25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）——几何图形面积 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决几何图形面积问题，通过矩形空地四周修路的情境导入，引导学生设未知数表示中间种植区域边长，衔接一元二次方程解法，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 以数形结合和图形分析法为核心，通过矩形修路、铁丝围矩形等实例，培养学生几何直观与模型意识，强调解的合理性检验提升推理能力。助力学生用数学语言表达实际问题，为教师提供清晰教学流程与易错点指导，提升课堂效率。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）——几何图形面积 课 型 新授课 教学 目标 1.会用一元二次方程解决与面积、周长、边长等有关的几何图形问题。 2.能根据图形（见课件图：矩形四角切正方形）中的等量关系列方程。 3.培养借助图形分析问题、检验解的合理性的能力。 重点 用一元二次方程解决几何图形的面积问题。 难点 根据图形中的面积关系建立方程，并检验解是否符合实际（边长不能为负、不能超过图形尺寸）。 教学 方法 数形结合法、图形分析法、实际应用法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：一块长30m、宽20m的矩形空地，四周修等宽的道路，中间种植面积为300m²（见课件图），求道路宽。 2.互动提问：如何用含未知数的式子表示中间种植区域的边长？ 任务驱学 任务1：设道路宽x m，则种植区长(30-2x)m、宽(20-2x)m。 任务2：列方程(30-2x)(20-2x)=300。 任务3：解方程并检验x的取值范围（0<x<10）。 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 面积模型：矩形面积=长×宽；路宽x时，中间区域长宽各减少2x。 探究2 解法：展开得4x²-100x+600=300，即x²-25x+75=0，解得x==。 探究3 检验：x必须满足0<2x<宽，即0<x<10；取符合范围的根。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 一块长30m、宽20m的矩形空地，四周修等宽道路，中间种植面积300m²，求道路宽。 （设道路宽xm，(30-2x)(20-2x)=300，得x²-25x+75=0，x=≈3.5（另一根约21.5>10舍去），道路宽约3.5m） 例2 用一根长20cm的铁丝围成一个面积为24cm²的矩形，求矩形的长和宽。 （设长为xcm，则宽为(10-x)cm，x(10-x)=24，x²-10x+24=0，x=6或x=4，长为6cm、宽为4cm） 方法归纳：几何问题——先用图形找等量关系，再列方程，最后检验是否符合图形尺寸。 变式训练 变式1 矩形的长比宽多3cm，面积为40cm²，求矩形的长。 （设宽为x，x(x+3)=40，x²+3x-40=0，x=5，长为8cm） 变式2 直角三角形两直角边和为14cm，斜边为10cm，求两直角边。 （设一直角边为x，x²+(14-x)²=100，得x²-14x+48=0，x=6或x=8，两直角边为6cm、8cm） 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演画图列方程；小组互评“如何用x表示各边”；教师强调检验解的实际意义。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：矩形长a、宽b，四周各留x宽的路，中间面积为____。 2.一根铁丝围成矩形，长比宽多2cm，面积为35cm²，求长和宽。 3.选择：上题中方程x²+2x-35=0的根为5和-7，应取（　）A.5 B.-7 C.都取 【参考答案】1.(a-2x)(b-2x)；2.设宽为x，x(x+2)=35，x=5，长为7cm；3.A 反馈订正：第3题负根不符合实际舍去；第1题注意两边各留x。 拓展提升 巩固1 矩形花坛长40m、宽30m，四周铺等宽草坪，草坪面积占一半，求草坪宽。 （设宽x，(40-2x)(30-2x)=600，x²-35x+150=0，x=5或x=30（舍），宽5m） 巩固2 一个直角三角形的两条直角边相差7cm，面积30cm²，求斜边长。 （设短边为x，x=30，x²+7x-60=0，x=5，两直角边5、12，斜边13cm） 反馈订正 互批；对“道路两边都减x”易漏的学生，用图形标注订正。 二次备课 课 堂 小 结 1.面积=长×宽。 2.用x表示图形各边。 3.检验解的合理性。 课后 作业 1.必做：课本25.3练习第2题；习题25.3第3、4题。 2.选做：设计一个面积为200m²的长方形花园，使长宽比为2:1。 板 书 设 计 25.3 几何图形面积 一、画图设元 二、列方程 三、检验 课 后 反 思 教学反思 1.画图帮助分析，数形结合效果好。 2.“两边各减x”是易错点。 3.检验实际意义必须强调。 4.勾股定理综合题提升思维。 学科网（北京）股份有限公司 $