25.3实际问题与一元二次方程 专题提升练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦一元二次方程实际应用，按面积问题、循环传染分叉问题、增长率下降率问题、利润销售问题分专题设计，各专题从基础题型到综合应用逐步进阶，强化数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |专题一：面积问题|边框设计、甬路平移、靠墙围栏（含自变量范围）、折叠纸盒|结合矩形、折叠等几何情境，通过选择与解答题（单问至三问）培养几何直观与抽象能力| |专题二：循环传染分叉问题|循环比赛、流感传染、树枝分叉|联系生活情境（微信群红包、传染病），通过方程建立培养模型意识与推理能力| |专题三：增长率下降率问题|利润增长、经费投入、利率降息、衰分比|结合经济数据（利润、利率），通过实际问题抽象等量关系，发展数据意识与运算能力| |专题四：利润与商品销售问题|售价调整、销量变化、利润计算|聚焦销售策略（降价促销、库存处理），通过综合应用题培养应用意识与问题解决能力|

第25章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 专题练 专题一 一元二次方程的实际应用 (1)——面积问题 核心考点1 边框设计问题 01.在一幅长60dm，宽40dm的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积为2800 dm²，设纸边的宽为 xdm，则可列出方程为( ) 核心考点2 甬路问题与平移 02.(2026 青山期中)如图，为改善小区环境，争创文明家园.某社区决定在一块长(AD)16m，宽(AB)9m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行另一条与AD 平行，其余部分种草，且草坪部分的总面积为112m².求小路的宽为多少米? 03.(2026江夏一中月考)某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，自行车车棚为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12m，另三面用现有的木板材料围成，总长为26m，且计划建造车棚的面积为80m². (1)如图1，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2m宽的门，那么这个车棚与墙垂直及与墙平行的面各有多长? (2)如图2，为了方便学生取车，施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平行于墙)，使得停放自行车的面积为54m²，那么小路的宽是多少? 核心考点3 靠墙围栏问题——注意自变量的取值范围 04.(2026武珞路 中学期中)一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m²的矩形花园ABCD(墙的长度要大于花园的长BC的长)，求矩形花园的宽AB 的长. 05.(2026黄陂七校 月考)用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为 xm. (1)当a=41时，矩形菜园面积是320m²,求x; (2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m²? (3)若矩形菜园的面积是320m²,x的值只能取一个，试写出a的取值范围. 核心考点4 折叠纸盒问题 06.(2026 江 汉 期 中 联 考 )综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒. 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计) (1)若纸盒的底面积为240cm²，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm²，请计算剪去的正方形的边长. 专题二 一元二次方程的实际应用(2)——循环、传染、分叉问题 核心考点1循环比赛问题 01.参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛? 02.(2026 江汉期中)今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆.某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到(自己不能抢自己发的)红包.此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有 人. 核心考点2传染问题 03.(2026 洪山期中)秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为( ) B. x(1+x)=100 C.1+x+x(1+x)=100 04.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染几个人? (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感. 05.有3人患有流感，经过两轮传染后，有192人患流感，若开始有5人患流感，则经过一轮传染后，共有 个人患有流感. 核心考点3树枝分叉问题 06.(2026硚口期中)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91 ，每个支干长出多少小分支? 07.有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后，共有133 人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人? 专题三 一元二次方程的实际应用(3)——增长率、下降率问题 核心考点1 增长率问题 01.(2026 武珞路中学期中)某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是( ) A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 02.(2026 江夏月考)2016年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从2016 年起三年共投入3640 万元，已知2016 年已投入1000 万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) 核心考点2 下降率问题 03.(2026 武汉外校月考)某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程( ) A. 2.25% (1-2x)=1.98% B. 1.98%(1+2x)=2.25% D. 2.25%(1-x)²=1.98% 04.(2026 江夏期中)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程( ) C. 1-2x=50% D. (1-x)(1+x)=50% 05.(2026 武汉二中月考)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题， “衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900 元和810元.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175 万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 . 06.(2026 七一中学月考)某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销. (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件64.8元，求两次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元? 专题四 一元二次方程的实际应用(4)——利润与商品销售问题 01.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件50元，每月可卖出200件.市场调查反映：每件商品的售价每涨1元，每月少卖5件.设每件商品的售价为x元，每月的销售利润为4500 元.根据题意，下面所列方程中正确的是( ) A. (x-50)(450-5x)=4500 B. (x-30)(450-5x)=4500 C. (20+x)(200-5x)=4500 D. (10-x)(5x-50)=4500 02.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价.若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件.但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品应售多少元? 03.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完.第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，问第二次采购玩具多少件? 04.(2026 江夏期中)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1 元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40 元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为6120 元? 第25章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 专题练 答案版 专题一 一元二次方程的实际应用 (1)————面积问题 核心考点1 边框设计问题 01.在一幅长60dm，宽40dm的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积为2800 dm²,设纸边的宽为x dm，则可列出方程为(C) 核心考点2 甬路问题与平移 02.(2026青山期中)如图，为改善小区环境，争创文明家园.某社区决定在一块长(AD)16m，宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行另一条与AD平行，其余部分种草，且草坪部分的总面积为112m².求小路的宽为多少米? 解：设小路的宽为 xm，依题意有：(16-2x)(9-x)=112, 整理得： 解得 又∵16>9，不合题意，故舍.答：小路的宽为1m. 03.(2026江夏一中月考)某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，自行车车棚为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12m，另三面用现有的木板材料围成，总长为26m，且计划建造车棚的面积为80m². (1)如图1，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2m宽的门，那么这个车棚与墙垂直及与墙平行的面各有多长? (2)如图2，为了方便学生取车，施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平行于墙)，使得停放自行车的面积为54m²，那么小路的宽是多少? 解：(1)设与墙垂直的面长有 xm，则与墙平行的面长有(26-2x+2)m， 根据题意得: x(26-2x+2)=80, 整理得： 解得： 当x=10时, 26-2x+2=8<12, 符合题意; 当x=4时, 26-2x+2=20>12(不符合题意, 舍去). 答：这个车棚与墙垂直的面长有 10m，与墙平行的面长有8m. (2) 设小路的宽是 am, 根据题意得: (8-2a)(10-a)=54, 整理得： 解得： (不符合题意，舍去). 答：小路的宽是 1m. 核心考点3 靠墙围栏问题——注意自变量的取值范围 04.(2026武珞路中学期中)一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m²的矩形花园ABCD(墙的长度要大于花园的长BC的长)，求矩形花园的宽AB的长. 解: 设矩形花园的宽AB的长为 xm, 则BC的长为(32-2x)m, 根据题意得: x(32-2x)=120, 解得: x₁=6, x₂=10. 当x=6时, 32-2x=20, 20>18, 不合题意, 舍去; 当 x=10时, 32-2x=12<18, 符合题意. 答：矩形花园的宽AB 的长为 10m. 05.(2026黄陂七校月考)用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为 xm. (1) 当a=41时, 矩形菜园面积是320m², 求x; (2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m²? (3)若矩形菜园的面积是320m²，x的值只能取一个，试写出a的取值范围. 解：设与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一边长为(54-2x+2)m. (1) 依题意得: x(54-2x+2)=320, 整理得： 解得：人 当x=8时, 54-2x+2=40<41,符合题意； 当x=20时, 54-2x+2=16<41,符合题意. 答: x的值为8或20. (2) 令x(54-2x+2)=400 ①，整理得： ∴方程①无实数根，∴矩形菜园的面积不能达到400m². (3)令:x(54-2x+2)=320, 整理得: 解得： 当x=8时, 54-2x+2=40;当x=20时,54-2x+2=16. ∵x的值只能取一个, ∴16≤a<40. 核心考点4 折叠纸盒问题 06.(2026江汉期中联考)综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒. 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计) (1)若纸盒的底面积为240cm²，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm²，请计算剪去的正方形的边长. 解：(1)设剪去的正方形的边长为 xcm， 由题意得: (30-2x)(16-2x)=240, 解得: x=3或x=20(舍去) , ∴剪去的正方形的边长为3cm. (2)设剪去的正方形的边长为a cm， 由题意得： 解得：a=2或a=-17(不符合题意，舍去)，∴剪去的正方形的边长为2cm. 专题二 一元二次方程的实际应用(2)————循环、传染、分叉问题 核心考点1 循环比赛问题 01.参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛? 解：设共有x队参加比赛，依题意列方程得： 解得x₁=-9, x₂=10. ∵x>0, ∴x=10.答:共有 10个队参加比赛. 02.(2026江汉期中)今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆.某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到(自己不能抢自己发的)红包.此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有 8 人. 核心考点2 传染问题 03.(2026洪山期中)秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为(C) B. x(1+x)=100 C. 1+x+x(1+x)=100 解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有x人被传染， 第二轮传染中有x(1+x)人被传染,根据题意得: 1+x+x(1+x)=100. 04.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染几个人? (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 1331 个人患流感. 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人，则 解得 ∵x>0, ∴x=10, ∴每轮传染中平均一个人传染10个人. 05.有3人患有流感，经过两轮传染后，有192人患流感，若开始有5人患流感，则经过一轮传染后，共有 40 个人患有流感. 解：设每轮传染中平均一个人传染x人，则 解得 (舍), 最开始5人患流感，经过一轮传染共有5×(1+7)=40人. 核心考点3 树枝分叉问题 06.(2026硚口期中)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支? 解：设每个支干长出 x个小分支，则 解得： (舍去). 答：每个支干长出9个小分支. 07.有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后，共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人? 解：设每轮转发中平均一个人转发给x人，则 解得 ∵x>0, ∴x=11.答:每轮转发中平均一个人转发11人. 专题三 一元二次方程的实际应用(3)————增长率、下降率问题 核心考点1 增长率问题 01.(2026武珞路中学期中)某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是(B) A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 02.(2026江夏月考)2016年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从2016年起三年共投入3640万元，已知2016年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(D) 核心考点2 下降率问题 03.(2026武汉外校月考)某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程(D) A. 2.25%(1-2x)=1.98% B. 1.98%(1+2x)=2.25% C. 1.98%(1+x)²=2.25% 04.(2026江夏期中)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程(A) C. 1-2x=50% D. (1-x)(1+x)=50% 05.(2026武汉二中月考)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 50% . 解:设“衰分比”是a,则乙分得奖金100(1-a)万元,丙分得奖金100(1-a)²万元,根据题意,得100+100(1-a)+100(1-a)²=175,解得a=0.5=50%或a=2.5(不符合题意,舍去). 06.(2026七一中学月考)某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销. (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件64.8元，求两次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元? 解：(1)设每次降价的百分率为x， 解得 (舍去). 答：该商品连续两次下降的百分率为 10%. (2)设每件商品应降价m元，得 解得m=5或 m=3. ∵为尽快减少库存，∴m=5.答：每件商品应降价5元. 专题四 一元二次方程的实际应用(4)——利润与商品销售问题 01.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件50元，每月可卖出200件.市场调查反映：每件商品的售价每涨1元，每月少卖5件.设每件商品的售价为x元，每月的销售利润为4500元.根据题意，下面所列方程中正确的是(B) A. (x-50)(450-5x)=4500 B. (x-30)(450-5x)=4500 C. (20+x)(200-5x)=4500 D. (10-x)(5x-50)=4500 解:依题意有: (x-30)[200-5·(x-50)]=4500,整理得: (x-30)(450-5x)=4500. 02.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价.若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件.但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品应售多少元? 解：商品利润=(售价-进价)×商品件数. 设每件商品应售x元才能赚400元,依题意得(x-21)(350-10x)=400, 整理得 解得 ∵21×(1+20%)=25.2,而 符合物价局的规定， 应舍去. 当x=25时, 350-10x=100 (件). 答：该店需卖出100件商品，每件商品售价应为25元，才能获利400元. 03.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完.第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，问第二次采购玩具多少件? 解：寻找相等关系：第二次玩具的批发价比第一次多 0.5元. 第二次采购玩具x件，则第一次为(x-10)件，由题意得 化简得x²-110x+3000=0, (x-50)(x-60)=0, 经检验 是方程的解. 答：第二次采购玩具50件或60件. 04.(2026江夏期中)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为6120元? 解:设降价x元,则每星期可卖出(300+20x)件, 依题意得: (60-x-40)(300+20x)=6120,整理得: 解得: x₁=2, x₂=3. 答：降价2元或3元，可使每星期获得的总利润为6120元. 学科网（北京）股份有限公司 $