精品解析：山东省日照市北京路中学2025-2026学年上学期九年级开学考试数学试题

山东省日照市北京路中学2025-2026年九年级开学考试 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义依次判定即可．本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意； B. 是二元二次方程，不符合题意； C. 是一元二次方程，符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：C． 2. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2019 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义将m代入可得，再将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：由于m是一元二次方程的一个根， ， 即， ． 故选：B． 3. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 4. 已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、二次函数的顶点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，得到、的值，即可得到二次函数的顶点坐标，进而判断． 【详解】解：， ， ∴，， ∵， ∴，, ∴函数解析式可化为：， 顶点为，在第二象限．   故选：B ． 5. 已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（ ）． A. 12或 B. 24或 C. 24或 D. 12或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由c是一元二次方程的一个根，可得或，再分2种情况讨论：①；②，再利用等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式即可求解． 【详解】解： ， 解得：，， ∵c是一元二次方程的一个根， ∴或， ①当时，则， 如图，作于点， 则， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴是直角三角形， ∴； 综上，的面积是24或； 故选：C． 6. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 7. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线定义结合一元二次方程判别式求解． 先根据抛物线定义确定，再由抛物线与轴有交点，即对应的一元二次方程有实数根，利用判别式求解的取值范围，最后取两者交集． 【详解】解：因为是抛物线，根据抛物线定义，二次项系数不能为0， 所以． 抛物线与轴有交点 所以，也就是． 解得． 结合前面和，所以的取值范围是且． 故选：B． 8. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（ ）．（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键．本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两日不练，技艺减半”这一条件建立一元二次方程，求解方程，并结合实际意义确定的值． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为 故选：B 9. 如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴， 解方程得， ∴线段的长是方程的一个根． 故选：C． 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数和二次函数图像的交点问题，一元二次方程的判别式等知识，结合图象求出的最值是解决该题的关键． 根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点，可得出的最大值是15；当直线与抛物线只有一个交点时，，最小值是2，即可求解． 【详解】解：当直线经过时，， 解得； 当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴ ∴或（舍去）， 的最大值是15，最小值是2，， ∴的最大值与最小值的和为17． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当________时，函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求字母的值，二次函数中未知数的最高次数是2，二次项的系数不能为0，由此列式求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 又， ， ， 故答案为：． 12. 嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键． 【详解】解：设常数项“”为，则， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴常数项“”可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函数解析式是解题的关键．根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 14. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 15. 函数的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质． 将等式右边根据多项式乘法法则计算得，令，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进而求解． 【详解】解： 令， 则 ∵， ∴当时，y有最小值， 故答案为． 三、解答题（共6小题） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）无解 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特点选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可； （3）运用公式法解一元二次方程即可； （4）运用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： 解得：，； 【小问3详解】 解： ， 解得：，； 【小问4详解】 解： ， ∴方程无解． 17. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 18. 2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 【答案】（1） （2）当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，根据每增加1元，每天的销售数量将减少10件，每天的销售数量将减少10件列出代数式即可； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则每件的销售利润为元，每天可销售，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，可列出关于y的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元， 则当天销售量为件， 故答案为：； 【小问2详解】 设该吉祥物公仔的销售单价为y元（）， 则当天的销售量为件， 依题意，得：， 整理，得， 解得：． 答：当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元． 19. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】（1）②④ （2）①，②， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 20. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，配方法，二次函数图象的平移等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）直接配方即可化为的形式，从而可写出对称轴与顶点坐标； （2）抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后的解析式为，根据抛物线过原点即可求得m的值； （3）求出当与时的函数值，根据顶点坐标即可确定y的取值范围． 【小问1详解】 解： ； 对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后的解析式， 由于抛物线过原点，则， 即， ∴， 解得：或或或， ∵， ∴或； 【小问3详解】 解：当时，；当时，， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，即当，函数取得最大值8， ∴当时，． 21. 已知二次函数． （1）若时，的最大值为，求的取值范围． （2）若时，的最大值为1，且最小值为0，求的值． （3）若函数的图象与轴的交点为，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，二次函数与坐标轴的交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据二次函数解析式可知函数的图象是开口向上的抛物线，求出和时对应函数值，即可求解； （2）根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的增减性分四种情况求解即可； （3）根据题意可得关于、的不等式组，从而用含的式子表示出的取值范围，根据不等式的解集确定方法分两种情况求解，分别求出的取值范围，进而得出的取值范围． 【小问1详解】 解：， 函数的图象是开口向上的抛物线， 当时，；当时，， ， ； 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 若时，的最大值为1，且最小值为0， ①当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得：； ②当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得：； ③当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得：（舍）或（舍）； ④当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得（舍） 综上可知，的值为或； 【小问3详解】 解：函数的图象与轴的交点为，且， ，即， 当，即时， 此时，解得：，即； ， ； 当，即时， 此时，解得：，即； ， ； 综上可知，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市北京路中学2025-2026年九年级开学考试 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2019 D. 3. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（ ）． A. 12或 B. 24或 C. 24或 D. 12或 6. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 7. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（ ）．（参考数据：） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当________时，函数是二次函数． 12. 嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是______． 13. 抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是_______． 14. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 15. 函数的最小值为____________． 三、解答题（共6小题） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值． 18. 2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 19. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 20. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； （3）当时，求y的取值范围． 21. 已知二次函数． （1）若时，的最大值为，求的取值范围． （2）若时，的最大值为1，且最小值为0，求的值． （3）若函数的图象与轴的交点为，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $