第1章 课时17 小结与思考(2)-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

课时17小结与思考(2) 马基础练习 1.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于2BC长为半径画弧，两弧相交于点M, N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则 △ABD的周长为 () A.25 B.22 C.19 D.18 B A D E 米N -b B2- 44 第1题 第2题 第3题 第4题 2.(2024秋·红花岗区期末)如图，为做好健康宣传一共享健康生活，某地方政府计划在A, B,C三个小区中间修建一个健康活动中心.为了同时照顾三个小区的民众，决定将健康活动 中心修建在到A,B,C三个小区距离都相等的地方，则该健康活动中心应建在 () A.AB,AC两边高线的交点处 B.AB,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角的平分线的交点处 3.(2024秋·利辛县期末)两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与 △ABC的边AB,AC重合，它们的顶点重合于点M,则点M一定在 () A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的中垂线上 D.AB边的中线上 4.(2025·雁塔区模拟)如图，直线a仍，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1=38°，则∠2 的度数为 () A.142° B.128° C.989 D.92° 5.(2024秋·承德县期末)如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放 置在托板上，图2是其侧面结构示意图.托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动， 支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点.现量得AB=10cm,当CD⊥AB,且射线DB恰好 是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是 () A.5 cm B.6 cm C.8cm D.10 cm B 图1 图2 D 第5题 第6题 6.(2025·连州市模拟)如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°， OC=OD,ABCD,则∠BOD的大小为 () A.150° B.140° C.130° D.120° ·48· 7.(2024·绥化)如图，ABCD,∠C=33°，OC=OE.则∠A= B/ D/ E 第7题 第8题 8.(2024秋·石城县期末)如图，△ABC中，AB=AC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且 DE=DF,则下列结论中正确的有 ①AD平分∠BAC;②AD⊥BC;③BD=CD;④∠EDA=∠BDE. 9.(2025春·射阳县阶段考)如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线11交BC于点D,AC 边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为 8cm,△OBC的周长为18cm. (1)求线段BC的长； (2)连接OA,求证：OB=OC; (3)求线段OA的长. 10.(2024秋·荣昌区期中)如图，A,B两点分别在射线OM,ON上，点C在∠MON的内部且 CA=CB,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE. (1)求证：OC平分∠MON; (2)如果AO=12,BO=4,求OD的长. A D 号能力训练 11.(2025·兰州模拟)如图，在△ABC中，已知∠A=30°，∠ABC=70°，D为AC边上一点，且 AD=BD.则∠DBC= A.70° B.60° C.50° D.40° ·49· 12.(2025·望城区模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分 线.若∠CAD=20°，则∠ABE的度数为 () A.20° B.359 C.40° D.70 B D 第12题 第13题 第14题 13.(2025·灞桥区模拟)如图，M,N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中 取一点P(P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 14.(2024秋·枣阳市期末)如图，四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD.我们把这种两组邻边 分别相等的四边形叫作“筝形”.AC,BD相交于点O,请结合图形写出一个正确的数学结论 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D. (1)若∠C=42°，求∠BAD的度数； (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE. 16.(2024秋·江阴市期中)如图，在锐角三角形ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高， M,N分别是线段BC,DE的中点， (1)求证：MN⊥DE. (2)连接DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想. (3)当∠BAC变为钝角时，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不 需证明；若不成立，请说明理由. D 图1 图2 ·50· 17.(2024秋·岱岳区期末)在△ABC中，AB=AC. (1)AD是BC上的高，AD=AE: ①如图1，如果∠BAD=20°，则∠EDC= ②如图2，如果∠BAD=50°，则∠EDC= (2)思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： (3)如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE,是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并 说明理由. D 图1 图2 图3 壁拓展提升 18.(2024秋·吉林期末)【定义】如果一个三角形的两个内角a与3满足2a一B=90°，那么我们 称这样的三角形为“非余三角形” (1)如图，若△ABC是等边三角形，BD是AC边的中线，请你判断△ABD是否为“非余三 角形”，并说明理由； (2)若△ABC是“非余三角形”，∠A=54°，则△ABC中最小角的度数为 ·51·课时17小结与思考(2) 1.C2.C3.A4.C5.A6.D7.668.① ②③9.(1)解：11是AB边的垂直平分线， .DA=DB.l2是AC边的垂直平分线，.EA= EC.,△ADE的周长为8cm,∴.BC=BD十DE十 EC=DA+DE+EA=8(cm),∴.BC=8cm;(2)证 明：如图，连接OA,,l1是AB边的垂直平分线， ∴.OA=OB.l2是AC边的垂直平分线，.OA= OC,∴.OB=OC；(3)解：.△OBC的周长为 18 cm,.'.OB+OC+BC =18 cm..'BC=8 cm, ∴.OB=OC=5(cm).,OA=OB,∴.OA=5cm. 10.(1)证明：：CD⊥OM,CE⊥ON,.∠CDA= 90°，∠CEB=90°，在Rt△CDA和Rt△CEB中， (CA=CB, .Rt△CDA≌Rt△CEB(HL),∴.CD= AD-BE, CE,.点C在∠MON的平分线上，.OC平分 ∠MON;(2)解：设OD=x,OA=12,∴.AD= OA-OD=12-x,∴.AD=BE=12-x,在Rt△OCD (CD=CE, 和Rt△OCE中，{ ∴.Rt△OCD≌Rt△OCE OC=OC, (HL),..OD=OE=x,..BO=OE-BE=x-(12- x)=2x-12.B0=4,∴.2x-12=4,解得：x=8, .OD=8.11.D12.B13.C14.AC⊥BD(答 案不唯一）.15.(1)AB=AC,AD⊥BC于点D, ∴.∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.又∠C=42°， .∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°；(2)AB= AC,AD⊥BC于点D,∴.∠BAD=∠CAD.:EF∥ AC,∴.∠F=∠CAD,.∠BAD=∠F,.AE=FE 16.(1)证明：如图1，连接DM,ME,,CD,BE分 别是AB,AC边上的高，M是BC的中点，.DM= 号BC,ME=合BC,DM=ME,又：N为DE中 点，.MN⊥DE;(2)在△ABC中，∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A,.'DM=ME=BM=MC, ∴.∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180° 2∠ACB)=360°-2（∠ABC+∠ACB)=360° 2(180°-∠A)=2∠A,.∠DME=180°-2∠A; (3)结论(1)成立，结论(2)不成立，理由如下：如图2， ·12· 连接DM,ME,在△ABC中，∠ABC+∠ACB= 180°-∠BAC.:DM=ME=BM=MC, ∴.∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180° ∠BAC)=360°-2∠BAC,∴.∠DME=180°-(360° 2∠BAC)=2∠BAC-180°.17.(1)①在△ABC 中，AB=AC,AD是BC上的高，∴.∠BAD=∠CAD, ∠BAD=20°，.∠BAD=∠CAD=20°.AD= AE,.∠ADE=∠AED=80°.，AD是BC上的高， .∠EDC=90°-∠ADE=10°.故答案为：10； ②，在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， .∠BAD=∠CAD.∠BAD=50°，∴.∠BAD= ∠CAD=50°.·AD=AE,∴.∠ADE=∠AED= 65°，∴.∠EDC=25°.故答案为：25；(2)∠EDC= 号∠BAD,放答案为：∠EDC=∠BAD;(3)仍成 立，理由如下：AD=AE,∴.∠ADE=∠AED, ∴.∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC= ∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC= 2∠EDC+∠C,又.AB=AC,∴.∠B=∠C, :∠BAD=2∠EDC,即∠EDC=是∠BAD. 18.(1)△ABD是“非余三角形”，理由如下： ,△ABC是等边三角形，BD是AC边的中线， .BD⊥AC,BD平分∠ABC,∴.△ABD中，∠A= 60°，∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴.2∠A-∠ABD= 90°，∴.△ABD是“非余三角形”；(2)△ABC是“非 余三角形”，∠A=54°，①可令∠B=a,∠C=B, 2a-B=90°， a+B+54°=180°， 解得a=72,9=54,此时 △ABC中最小角的度数为54°，②可令∠A=a=54°， ∠B=B,.2a-B=90°，∴.2X54°-B=90°，.B= 18°，.∠C=180°-54°-18°=108°，∴.此时△ABC中 最小角的度数为18°，综上所述，若△ABC是“非余三 角形”，∠A=54°，则△ABC中最小角的度数为18°.故 答案为：18° 0 第9题 M C B 图1 图2 第16题 第1章测试卷 1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.D8.D 9.710.4011.AH=CB或EH=EB或AE= CE或AD=BE或AD=BE12.∠B=∠D(答案不 唯-)13.2614.315.AB=AC或∠ADC= ∠AEB或∠ABE=∠ACD16.815 17.,DA=EB,.DE=AB,在△DEF和△ABC (EF=BC, 中，DF=AC,∴.△DEF≌△ABC(SSS). DE=AB, 18.(1)证明：在△ABC和△ADE 中， BC=DE, ∠B=∠D,.△ABC≌△ADE(SAS).(2)解：由 AB-AD, (1)得△ABC≌△ADE.∴.AC=AE,∠BAC= ∠DAE=60°，∴.∠AEC=∠ACE,.'∠AEC+ ∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°， .∠ACE=60°.19.：CD⊥AB,BE⊥AC, .∠AEB=∠ADC=90°.在△ABE和△ACD中， ∠AEB=∠ADC, ∠BAE=∠CAD,∴.△ABE≌△ACD(AAS). AB=AC, 20..∠ACB+∠ACF=∠ACF+∠AED=180°， .∠ACB=∠AED.在△ABC和△ADE中， BC=DE, ∠ACB=∠AED,∴.△ABC≌△ADE(SAS), AC=AE, .AB=AD.21.(1)证明：点D为BC的中点， ∴.BD=CD,BE∥AC,∴.∠EBD=∠C,∠E= ∠EBD=∠C ∠CAD,在△BDE和△CDA中，∠E=∠CAD, BD=CD, .△BDE≌△CDA(AAS);(2)证明：点D为 BC的中点，AD⊥BC,∴.直线AD为线段BC的垂直 平分线，∴.BA=CA,由(1)可知：△BDE≌△CDA, .BE=CA,∴.BA=BE.22.(1)如图所示 (2)AB=AC,AE=AB,.'AE=AC..AF ∠EAC的平分线，∴.∠EAF=∠CAF.在△AEF和 (AE=AC, △ACF中，∠EAF=∠CAF,∴.△AEF≌△ACF AF=AF, (SAS),.∠E=∠ACF.23.(1)BD⊥DE, CE⊥DE,∴.∠ADB=∠AEC=90°.在Rt△ABD和 AD=CE, Rt△CAE中， ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE. AB=CA, ∴.∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.I∠DAB+ ∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，.∠BAD+ ∠CAE=90°.∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)= 90°.∴.AB⊥AC.(2)AB⊥AC.理由如下：同(1) 样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,'.∠DAB=∠ECA, ∠DBA=∠EAC.:∠CAE+∠ECA=90°， ∴.∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴.AB⊥ AC.24.(1):点D是AB的中点，AC=BC, ∠ACB=90°，∴.CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°， ∠A=∠CBD=45°，∴.∠CAE=∠BCG.又BF⊥CE, ∴.∠CBG+∠BCF=90°.又∠ACE+∠BCF=90°， .∠ACE=∠CBG,.△AEC≌△CGB,.AE= CG.(2)BE=CM,理由：CH⊥HM,CD⊥ED, ∴.∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°， ∴.∠M=∠BEC.又AC=BC,∠ACM=∠B=45°， ∴.△BCE≌△CAM,.BE=CM.25.(1).DE 是AB的垂直平分线，∴.AD=BD,.△ABD是等腰 三角形.又，∠C=90°，.△ACD是直角三角形， ∴.AD是△ABC的一条等直分割线段；(2)如图， AD,AE是△ABC的两条等值分割线段26.问题背 景：EF=BE十FD.探索延伸：EF=BE十FD仍然成 立.如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, :∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， .∠B=∠ADG.又：AB=AD,BE=DG, .△ABE≌△ADG,'.AE=AG,∠BAE=∠DAG. ·13·