25.3 实际问题与一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦代数数字与图形面积的一元二次方程应用，通过回顾列方程解应用题步骤，衔接一元一次方程等旧知，搭建学习支架，梳理“情境—等量关系—方程模型”的建模思路。 以连续整数直角三角形、矩形面积等实例驱动教学，强化模型意识与几何直观，采用“问题导入—例题示范—分层练习”逻辑，提升学生抽象能力与推理意识，助力教师突破等量关系构建难点，落实核心素养培养。

课题 25.3实际问题与一元二次方程（第1课时 代数数字、图形面积问题） 班级 课时 上课时间 教 学 目 标 1.掌握连续整数等数字问题的数量表示方法、构建方程模型并正确求解． 2.会构建方程模型解决几何问题并正确求解，能根据实际条件舍去不合理的根． 3.经历“数字、图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力． 重点：构建方程模型正确求解数字、几何实际问题，能根据实际条件舍去不合理的根．. 难点：找数字、几何实际问题中的等量关系，根据等量关系灵活构建方程模型. 教 材 分 析 教材地位与作用：本节课是人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.3实际问题与一元二次方程第1课时，是以代数数字关系、几何图形面积为核心背景的一元二次方程应用课，承接一元二次方程的解法，是方程建模思想在代数数字、几何图形领域的具体应用，也为后续学习二次函数与实际问题奠定基础． 教材内容结构：首先类比用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题的思路，迁移到用一元二次方程解决实际问题；然后设置两道道例题、一道是以连续整数与直角三角形为背景，一道是以长方形面积的求解为背景，构建一元二次方程模型，规范用方程解决实际问题的步骤，最后配套相应练习题巩固新知，完整形成“问题导入——例题示范——习题巩固”的教学逻辑. 学 情 分 析 学生已掌握一元二次方程各类解法，熟悉矩形、正方形面积公式，连续整数、两位数数位的基础知识点，同时也掌握方程解应用题的基本思路和步骤，为本节课学习提供充足基础.学生对单一计算熟练，但用代数式表示实际量的能力薄弱；几何面积问题中，难以快速拆解图形、梳理周长、面积增减关系；很有可能存在重计算、轻验根的问题，容易出现解出小数边长、非整数数字等不合理的根. 教学过程（内容及步骤） 二次备课 一、回顾旧知： 问题：我们列方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程）解决实际问题的一般步骤是什么？（学生口答、教师板演） 1.审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2.设(设未知数，会用未知数表示相关的量)； 3.列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4.解(解方程，注意分式方程需检验)； 5.验(检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6.答. 二、例题精讲 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 思考1：直角三角形的三条边存在什么关系？ 思考2：三条边都未知，如何设未知数表示？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为，+1，+2 ，其中 为正整数. 由勾股定理，得 +=. 解方程，得, （不符合题意，舍去） . 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3 ， 4 ， 5. 例2 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 思路呈现：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 解：设矩形的一边长为xm，邻边长(20－x)m； x(20－x)＝96方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 解得 x1＝12，x2＝8 故：用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 思考：还可以怎么设未知数，哪种设未知数的不同方法简便？ 归纳总结：一元二次方程解决实际问题的一般步骤 三、巩固练习 1.如图，某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形。为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意可列方程为（ C ） A.35×20-35x-20x+2x² = 600 B. 35×20-35x-2×20x = 600 C.(35-2x)(20-x) = 600 D. (35-x)(20-2x) = 600 A B x 第2题 第1题 2.如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为 640的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏 AB 的长为 m，则根据题意可列方: ． 3．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2 296，则这个两位数是多少？ 解：设这个数十位上数字为x，则个位数字为10－x． 原数为10x＋(10－x)＝9x＋10. 对调后得到的数为10(10－x)＋x＝100－9x． 依题意(9x＋10)(100－9x)＝2 296． 解得x1＝8，x2＝2． 当x＝8时，这个两位数是82；当x＝2时，这个两位数是28． 答：这个两位数是82或28． 拓展提升 4.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：依题意设围成矩形的一边为 m，另一边为 m. 令 解得： 故能围成面积为75m2的矩形，矩形的一边长为5m，另一边为15m。 令101 化简方程： ∵ ∴该方程无解。 1. 如图，矩形ABCD的两条邻边AD＝1，CD＝4，AB上是否存在点E，使得 ∠DEC为直角？ 解：存在.在矩形ABCD中 ∴∠DAE=∠CBE=90°，CD=AB=4，AD=BC=1 设AE=，BE= ∴， ∴=1+，== 令+=得： 1+=16 解得：， ∴存在两个E点，AE=或AE=. 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 归纳总结：一元二次方程解决实际问题的一般步骤 五、作业 必做题:教材24页第1、2、5、6、7题. 选做题：教材24页第8、9题 板书 左侧 中间 右侧 （1）复习区 一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题的步骤： （2）课题：实际问题与一元二次方程 一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （1） 例题区 例1（数字与几何问题） 例2（几何问题） 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $