精品解析：重庆市巴蜀中学校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

高2028届高二上期入学考试 数学试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 1. 某校为了解全校高中生课后课外阅读时长情况，已知高一、高二、高三学生人数差异较大，各年级阅读习惯差别明显.现计划抽取容量为50的样本开展调查，为保证样本对三个年级都具备代表性，应采用的抽样方法是（ ） A. 分层抽样 B. 随机数表法 C. 抽签法 D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【详解】因为各年级阅读习惯差别明显，所以应采用的抽样方法是分层抽样. 2. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段在直观图中长度变为原来的一半．利用等腰梯形的性质求出直观图中的 ，再还原原长． 【详解】过 作 ，垂足为 ． 因为 是等腰梯形，且 ，，所以 ． 又 ，故 为等腰直角三角形，从而 ． 原梯形中的 与 轴平行，在斜二测画法中 ，所以 ． 3. 在中，若，，，则=（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以 在中，由正弦定理得，又因为，， 所以，解得，又，所以. 4. 为实数，则实数为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法变形后根据复数的概念求解． 【详解】因为为实数， 所以，解得 5. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积. 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为. 正四棱台的侧面积为，一个侧面积. ，解得. 在正四棱台中，，即，. . . . 6. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的极差为10 B. 的方差为8 C. 的第80百分位数为 D. 的平均数为7 【答案】D 【解析】 【分析】利用数据线性变换的性质，即可由原数据的数字特征计算出新数据的数字特征，逐一验证选项即可. 【详解】对于A，已知原数据的极差， 新数据的最大值，最小值， 则新数据的极差，故A错误， 对于B，新数据的方差，故B错误， 对于C，，故的第80百分位数为，故C错误， 对于D，新数据的平均数，故D正确. 7. 在中，，最长边与最短边之比为，则最小角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和求出角的关系，再结合正弦定理和三角函数求解最小角. 【详解】 在中，​，因此， 由此可知既不是最大角也不是最小角，最大角大于​，最小角小于， 最长边对应最大角，最短边对应最小角，设最小角为，则最大角为， 由正弦定理得： ，利用两角差的正弦公式可得： ，所以原式化简得：  ，得，因为是三角形内角且， 故，因此最小角为. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用线面平行的判定与性质定理确定点的轨迹，再由球心满足的几何条件求外接球半径的最小值. 【详解】 连接，. 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 过作，交于点. 因为且， 所以四边形为平行四边形，为的中点.同理平面. 而平面，故平面平面. 所以的轨迹为线段. 设为的中点. 因为， ，所以为的外心，， 外接球球心在过且垂直于平面的直线上，设，则. 设（）. 作 平面于，则在线段上，，， 在中，，， 由余弦定理得. 由（均为外接球半径），且到平面的距离为，到平面的距离为， 得， 化简得，又，所以. 所以，当时取等号，此时在线段内，满足条件. 所以外接球表面积的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 若是实系数方程的一个根，则另一个根为 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为复数，，所以不为纯虚数，故A错误； 因为， 则，，故BC正确； 因为，即，可得， 所以是实系数方程的一个根，则另一个根为，故D正确. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 的面积为4 D. 外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理计算判断A；根据大边对大角结合余弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；根据正弦定理计算判断D. 【详解】对于A，由余弦定理知， 因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以最大， 由余弦定理知， 所以，故为钝角三角形，B正确； 对于C，的面积，C错误； 对于D，因为， 所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D正确. 11. 如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形 C. 为棱上动点，则最小值为 D. 三棱锥与四棱锥体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用三角形中位线定理证明线线平行，进而根据判定定理得出线面平行，B选项，通过线线平行关系确定截面，并利用侧面正三角形的高计算腰长以证明其为等腰梯形，C选项，将相邻的两个侧面沿公共边展开至同一平面内，利用余弦定理求出两点间的直线距离即为最小值，D项，利用同高不同底，通过底面积的比例关系将目标三棱锥与整体四棱锥的体积进行两次转换即可求解. 【详解】对于A，由题意得是与的交点，且为的中点， 且为的中点，所以在中，是中位线，所以， 因为平面，且平面，所以平面，故A正确， 对于B，因为分别为的中点，所以且， 在正方形中，，所以， 所以四点共面，即截面为， 由于且，所以四边形为梯形， 在边长为2的正和正中，， 所以截面为等腰梯形，故B正确， 对于C，将与沿展开到同一平面， 展开后，当三点共线时，取得最小值，此时最小值为的长度， 因为，所以展开后的平面内，， 在中，由余弦定理得， 即，因此， 即的最小值为，故C错误， 对于D， 因为分别为的中点，所以与的相似比为， 所以面积比， 三棱锥与共顶点，底面在同一平面上，所以高相等， 所以体积比，即， 三棱锥与四棱锥共顶点，底面在同一平面上，所以高相等， 且底面积，因此， 综上，，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】. 所以. 13. 如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则________． 【答案】 【解析】 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图 设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得. 故答案为：. 14. 在平面凸四边形中，，，，则该四边形面积的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理，表示长度，可得角与角的关系，再借助三角形的面积公式，利用角与角表示凸四边形ABCD面积为，借助三角恒等变换，可求的最大值. 【详解】如图： 连接，在和中， ， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以， 所以 ， 所以当时，有最大值， 即有最大值，所以S的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1）200人； （2）37.5. 【解析】 【分析】频率分布直方图中，小矩形的面积表示相应组的频率．先利用总面积为 求出 ，再根据相应组的频率求人数，并用各组区间中点值作加权平均估计平均数． 【小问1详解】 各组组距均为 ． 由各组频率之和为 ，得解得 ． 年龄在 内的频率为 ，所以所求人数为 （人）． 【小问2详解】 五组的频率依次为 ． 各组区间的中点值依次为 ． 因此这 名中国 AI 大模型用户年龄的平均数估计为 故估计平均数为 ． 16. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求； （2）在中，利用余弦定理求，再根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 又，，． 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 代入得， （负数舍）， 故的面积为． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）证明：平面平面. 【答案】（1） （2）因为所以 由直三棱柱的性质，得 因为直线 在平面 内，所以 又 与 相交于点 ，且直线 、 都在平面 内，所以 因为直线 在平面 内，所以 下面证明 ． 因为 ，且 ，所以在直角三角形 中， 同理， 又所以在三角形 中， 因此 由于 与 相交于点 ，且直线 、 都在平面 内，所以 又直线 在平面 内，因此 【解析】 【分析】（1）利用 ，把异面直线所成角转化为 ，再在直角三角形 中求余弦值． （2）先证明 平面 ，得到 ；再证明 ，从而得到 平面 ，最后推出两平面垂直． 【小问1详解】 因为直三棱柱的对应棱互相平行，所以 因此，直线 与 所成的角等于 ． 因为 为棱 的中点，且 ，所以 又因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，所以 因此 在直角三角形 中， 在直角三角形 中， 又 因为所以 故在直角三角形 中， 因此，直线 与 所成角的余弦值为 ． 【小问2详解】 略 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）证明：是锐角三角形； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长. 【答案】（1）证明：， 化简整理，可得 ， 根据正弦定理 ，可得 即， 根据余弦定理可知 ，，故为锐角， 又，， 所以为锐角，， 所以， ，， 所以为锐角,故是锐角三角形. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简为，再利用余弦定理求得，最后由于，利用余弦的和角公式求得，从而证明是锐角三角形； （2）利用第（1）问中已知，，的三角函数值，结合正弦定理即可求解; （3）由,所以利用“1”的妙用，使用基本不等式得到当取得最小值时，即，求得的长，最后使用余弦定理计算的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 根据正弦定理 ， 所以的周长为 . 【小问3详解】 由于，故 , 当且仅当即时取得最小值， 即,所以， 在中， ， 所以. 19. 如图1，在三棱锥中，平面ABC，，，S为DC的中点，点P在线段BS上且． （1）求证：平面ABP； （2）如图2，空间O点满足，，且为锐角． （i）求证：； （ii）当θ变化时，求二面角的取值范围． 【答案】（1）证明：连接AS， 由平面ABC，则，． 由且，可得为等腰直角三角形． 又S为DC的中点，故． 而，且，又平面，平面， 所以平面DAC，又平面，故， 又，平面，平面， 所以平面，即平面. （2）（i）证明：由（1）可知，而，， 于是，故． 同理可得，即． 而，又，，所以平面DAC， 于是，即O在平面ABS内且， 在中，由于， 且， 则，而，则， 因此． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行证明平面DAC，得到，即平面ABP得证； （2）（i）由勾股定理得和，故平面DAC，因，即，根据与三角形面积公式化简得，则，即可证得． （ii）方法一：根据线面垂直判定定理得平面OHS，故二面角C－AD－O的平面角γ为，则，则．记二面角P－AD－O、二面角P－AD－C的平面角分别为α，β，由条件可知．过P作于点I，过I作于点K，连接PK．由线面垂直的性质定理可得和，故为二面角P－AD－C的平面角，即且．由正弦定理，分别表示，、、,由，可得，则通过计算得到二面角P－AD－O的取值范围即可； 方法二：通过线面垂直的性质定理可知，故为二面角P－AD－O的平面角．根据平行与等量关系、线面垂直的性质定理得到四边形NHSO为正方形，故，即可得到取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）方法一：过S作交AD于点H，连接HO， 易知，， 因为，又平面OHS，平面OHS， 所以平面OHS，平面OHS，则， 故二面角的平面角为， 则，则． 记二面角、二面角P－AD－C的平面角分别为， 由条件可知． 过P作于点I，过I作于点K，连接PK． 由（1）可知平面，而平面，故， 因为，平面DAC，平面DAC，所以平面DAC， 平面DAC，则． 因为，平面PIK，平面PIK，所以平面PIK， 又平面PIK，则，因此为二面角P－AD－C的平面角， 即且． 在中，，． 由（1）可得平面，而平面中，故， 而， 故，故 由正弦定理，可知， 则， 于是， ． 在中，由可得， 则． 注意到 因为，所以， 则，则， 则二面角P－AD－O的取值范围为． 方法二：过S作交AD于点H，连接HO，易知，， 过H作交PD于点M， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故为二面角P－AD－O的平面角． 记BD的中点为N，连接NH，随着θ变化，P带动着M的变化， 连接NO，显然H为DA的中点且． 由于N为BD的中点，所以且． 因为且，所以，， 则四边形NHSO为平行四边形． 又平面DAC，则平面DAC， 故，又，则四边形NHSO为正方形， 所以，易知M在正方形NHSO边上， 因此， 则二面角P－AD－O的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高二上期入学考试 数学试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 1. 某校为了解全校高中生课后课外阅读时长情况，已知高一、高二、高三学生人数差异较大，各年级阅读习惯差别明显.现计划抽取容量为50的样本开展调查，为保证样本对三个年级都具备代表性，应采用的抽样方法是（ ） A. 分层抽样 B. 随机数表法 C. 抽签法 D. 以上都不是 2. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为（ ） A. B. C. D. 2 3. 在中，若，，，则=（ ） A. B. C. D. 或 4. 为实数，则实数为（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的极差为10 B. 的方差为8 C. 的第80百分位数为 D. 的平均数为7 7. 在中，，最长边与最短边之比为，则最小角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 若是实系数方程的一个根，则另一个根为 10. 在中，角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 的面积为4 D. 外接圆的面积为 11. 如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形 C. 为棱上动点，则最小值为 D. 三棱锥与四棱锥体积之比为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则________. 13. 如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则________． 14. 在平面凸四边形中，，，，则该四边形面积的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 16. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）证明：平面平面. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）证明：是锐角三角形； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长. 19. 如图1，在三棱锥中，平面ABC，，，S为DC的中点，点P在线段BS上且． （1）求证：平面ABP； （2）如图2，空间O点满足，，且为锐角． （i）求证：； （ii）当θ变化时，求二面角的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $