25.3实际问题与一元二次方程 解答题题型分类专题提升训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，按增长率、行程、工程、销售、几何动态五大题型分类，以题载法构建从实际问题到方程模型的解题逻辑，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率问题|4题|含正向增长、降价率及预测，数据贴近科技与生活|通过“初始量×(1±增长率)^n=终量”建立方程，体现数学抽象| |行程问题|4题|涉及变速运动、折返及交通场景|分析路程关系抽象为方程，培养数学思维与推理能力| |工程问题|4题|含生产线效率、施工成本及治理效果|根据工作量=效率×时间构建模型，强化应用意识| |商品销售问题|4题|涉及降价促销、利润最大化及销量关系|通过“利润=(售价-成本)×销量”建立方程，体现数学语言表达| |几何动态问题|4题|动点形成的距离、面积及平行四边形存在性|结合几何性质抽象等量关系，发展几何直观与空间观念|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.3实际问题与一元二次方程》 解答题题型分类专题提升训练（附答案） 一、增长率问题 1．某新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条．求该门店这两周该数据线销量的周平均增长率． 2．云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 3．2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 4．随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标． (1)已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过？请说明理由． 二、行程问题 5．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 6．今年年初一美丽的白鹅潭江面进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 7．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值． 8．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 三、工程问题 9．疫情爆发时，许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 10．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 11．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 12．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 四、商品销售问题 13．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ (2)平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 14．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 15．瓯窑非遗文创成为温州文旅消费爆款，某门店主营特色青瓷茶具．现购进一批成本固定的青瓷茶具，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件产品商家需多付元快递费． (1)求出每件产品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件产品的售价． 16．小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 五、几何动态问题 17．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 18．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 19．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 20．如图，在四边形ABCD中， ，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 参考答案 1．解：设该门店这两周该数据线销量的周平均增长率为， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该门店这两周该数据线销量的周平均增长率为． 2．解：设该商场对释迦果两次调价的平均降价率为x， 根据题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该商场对释迦果两次调价的平均降价率为． 3．解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x． 根据题意得． 解得，（舍去）． ∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为， （万元）． 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 4．（1）解：设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，由题意可得 ∵， ∴ ∴ 答：从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到； （2）解： 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过． 5．（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 6．解：（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 7．（1）1600；（2）20． 【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可； （2）根据题意得出：进而求出即可． 【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：， 解得：， 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米； （2）由题意可得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：m的值为20． 8．(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 9．（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 10．(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 11．（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 12．(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 13．(1)售价应定为70元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设每件降价元，根据销售这种服装平均每天盈利1000元，列出方程，解方程即可； （2）根据每天盈利达到1250元，列出方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设每件降价元， 由题意列方程：， 整理得， 解得，， 要使顾客得到较多实惠，取，售价为元， 答：售价应定为70元． （2）解：当， 整理得：， 判别式，方程无实数根， 答：平均每天盈利不能达到1250元． 14．(1) (2)销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【详解】（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 15．(1) 每件产品的成本为元 (2) 三月份每件产品的售价为元 【分析】（1）根据售价为12元时，关系式可知3月线下月销量，根据利润乘以销量等于线下总利润即可求解； （2）根据线下月利润+线上月利润=总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：当售价为元时，线下月销量（件）， 设每件产品的成本为元， 则， 解得：， ∴每件产品的成本为元． （2）解：三月份每件产品的售价为元， 则线下月销量为：（件）， 则线下月利润为：（元）， 线上月利润为（元）， 则得 解得：或， ∵， ∴（舍去）， ∴三月份每件产品的售价为元． 16．(1) (2)60元或70元 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元． 17．(1)； (2)9秒或12秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理. （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴ 故答案为：，； （2）解：设运动秒时，，两点相距15厘米， ∵， ∴， 即， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米． 18．(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题通过动点的形式考查一元二次方程求解及利用判别式判定是否存在实数根； （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求得时间； （2）根据题意列出一元二次方程，用判别式求解方程根的情况，即可说明是否存在． 【详解】（1）解：设后，的面积等于根据题意，得 解得，． 当时，不合题意，舍去， 答：后，的面积等于； （2）设后，的面积等于根据题意，得， ， ． 此方程无实数根， 的面积不能等于． 19．(1)6，4 (2) (3)的长不能等于5，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据路程、速度与时间的关系求解即可得； （2）先求出当点在上时，，，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）假设，先求出当运动到上时，，，，再在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴当点到点时，（秒）； 当点到终点时，（秒）， ∴此时点运动的路程为， 又∵， ∴此时点运动到点， ∴此时的长等于， 故答案为：6，4． （2）解：点从点运动到达点所需时间为秒， ∴当点在上时，，，， ∴，， ∵，且的面积为9， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为1． （3）解：的长不能等于5，理由如下： 假设， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒， ∴当运动到上时，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，，即， 整理得：， 解得或（均不符合题意，舍去）， 所以的长度不能等于5． 20．(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的对边相等列方程解答即可； （3）分两种情况，利用平行四边形的面积列出的方程可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ， ∴， ∴， ， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ， ∴， ∴， ①当四边形为平行四边形时， ， ∴， ∴， ②当四边形为平行四边形时， ， ∴， ， 综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）解：①当在边上时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 解得 (舍去)， ②当在边上时， ， 解得； 综上所述或时，平行四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $