第1章三角形达标练习-2026-2027学年苏科版 数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一概念到动态几何综合应用的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、中线、等腰三角形边长|第1题直接应用三边关系判定，第11题分类讨论等腰三角形边长，强化概念理解| |中档|角平分线性质、全等判定、直角三角形中线|第2题结合角平分线性质与面积计算，第5题添加全等条件，培养推理能力| |提升|最短路径、动点问题、动态几何综合|第6题利用轴对称解决周长最小值，第21题通过动点探究线段关系，发展几何直观与创新意识|

第1章三角形达标练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（     ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 3．课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 5．如图，点是线段的中点，于点，于点，连接．若利用“”证明，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，内有一定点，且．在上有一动点，上有一动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的角平分线，分别是的高，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 10．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 12．如图，在中，，，为线段的中点，则______． 13．如图，在中，，点是斜边的中点，，则的度数为______________．    14．如图，点是的平分线上的一点，，垂足为点，且，则点到的距离为_____________． 15．如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 16．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点． （1）如图1，当点D为中点时，________； （2）如图，当点在上运动时：用等式表示线段之间的数量关系 ________． 三、解答题 17．如图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图中，作的中线． (2)在图中，在边上找一点，连接，使． 18．如图，在中， ，点P为边上的一点，延长至点D，使得，当时，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若．求的长度． 19．已知，在等边中，点为直线上一点，作点关于直线的对称点，连接，直线与交于点． (1)如图，若点在线段上． 的度数为 ；求证：； (2)如图，若点在点的右侧，，，则 ．（用含，的式子表示） 20．如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 21．中，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于点D，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于点D，若，直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章三角形达标练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A C B C D C B 1．C 【分析】本题考查三角形三边关系，利用“三角形任意两边之和大于第三边”，通过比较每组中较小两边的和与最长边的大小即可判断能否组成三角形，即可求解． 【详解】解：A、 、、不能组成三角形，故A不符合题意. B、 、、不能组成三角形，故B不符合题意. C、 、、能组成三角形，故C符合题意. D、 、、不能组成三角形，故D不符合题意. 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是在边与边的高线． 作边与边的高线，由角平分线的性质可得高线相等，再根据，可求解边的垂线的长度，由此可得边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交于点E，交于点F，如图， ∵为的平分线，且，， ∴， ∵， 即，解得， ∴， ∴， 则． 故选：B ． 3．A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∴垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的． A、等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合，能解释房梁是水平的； B、垂线段最短，不能解释房梁是水平的； C、直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，不能解释房梁是水平的； D、等边对等角，垂线段最短，不能解释房梁是水平的． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，添加条件即可． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴当时，； 故选C 6．B 【分析】本题考查了最短距离问题，关键是根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．过点作、的对称点，连接分别交、于，连接，则，然后证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：过点作、的对称点，连接分别交、于，连接， ∴， ∴， ∴此时的周长最短， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即：周长的最小值是：． 故选：B ． 7．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理. 根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，根据三角形的面积公式即可得出. 【详解】解：A.∵是的角平分线，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； B.∵分别是的高， ∴， 由选项A得，， 又∵， ∴， ∴， 该选项正确，不符合题意； C.根据给出条件，不能得出，该选项错误，符合题意； D. 由选项A得，，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．先证明，再结合全等三角形的性质和等腰三角形的性质进行分析，即可解题． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， ， ； 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质．作于，于，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；，的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误． 【详解】解：如图作于，于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴定值，故D正确， ∵为定值，故A正确， ∵，的位置变化， ∴的长度是变化的，故C错误． ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故B正确， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11．和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 12． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半进行求解是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得到，代入求解即可． 【详解】解：∵，，为线段的中点， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查在直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据题意得到，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到结论． 【详解】解：，， 点到的距离为， 点是的平分线上的一点， 根据角平分线的性质，可得点到的距离为， 故答案为：． 15．10 【分析】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【详解】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 16． 【分析】（）由等边三角形的性质可得垂直平分，，，，即得，，得到，进而得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （）在上截取，连接，可证，得，，，进而可得是等边三角形，得到，，即可得，得，再根据直角三角形的性质得，最后由即可求证． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，点是的中点， ∴垂直平分，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 17．(1) 线段即为所求； (2)如下图所示，点为所求． 【分析】本题主要考查了三角形的中线、矩形的性质、利用矩形的性质作图、等角对等边． (1)借助网格找出边的中点，连接线段即为的中线； (2)作的矩形的对角线，与交于点，根据矩形的性质可得，根据等角对等边可知． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格找出边的中点， 连接线段． （2）解：是的矩形的对角线， 作的矩形的对角线，与交于点， ， ． 18．(1) 证明：在中， ， ∴是直角三角形， ， ∵ ∴是直角三角形， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， 直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，平行线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据得，根据得，由此得，再根据得，据此即可得出结论； （2）过点P作于点F，根据，可推导出，得到，由此得，证明得，再根据，可推导出，得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：过点P作于点F，如图所示： ∴， 由（1）可知：， 在中， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∵于点F， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．(1)； 证明：如图，在上截取，连接，． ， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ． ， 点关于直线的对称点为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①证明，，求解，可得．再进一步结合三角形的内角和定理可得答案； ②如图，在上截取，连接，，证明是等边三角形，证明，可得，再进一步求解即可； （2）如图，作交于点G，连接，证明；是等边三角形，，同理可得：．证明，，过作于，作于，作于，设，可得①，，，②，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：点关于直线的对称点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 即； 略 （2）解：如图，作交于点，连接， 点关于直线的对称点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ； 是等边三角形， ，， ，即， ，， ． ， 点关于直线的对称点为， ，， ，， 过作于，作于，作于， ，，， ，， 设， ，，， 即， ， 即， 得：， ， ， 解得，（负值，故舍去）， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，二次根式的运算，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 20．(1) 证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； (2)4 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 21．(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ (2) 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴E点为的中点； (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据同角的余角相等得到，根据证明，故可得结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证出，则可得出结论； （3）过点F作交的延长线于H，由（1)（2)得到，，根据全等三角形的性质计算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，过点F作，交的延长线于H， ∵，， ∴ 由（1）(2)可知，，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $