值的方法： a 的取值 |a| 等于 举　　例 a 是正数 a 本身 |8| = 8，|3.6| = 3.6 a = 0 0 |0| = 0 a 是负数 a 的相反数 -a |-8| = 8，|-3.6| = 3.6 用式子可以表示为：当 a ＞ 0 时，|a| = a；当 a = 0 时，|a| = 0；当 a ＜ 0 时，|a| = -a。 易错提醒 ① 当 a ＜ 0 时，|a| = -a，这里的 -a 是 a 的相反数，是一个正数，不要误以为"结果是负的"；② 求绝对值时，"去绝对值符号"的同时要判断括号里那个数的正负，不能直接把负号丢掉；③ 像 -|−5| 这样的式子，要先算里面的 |−5| = 5，再取相反数，得 -5。 知识点 3 绝对值的重要性质 （1）非负性：任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 （2）绝对值最小的有理数是 0，即当且仅当 a = 0 时，|a| = 0。 （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |a| = |-a|。 （4）若 |a| = |b|，则 a = b 或 a = -b。 （5）若 |a| = m（m ＞ 0），则 a = m 或 a = -m，即绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数。 图 1-2 绝对值为 3 的数有两个 重要结论 几个非负数的和等于 0，那么每一个非负数都必须等于 0。例如：若 |a - 2| + |b + 5| = 0，则 |a - 2| = 0 且 |b + 5| = 0，从而 a = 2，b = -5。 知识点 4 绝对值在实际问题中的应用 在生产和生活中，人们常用正、负数表示与标准值的偏差，用绝对值表示偏差的大小。绝对值越小，说明越接近标准，质量越好。 例如，某零件的标准长度是 100 mm，四个零件的偏差分别是 +0.3 mm，-0.5 mm，+0.2 mm，-0.1 mm，那么偏差绝对值最小的是 -0.1 mm，这个零件的长度最接近标准。 数轴上两点间的距离也可以用绝对值表示：数轴上表示 a 和 b 的两点之间的距离等于 |a - b|。 二、典例精析 例 1 求有理数的绝对值 求下列各数的绝对值： 　　（1）15；　（2）-9；　（3）0；　（4）；　（5）+2.8；　（6）-(-6)。 【解】（1）|15| = 15　（2）|-9| = 9　（3）|0| = 0 （4）　（5）|+2.8| = 2.8　（6）因为 -(-6) = 6，所以 |-(-6)| = 6 【解析】求绝对值只需三步：①先把这个数化简（如第 6 小题先算出 -(-6) = 6）；②判断它是正数、负数还是 0；③正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 例 2 含绝对值符号的化简与计算 计算下列各式的值： 　　（1）|-7| + |3|；　（2）|-12| - |-5|；　（3）-|-4|；　（4）|-2| × |-3|。 【解】（1）|-7| + |3| = 7 + 3 = 10； （2）|-12| - |-5| = 12 - 5 = 7； （3）-|-4| = -(4) = -4； （4）|-2| × |-3| = 2 × 3 = 6。 【解析】绝对值符号有"括号"的作用：先算绝对值符号内部，再去掉绝对值符号，最后按四则运算的顺序计算。第（3）小题最容易出错，绝对值符号外面还有一个负号，去掉绝对值符号后这个负号仍然要保留。 例 3 由绝对值求原数 （1）绝对值等于 5 的数有哪些？ （2）若 |x| = 3.5，求 x 的值； （3）若 |x - 1| = 4，求 x 的值。 【解】（1）绝对值等于 5 的数有两个，是 5 和 -5。 （2）由 |x| = 3.5 得 x = 3.5 或 x = -3.5。 （3）由 |x - 1| = 4 得 x - 1 = 4 或 x - 1 = -4， 　　所以 x = 4 + 1 = 5，或 x = -4 + 1 = -3。 　　即 x = 5 或 x = -3。 【解析】已知绝对值求原数，只要绝对值是一个正数，就一定有两个答案，它们互为相反数。第（3）小题要把 x - 1 看成一个整体，先求出这个整体的两个可能值，再分别求 x。漏解是本类题最常见的错误。 例 4 绝对值的非负性 （1）若 |a| + |b - 3| = 0，求 a 和 b 的值； （2）已知 |m| = 4，|n| = 7，且 m ＜ 0，n ＞ 0，求 m 和 n 的值。 【解】（1）因为 |a| ≥ 0，|b - 3| ≥ 0，两个非负数的和为 0， 　　所以 |a| = 0 且 |b - 3| = 0， 　　所以 a = 0，b - 3 = 0，即 b = 3。 （2）由 |m| = 4 得 m = 4 或 m = -4，又 m ＜ 0，所以 m = -4； 　　由 |n| = 7 得 n = 7 或 n = -7，又 n ＞ 0，所以 n = 7。 【解析】绝对值的非负性是本节最重要的性质。看到"几个绝对值的和等于 0"，就要立刻想到每一个绝对值都等于 0。第（2）小题中，绝对值给出两个候选答案，再用附加条件（正负）从中选出符合要求的那一个。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. |-6| 的值是（　　） 　　A. -6　　　B. 6　　　C. 0　　　D. ±6 2. 的值是（　　） 　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3. 下列各数中，绝对值最小的是（　　） 　　A. -3　　　B. 0　　　C. 1　　　D. -5 4. 若 |x| = 9，则 x 等于（　　） 　　A. 9　　　B. -9　　　C. 9 或 -9　　　D. 0 5. 下列说法中，正确的是（　　） 　　A. 一个数的绝对值一定是正数　　　B. 一个数的绝对值一定不是负数 　　C. 一个数的绝对值一定大于这个数　　D. 绝对值相等的两个数一定相等 6. -|-2.5| 的值是（　　） 　　A. 2.5　　　B. -2.5　　　C. 0　　　D. ±2.5 7. 若 a 是负数，则 |a| 等于（　　） 　　A. a　　　B. -a　　　C. 0　　　D. ±a 8. 若 |a - 5| + |b + 2| = 0，则 a + b 的值是（　　） 　　A. 7　　　B. 3　　　C. -3　　　D. -7 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. |-15| = ________；|+4.2| = ________；|0| = ________。 10. = ________；-|-7| = ________。 11. 绝对值等于 12 的数是____________。 12. 绝对值最小的有理数是________；绝对值等于它本身的数是________（填"正数""负数"或"非负数"）。 13. 若 |x| = |−6|，则 x = ____________。 14. 若 |a| = 3，且 a ＜ 0，则 a = ________；若 |b| = 0，则 b = ________。 15. 数轴上表示 -8 的点到原点的距离是________，用绝对值表示为____________。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）计算下列各式的值： 　　（1）|-11| + |-9|；　（2）|-20| - |6|；　（3）|-3| × |-8|；　（4）。 17.（10 分）已知下列各数： 　　-4，　3.5，　0，　，　，　-1.25，　6。 　　（1）分别求出这些数的绝对值； 　　（2）把这些数的绝对值按从小到大的顺序排列； 　　（3）这些数中，哪个数在数轴上离原点最远？哪个最近？ 18.（10 分）某车间生产一批圆柱形零件，规定直径的标准值为 30 mm。质检员抽取了 5 个零件，测得它们与标准值的偏差（单位：mm）如下表： 零件编号 ① ② ③ ④ ⑤ 偏差 +0.4 -0.7 +0.2 -0.3 +0.5 　　（1）分别求出这 5 个零件直径的实际值； 　　（2）分别求出这 5 个偏差的绝对值； 　　（3）哪个零件的直径最接近标准值？哪个偏离标准值最远？说明你的判断理由； 　　（4）若规定偏差的绝对值不超过 0.5 mm 为合格品，则这 5 个零件中有几个是合格品？ B 组 能力提升 19.（8 分）已知 |x| = 6，|y| = 2。 　　（1）分别写出 x、y 所有可能的值； 　　（2）若 x ＜ 0 且 y ＞ 0，求 x 和 y； 　　（3）在（1）的所有情况中，x + y 一共有几个不同的结果？分别是多少？ 20.（8 分）已知 |a - 3| + |b + 4| = 0。 　　（1）求 a、b 的值，并说明理由； 　　（2）求 |a| + |b| 的值； 　　（3）在数轴上标出 a、b 对应的点，并求这两点之间的距离。 21.（8 分）某快递员从公司出发送货，规定向东为正，向西为负。他一天的行程记录如下（单位：km）： 　　+6，　-3，　-5，　+8，　-2。 　　（1）送完最后一件货物时，快递员在公司的哪个方向？距离公司多远？ 　　（2）分别求出这 5 个数的绝对值，并求它们的和； 　　（3）若电动车每千米耗电 0.2 度，求他这一天送货共耗电多少度？ C 组 拓展探究 22.（10 分）阅读下面的材料，然后解答问题。 　　【阅读材料】　在数轴上，表示数 a 和数 b 的两点之间的距离可以表示为 |a - b|。 　　例如：表示 5 和 2 的两点之间的距离是 |5 - 2| = |3| = 3； 　　表示 -1 和 4 的两点之间的距离是 |-1 - 4| = |-5| = 5。 　　（1）用上述方法求数轴上表示 -7 和 -2 的两点之间的距离； 　　（2）若数轴上表示 x 和 3 的两点之间的距离是 6，即 |x - 3| = 6，求 x 的值； 　　（3）当 x 取哪些整数时，|x + 2| + |x - 3| = 5 成立？（提示：先在数轴上标出 -2 和 3，再想一想 x 应在什么位置。） 23.（8 分）已知有理数 a、b 满足：a 是绝对值等于 4 的负数，b 的绝对值等于 4 且 b 不等于 a。 　　（1）求 a、b 的值； 　　（2）判断 a 与 b 是否互为相反数，并说明理由； 　　（3）已知 c 满足 |c| ＜ 4 且 c 是整数，写出 c 的所有可能取值。 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. B　2. B　3. B　4. C　5. B　6. B　7. B　8. B 详解： 1. 负数的绝对值是它的相反数，|-6| = 6，选 B。 2. 是负数，它的绝对值是它的相反数 ，选 B。 3. 先求出各数的绝对值：|-3| = 3，|0| = 0，|1| = 1，|-5| = 5。其中 0 最小，选 B。 4. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，所以 x = 9 或 x = -9，选 C。 5. A 错，因为 |0| = 0，0 不是正数；C 错，因为正数的绝对值等于它本身，如 |5| = 5，并不大于 5； 　　D 错，如 |3| = |-3|，但 3 ≠ -3；B 正确，绝对值表示距离，距离不可能为负。选 B。 6. 先算 |-2.5| = 2.5，再取相反数得 -2.5，选 B。 7. a 是负数时，|a| 等于 a 的相反数 -a，选 B。 8. 两个非负数的和为 0，则每个都为 0，所以 a - 5 = 0，b + 2 = 0，得 a = 5，b = -2， 　　所以 a + b = 5 + (-2) = 3，选 B。 二、填空题 9. 15；4.2；0 10. ；-7 -|-7| 要先算 |-7| = 7，再取相反数，结果是 -7。 11. 12 或 -12 12. 0；非负数 绝对值等于它本身的数是正数和 0，合起来就是非负数。 13. 6 或 -6 先算 |-6| = 6，则 |x| = 6，所以 x = 6 或 x = -6。 14. -3；0 15. 8；|-8| = 8 三、解答题 16.（1）20　（2）14　（3）24　（4）1 （1）|-11| + |-9| = 11 + 9 = 20； （2）|-20| - |6| = 20 - 6 = 14； （3）|-3| × |-8| = 3 × 8 = 24； （4）。 17.（1）依次为 4，3.5，0，，，1.25，6。 （2）从小到大排列：0 ＜ ＜ 1.25 ＜ 3.5 ＝ ＜ 4 ＜ 6。 　　注意 ，所以 3.5 与 的绝对值相等，排序时并列。 （3）绝对值越大，离原点越远。6 的绝对值 6 最大，所以 6 离原点最远； 　　0 的绝对值是 0，所以 0 离原点最近（它就在原点上）。 18.（1）30.4，29.3，30.2，29.7，30.5（单位：mm） （1）实际值 = 标准值 + 偏差： 　　① 30 + 0.4 = 30.4；② 30 - 0.7 = 29.3；③ 30 + 0.2 = 30.2； 　　④ 30 - 0.3 = 29.7；⑤ 30 + 0.5 = 30.5。 （2）5 个偏差的绝对值依次是：0.4，0.7，0.2，0.3，0.5。 （3）偏差的绝对值越小，说明越接近标准值。 　　0.2 最小，所以零件③的直径最接近标准值；0.7 最大，所以零件②偏离标准值最远。 （4）偏差的绝对值不超过 0.5 的有：0.4（①）、0.2（③）、0.3（④）、0.5（⑤），共 4 个合格品。 　　零件②的偏差绝对值 0.7 ＞ 0.5，不合格。 B 组 能力提升 19.（1）x = 6 或 -6，y = 2 或 -2　（2）x = -6，y = 2　（3）4 个：8，4，-4，-8 （1）由 |x| = 6 得 x = 6 或 x = -6；由 |y| = 2 得 y = 2 或 y = -2。 （2）x ＜ 0，所以 x = -6；y ＞ 0，所以 y = 2。 （3）把四种搭配逐一列出： 　　x = 6，y = 2 时，x + y = 8；　x = 6，y = -2 时，x + y = 4； 　　x = -6，y = 2 时，x + y = -4；　x = -6，y = -2 时，x + y = -8。 　　共得到 8，4，-4，-8 四个值，它们互不相同，所以 x + y 一共有 4 个不同的结果。 　　（说明：解这类题要按"分类讨论"的方法把所有搭配一一列举，做到不重不漏。） 20.（1）a = 3，b = -4　（2）7　（3）图略，距离为 7 （1）因为 |a - 3| ≥ 0，|b + 4| ≥ 0，两个非负数的和等于 0， 　　所以 |a - 3| = 0 且 |b + 4| = 0， 　　所以 a - 3 = 0，b + 4 = 0，即 a = 3，b = -4。 （2）|a| + |b| = |3| + |-4| = 3 + 4 = 7。 （3）在数轴上，3 在原点右边 3 个单位处，-4 在原点左边 4 个单位处。 　　两点间的距离为 3 + 4 = 7（也可用 |3 - (-4)| = |7| = 7 计算）。 21.（1）在公司东边，距离 4 km　（2）绝对值依次为 6，3，5，8，2，和为 24　（3）4.8 度 （1）把各次行程依次累加：6 - 3 = 3；3 - 5 = -2；-2 + 8 = 6；6 - 2 = 4。 　　最后的结果 4 是正数，所以快递员在公司东边，距离公司 4 km。 （2）|+6| = 6，|-3| = 3，|-5| = 5，|+8| = 8，|-2| = 2， 　　它们的和为 6 + 3 + 5 + 8 + 2 = 24。 （3）这一天行驶的总路程就是各次路程的绝对值之和，为 24 km， 　　共耗电 24 × 0.2 = 4.8（度）。 　　注意：求"最后的位置"要带着符号相加，求"总路程"要用绝对值相加，两者不能混淆。 C 组 拓展探究 22.（1）5　（2）x = 9 或 x = -3　（3）x = -2，-1，0，1，2，3 （1）距离为 |-7 - (-2)| = |-7 + 2| = |-5| = 5。 　　也可以直接在数轴上数：从 -7 到 -2 共 5 个单位长度。 （2）由 |x - 3| = 6 得 x - 3 = 6 或 x - 3 = -6， 　　所以 x = 6 + 3 = 9，或 x = -6 + 3 = -3。 （3）|x + 2| 表示 x 与 -2 两点间的距离，|x - 3| 表示 x 与 3 两点间的距离。 　　而 -2 与 3 之间的距离恰好是 |−2 − 3| = 5。 　　所以原式的意思是：点 x 到 -2 的距离加上到 3 的距离等于 -2 与 3 之间的距离， 　　这说明点 x 必须位于 -2 与 3 之间（包括这两个端点）。 　　因此 x 可取的整数是 -2，-1，0，1，2，3，共 6 个。 　　检验：取 x = 0 时，|0 + 2| + |0 - 3| = 2 + 3 = 5，成立； 　　取 x = 4 时，|4 + 2| + |4 - 3| = 6 + 1 = 7 ≠ 5，不成立。 23.（1）a = -4，b = 4　（2）是互为相反数　（3）-3，-2，-1，0，1，2，3 （1）绝对值等于 4 的数是 4 和 -4。 　　因为 a 是负数，所以 a = -4；因为 |b| = 4 且 b ≠ a，所以 b = 4。 （2）a = -4 与 b = 4 只有符号不同，符合相反数的定义，所以 a 与 b 互为相反数。 （3）|c| ＜ 4 表示点 c 到原点的距离小于 4，即 c 在 -4 与 4 之间（不含 -4 和 4）。 　　其中的整数有 -3，-2，-1，0，1，2，3，共 7 个。 本课时小结 （1）绝对值的本质是距离，所以 |a| ≥ 0 恒成立，这是本节最重要的性质；（2）求绝对值三步走：先化简 → 再判断正负 → 最后去符号；（3）由绝对值求原数时，只要绝对值是正数，答案就有两个，切记不要漏解；（4）看到"几个绝对值的和为 0"，立即想到每个绝对值都等于 0；（5）实际问题中，符号表示方向或增减，绝对值表示偏差或路程的大小。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $