2026 年中考数学重难点专项训练（广州版）

**基本信息** 聚焦中考数学重难点，以题载法构建系统性解题体系，融合几何直观与逻辑推理，强化知识内在联系与方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |几何综合|8题|尺规作图与性质判定、动态问题数形结合、相似与全等转化|从平行四边形到正方形性质递进，结合平移/旋转变换构建空间观念| |函数应用|5题|二次函数最值、反比例函数建模、动点轨迹分析|函数图象与性质→实际问题抽象→数学建模解决| |统计与概率|1题|样本估计总体、数据特征分析|数据收集→整理描述→推断决策的统计思维链|

2026年中考数学之重难点题 一．选择题（共10小题） 1．（2025•古冶区三模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 2．（2025•西和县模拟）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2 3．（2025•铁东区校级模拟）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 4．（2025•靖远县二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　） A．3 B． C． D． 5．（2025•平邑县三模）如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表： x（cm） …… 10 15 20 25 30 …… y（N） …… 45 30 22.5 18 15 …… 下列说法不正确的是（　　） A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图 B．y与x的函数关系式为 C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 6．（2026•梁园区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P为AD的中点，将△PBC沿BC的方向平移，当点B与点C重合时，得到△QCE，连接AE，AE分别交CD，CQ于点M，N．已知AB＝2，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 7．（2026•芜湖二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，F是AB边上一点，连接CF，过点B作BE⊥CF于点E，连接AE并延长，交BC于点G，若AF＝2，则BG的长为（　　） A．1 B． C． D． 8．（2026•裕华区一模）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中AB的长是（　　） A． B． C． D． 9．（2026•宁波一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 10．（2026•乌鲁木齐模拟）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 二．填空题（共5小题） 11．（2026•惠山区一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（1，1），B（0，2），C（﹣2，0），若直线l：y＝mx+2m（m≠0）把△ABC分成面积相等的两部分，则m的值为　 　 ． 12．（2026•惠山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），，PD交BA于点D，过点B作BE⊥PD，垂足为E，交CA的延长线于点F，则BC与CF的数量关系为 　 　 ；若PD＝4，tanC＝n（n为常数），则DE＝ 　 　 （用含n的代数式表示）． 13．（2026•建邺区校级模拟）用电阻值分别为R1、R2、R3、R4（R1＞R2＞R3＞R4）的电阻组装成一个如图的组件，要使该组件总电阻值最小，则？处应该安装的电阻的阻值为　 　 ． 14．（2026•鼓楼区一模）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径OA＝60cm，刷子的长度AB＝40cm．当雨刮器摆动时，最大旋转角∠AOD＝81°，则雨刮器的刷子AB扫过的面积（图中阴影部分）为 　 　 cm2（结果保留π）． 15．（2026•南京一模）如图，已知点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，则的值是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•西安模拟）某学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A.10≤x＜15；B.15≤x＜20；C.20≤x＜25；D．x≥25）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：10，12，16，18，19，21，24，26，27，27． 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，21，22，23． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 20 20 中位数 20 b 众数 a 28 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）你认为该校八、九年级中哪个年级学生每月AI工具使用次数较多？请说明理由； （3）若该校八、九年级学生共有2800名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数． 17．（2026•红桥区模拟）在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，与OC相交于点D，E为弦BC所对优弧上一点，连接OA，OB． （1）如图①，求∠AOC和∠BEC的大小； （2）如图②，过点C作⊙O的切线，与EB的延长线相交于点F．若⊙O的半径为4，EC＝EB，求线段BF的长． 18．（2026•玄武区一模）如图1，AB＝AC，AD＝1，BD＝CD＝2，点E在线段CA的延长线上，点F在线段DA延长线上，且EF∥AB． （1）当AB平分∠EBD时，证明：△AEB∽△BEC； （2）如图2，若，点P为AF中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿折线A﹣E﹣F运动至点F停止，作点A关于直线PQ的对称点K，t秒后P、K、B三点共线，求t的值； （3）如图3，过点F作FM⊥FD，FN∥MA且FN＝FM，若，且点E在直线MN上，求FM的长． 19．（2026•沁阳市模拟）小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx+a和直线yx+m．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出a，m的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出a的最大值． 20．（2025•山西模拟）在正方形ABCD中，AB＝2，E是射线CB上的一个动点．连接BD，过点E作EF∥BD，与正方形的一边交于点F，连接AE，AF．设EC的长为x，△AEF的面积为y． （1）如图1，当点E在BC边上时（不与B，C两点重合），EF交边CD于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在CB的延长线上时，点F落在边AB上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求△AEF面积的最大值． 2026年中考数学百题精选之重难点题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C C B D A A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•古冶区三模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 【考点】平行四边形的判定与性质．版权所有 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题． 【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD， ∵l1∥l2， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝CB， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD对角线互相垂直． ∴①错误，②正确． 故选B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 2．（2025•西和县模拟）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；模型思想． 【答案】C 【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案． 【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC于H， 由三角形面积公式得：y30， 解得EH＝AB＝6， ∴AE8（cm）， 由图2可知当x＝14时，点P与点D重合， ∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm）， ∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）． 故选：C． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 3．（2025•铁东区校级模拟）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线x＝1， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵（﹣2，y1），（0，y2），， 而1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1，， ∴点（0，y2）离对称轴最近，点（﹣2，y1）离对称轴最远， ∴y1＞y3＞y2； 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（2025•靖远县二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　） A．3 B． C． D． 【考点】正多边形和圆．版权所有 【专题】推理能力． 【答案】B 【分析】连接OB、OC，作OG⊥BC于G，利用正多边形的性质得∠BOC＝60°，再根据等边三角形的判定及性质得∠BOD＝30°，BC＝BO＝1，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【解答】解：连接OB、OC，作OG⊥BC于G，如图： ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC60°， ∵OB＝OC，OG⊥BC， ∴∠BOG＝30°，BC＝BO， ∵BO＝1， ∴BC＝BO＝1，， ∴， ∴， ∴， ∴π的估计值为， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的特征是解题的关键． 5．（2025•平邑县三模）如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表： x（cm） …… 10 15 20 25 30 …… y（N） …… 45 30 22.5 18 15 …… 下列说法不正确的是（　　） A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图 B．y与x的函数关系式为 C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 【考点】反比例函数的应用．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把y＝12.5N代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况． 【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数． 所以设y（k≠0）， 把x＝10，y＝45代入求得k＝450， ∴y， 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为y（x＞0）， 把y＝12.5代入y，得x＝36， ∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm， 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小． 故选：C． 【点评】此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 6．（2026•梁园区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P为AD的中点，将△PBC沿BC的方向平移，当点B与点C重合时，得到△QCE，连接AE，AE分别交CD，CQ于点M，N．已知AB＝2，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】平移的性质；勾股定理；正方形的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】C 【分析】依据题意，由四边形ABCD是正方形，则AD＝AB＝DC＝BC＝2，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，又由平移的性质，从而先证明△ADM≌△ECM（AAS），然后证明△BAP≌△ADM（SAS），故可得BP⊥AE，又设AE与BP交于点H，可得AE2，从而BH，由BP∥CQ，可得CN⊥ME，，即，进而CN，最后可得MN，即可得解． 【解答】解：由题意，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝DC＝BC＝2，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC． 又由平移的性质， ∴CE＝BC，BP∥CQ，BP＝CQ． ∴AD＝EC． 又∵∠ADM＝∠ECM，∠AMD＝∠EMC， ∴△ADM≌△ECM（AAS）． ∴DM＝CMCD＝1． 又∵点P为AD的中点， ∴APAD． ∴AP＝DM． 又∵BA＝AD，∠BAP＝∠ADM， ∴△BAP≌△ADM（SAS）． ∴∠ABP＝∠DAM． ∵∠DAM+∠BAM＝90°， ∴∠ABP+∠BAM＝90°． ∴BP⊥AE． 设AE与BP交于点H， ∵AB＝2，BE＝4， ∴AE2． ∴BH． ∵BP∥CQ， ∴CN⊥ME，，即． ∴CN． ∴MN． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平移的性质、勾股定理、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 7．（2026•芜湖二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，F是AB边上一点，连接CF，过点B作BE⊥CF于点E，连接AE并延长，交BC于点G，若AF＝2，则BG的长为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】依题意得BC＝AB＝2，BF＝2，在△BCF中，由勾股定理得CF，再由三角形的面积公式得BE，进而得在Rt△BEF中，由勾股定理求出EF，证明△FHE和△FBC相似，利用相似三角形的性质得FH，则AH＝AF+FH，在Rt△FEH中，再由勾股定理得EH，然后证明△AHF和△ABG相似，再利用相似三角形的性质即可求出BG的长． 【解答】解：过点E作EH⊥AB于点H，如图所示： ∴∠AHE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4，∠ABC＝90°， ∴BC＝AB＝4， ∵AF＝2， ∴BF＝AB﹣AF＝2， 在△BCF中，由勾股定理得：CF， ∴BE⊥CF于点E， ∴由三角形的面积公式得：S△BCFCF•BEBC•BF， ∴BE， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：EF， ∵∠AHF＝∠ABC＝90°， ∴EH∥BC， ∴△FHE∽△FBC， ∴， ∴FH•CF＝FB•EF， ∴， ∴FH， ∴AH＝AF+FH， 在Rt△FEH中，由勾股定理得：EH， ∵EH∥BC， ∴△AHF∽△ABG， ∴， ∴BG•AH＝AB•EH， ∴， ∴BG． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 8．（2026•裕华区一模）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中AB的长是（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力． 【答案】D 【分析】依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得CD，在Rt△ACD中由勾股定理得AD，再由图形的拼接可知BD＝CE＝1，由此可得AB的长． 【解答】解：如图所示： ∵正方形ACEF的边长为1，即AC＝CE＝EF＝AF＝1， ∴正方形ACEF的面积为1， ∵将正方形ACEF分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴CD， 在Rt△ACD中，AC＝1，CD， 由勾股定理得：AD， 由图形的拼接可知：BD＝CE＝1， ∴AB＝AD﹣BD1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 9．（2026•宁波一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】A 【分析】连接AG，CG，证明△ABG和△CBG全等得AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，再证明△GBF是等腰直角三角形得GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，进而可证明△GCF和△GEB全等，则CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得AEEG，则，据此即可得出答案． 【解答】解：连接AG，CG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB， ∵FG⊥BD， ∴∠BGF＝90°， 又∵∠CBG＝45°， ∴△GBF是等腰直角三角形， ∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°， 在△GCF和△GEB中， ， ∴△GCF≌△GEB（SAS）， ∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB， ∴AG＝EG， ∴△GAE是等腰三角形， ∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB， ∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°， ∴△GAE是等腰直角三角形， 在Rt△GAE中，由勾股定理得：AEEG， ∴为定值． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 10．（2026•乌鲁木齐模拟）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】A 【分析】依据题意，由每件小商品降价x元，则每天销量为：（200+10x）件，从而平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250，进而得解． 【解答】解：由题意，∵每件小商品降价x元， ∴每天销量为：（200+10x）件， ∴平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026•惠山区一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（1，1），B（0，2），C（﹣2，0），若直线l：y＝mx+2m（m≠0）把△ABC分成面积相等的两部分，则m的值为　　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；坐标与图形性质；一次函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】依据题意，由直线l为y＝mx+2m＝m（x+2），则当x+2＝0时，即x＝﹣2，则y＝0，从而直线l为过（﹣2，0）的直线，即直线l过C（﹣2，0），结合直线l将△ABC的面积分成相等的两部分，故直线l过AB的中点（，），可得m+2m，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵直线l为y＝mx+2m＝m（x+2）， ∴当x+2＝0时，即x＝﹣2，则y＝0， ∴直线l为过（﹣2，0）的直线，即直线l过C（﹣2，0）， 又∵直线l将△ABC的面积分成相等的两部分， ∴直线l过AB的中点． ∵A（1，1），B（0，2）， ∴AB的中点为（，）． 又直线l过（，）， ∴m+2m． ∴m． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形性质、一次函数的性质、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 12．（2026•惠山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），，PD交BA于点D，过点B作BE⊥PD，垂足为E，交CA的延长线于点F，则BC与CF的数量关系为 BC＝CF ；若PD＝4，tanC＝n（n为常数），则DE＝ 　　 （用含n的代数式表示）． 【考点】解直角三角形；列代数式．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】BC＝CF；． 【分析】过点P作PQ∥CF，交BF于点Q，交AB于点K，则∠BPQ＝∠ACB，∠PQE＝∠F，根据∠BPD∠ACB得∠QPD＝∠BPD，由此依据“ASA”判定△PEQ和△PEB全等得∠PQE＝∠PBE，QE＝BE，进而得∠PBE＝∠F，据此可得BC与CF的数量关系； 在Rt△ABC中，tanCn，在Rt△PBK中，tan∠BPQ，由此得n，证明△KBQ和△KPD相似得，再根据PD＝4得BQ＝4n，继而得QE＝BE＝2n，设DE＝a，PE＝4+a，在Rt△BDE中，tan∠KBQ，在Rt△PBE中，tan∠BPD，然后根据∠BPD＝∠KPD＝∠KBQ得，由此解出（舍去负值），据此可得DE的长． 【解答】解：过点P作PQ∥CF，交BF于点Q，交AB于点K，如图所示： ∴∠BPQ＝∠ACB，∠PQE＝∠F， ∵∠BPD∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BPD， ∴∠BPQ＝2∠BPD， ∴∠BPD+∠QPD＝2∠BPD， ∴∠QPD＝∠BPD， ∵BE⊥PD，垂足为E， ∴∠PEQ＝∠PEB＝90°， 在△PEQ和△PEB中， ， ∴△PEQ≌△PEB（ASA）， ∴∠PQE＝∠PBE，QE＝BE， ∴∠PBE＝∠F， ∴BC＝CF； 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴tanCn， ∵PQ∥CF， ∴∠PKD＝∠BAC＝90°，∠BPQ＝∠C， ∴△PKB是直角三角形， 在Rt△PBK中，tan∠BPQ， ∴n， ∵∠BKQ＝180°﹣∠PKD＝90°， ∴∠BKQ＝∠PKD＝90°， 在Rt△BKQ中，∠KBQ+∠PQE＝90°， 在Rt△PEQ中，∠KPD+∠PQE＝90°， ∴∠KBQ＝∠KPD， 在△KBQ和△KPD中， ∠BKQ＝∠PKD＝90°，∠KBQ＝∠KPD， ∴△KBQ∽△KPD， ∴， ∵PD＝4， ∴n， ∴BQ＝4n， ∴QE＝BEBQ＝2n， 设DE＝a，其中a＞0， PE＝PD+DE＝4+a， 在Rt△BDE中，tan∠KBQ， 在Rt△PBE中，tan∠BPD， ∵∠BPD＝∠KPD＝∠KBQ， ∴， 整理得：a2+4a＝4n2， ∴（a+2）2＝4n2+4， ∴a+2， ∴a，a0，不合题意，舍去， ∴DE＝a， 故答案为：BC＝CF；． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质，锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 13．（2026•建邺区校级模拟）用电阻值分别为R1、R2、R3、R4（R1＞R2＞R3＞R4）的电阻组装成一个如图的组件，要使该组件总电阻值最小，则？处应该安装的电阻的阻值为R3 ． 【考点】分式的加减法；分式的混合运算；分式的基本性质．版权所有 【专题】跨学科；创新意识． 【答案】R3． 【分析】根据电阻越并越小，越串越大，可得R1和R2的位置，根据最小电阻优化关键支路可得R4的位置，即可判断出？处应该安装的电阻的阻值． 【解答】解：∵最小电阻优化关键支路，电阻越并越小，要使该组件总电阻值最小， ∴电阻最小的R4应该放在最下面， 设并联电路处的两个电阻为a，b，？处电阻为c， ∵R上c， ∴a和b的电阻越大，最上面的支路的电阻越小， ∴电阻较大的R1和R2应放在并联电阻处， ∴应将电阻 R3 放在？处． 故答案为：R3． 【点评】本题考查数学与物理结合的相关知识．理解电阻越并越小，越串越大；最小电阻优化关键支路这两个原则是解决本题的关键． 14．（2026•鼓楼区一模）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径OA＝60cm，刷子的长度AB＝40cm．当雨刮器摆动时，最大旋转角∠AOD＝81°，则雨刮器的刷子AB扫过的面积（图中阴影部分）为 　720π　 cm2（结果保留π）． 【考点】扇形的面积．版权所有 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】720π 【分析】根据OA、AB求出OB，由S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵OA＝60cm，AB＝40cm， ∴OB＝OA﹣AB＝60﹣40＝20（cm）， ∵∠AOD＝81°， ∴S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC πOA2πOB2 π（OA2﹣OB2） π（602﹣202） ＝720π（cm2）． 故答案为：720π． 【点评】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15．（2026•南京一模）如图，已知点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，则的值是　　 ． 【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．版权所有 【专题】推理填空题． 【答案】 【分析】根据三角形的重心和等腰直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：延长BO交AC于H，连接AO， 则A、O、D在同一条直线上， 设AB＝x，则AC＝x， 由勾股定理得，BCx， ∵点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E， ∴ADBCx， ∴ODADx， ∵OE⊥AC，∠BAC＝90°， ∴OE∥AB， ∴， ∴OEABx， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•西安模拟）某学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A.10≤x＜15；B.15≤x＜20；C.20≤x＜25；D．x≥25）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：10，12，16，18，19，21，24，26，27，27． 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，21，22，23． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 20 20 中位数 20 b 众数 a 28 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　27　 ，b＝　20.5　 ，m＝　40　 ； （2）你认为该校八、九年级中哪个年级学生每月AI工具使用次数较多？请说明理由； （3）若该校八、九年级学生共有2800名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数． 【考点】扇形统计图；中位数；用样本估计总体．版权所有 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念． 【答案】（1）27，20.5，40； （2）九年级学生每月AI工具使用次数更多，理由如下： ∵两个年级学生每月AI工具使用次数的平均数相同，但九年级的中位数大于八年级的中位数，且九年级的众数大于八年级的众数， ∴九年级学生每月AI工具使用次数更多； （3）1540人． 【分析】（1）用九年级C组人数除以总人数可得m%，根据中位数、众数的定义可得b，a； （2）根据两个年级的平均数相同，但是九年级的中位数和众数均大于八年级的中位数和众数可得结论； （3）用2800乘样本中两个年级学生每月利用工具进行赋能学习次数不低于20次的学生人数占比即可得到答案． 【解答】解：（1）∵九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，21，22，23，即九年级数据中C组数据有4个， ∴，即m＝40， ∵九年级A组数据个数为：10×10%＝1，B组数据个数为：10×30%＝3，C组中的数据是：20，21，22，23． ∴第5，6位数据分别是20，21， ∴九年级数据的中位数， ∵八年级数据中27出现的次数最多， ∴八年级数据的众数a＝27， 故答案为：27，20.5，40； （2）九年级学生每月AI工具使用次数更多，理由如下： ∵两个年级学生每月AI工具使用次数的平均数相同，但九年级的中位数大于八年级的中位数，且九年级的众数大于八年级的众数， ∴九年级学生每月AI工具使用次数更多； （3）（人）， 答：该校八，九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数为1540人． 【点评】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等，正确理解题意是解题的关键． 17．（2026•红桥区模拟）在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，与OC相交于点D，E为弦BC所对优弧上一点，连接OA，OB． （1）如图①，求∠AOC和∠BEC的大小； （2）如图②，过点C作⊙O的切线，与EB的延长线相交于点F．若⊙O的半径为4，EC＝EB，求线段BF的长． 【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∠AOC＝60°，∠BEC＝30°； （2）． 【分析】（1）连接AC，则OA＝OB＝OC，根据弦AB垂直平分半径OC得OA＝CA，∠BOC＝∠AOC，由此得△OAC是等边三角形，则∠BOC＝∠AOC＝60°，再根据圆周角定理得∠BEC＝30°， （2）连接BC，过点B作BH⊥CF于点H，由（1）知∠BEC＝30°，∠BOC＝60°，在△EBC中，根据EC＝EB及三角形内角和定理得∠EBC＝∠ECB＝75°，由弦切角定理得∠BCF＝∠BEC＝30°，进而根据三角形外角性质得∠F＝∠EBC﹣∠BCF＝45°，证明△OBC是等边三角形得BC＝OB＝4，在Rt△BHC中，根据∠BCF＝30°得BH＝2，然后证明△BHF是等腰直角三角形得FH＝BH＝2，再由勾股定理即可得出线段BF的长． 【解答】解：（1）连接AC，如图①所示： ∵点O是⊙O的圆心， ∴OA＝OB＝OC， ∵弦AB垂直平分半径OC， ∴OA＝CA，∠BOC＝∠AOC， ∴OA＝CA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°； ∴∠BOC＝∠AOC＝60°， ∵点E为弦BC所对优弧上一点， ∴∠BECBOC＝30°， 即∠AOC＝60°，∠BEC＝30°； （2）连接BC，过点B作BH⊥CF于点H，如图2所示： ∴∠BHC＝∠BHF＝90°， ∴△BHC和△BHF都是直角三角形， 由（1）可知：∠BEC＝30°，∠BOC＝60°， 在△EBC中，EC＝EB， ∴∠EBC＝∠ECB（180°﹣∠BEC）（180°﹣30°）＝75°， ∵CF是⊙O的切线， ∴由弦切角定理得：∠BCF＝∠BEC＝30°， ∵∠EBC是△BCF的外角， ∴∠EBC＝∠BCF+∠F， ∴∠F＝∠EBC﹣∠BCF＝75°﹣30°＝45°， ∵⊙O的半径为4， ∴OB＝OC＝4， 在△OBC中，∠BOC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝4， 在Rt△BHC中，∠BCF＝30°， ∴BHBC＝2， 在Rt△BHF中，∠F＝45°， ∴△BHF是等腰直角三角形， ∴FH＝BH＝2， 由勾股定理得：BF， 即线段BF的长为． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角定理，弦切角定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆心角定理，弦切角定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 18．（2026•玄武区一模）如图1，AB＝AC，AD＝1，BD＝CD＝2，点E在线段CA的延长线上，点F在线段DA延长线上，且EF∥AB． （1）当AB平分∠EBD时，证明：△AEB∽△BEC； （2）如图2，若，点P为AF中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿折线A﹣E﹣F运动至点F停止，作点A关于直线PQ的对称点K，t秒后P、K、B三点共线，求t的值； （3）如图3，过点F作FM⊥FD，FN∥MA且FN＝FM，若，且点E在直线MN上，求FM的长． 【考点】相似形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）32或； （3）3． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，再证∠ACB＝∠ABE，然后由∠AEB＝∠BEC和相似三角形的判定方法即可得出结论；， （2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠EAF，再证△PDB是等腰直角三角形，得∠BPD＝45°，分两种情况，①当点Q在AE上时，②当点Q在EF上时，分别求出t的值即可； （3）过点E作ES⊥FM交FM延长线于点S，ET⊥AM于点T，证Rt△ESF≌△Rt△ETA（HL），得∠EFM＝∠EAM，则M、E、A、F四点共圆，再由圆内接四边形的性质得∠EMS＝∠EAF＝∠EFA，则∠EMS＝∠BAD，然后由平行线的性质得∠SEF＝∠BAD，进而由锐角三角函数定义求出SF＝4，ES＝2，MS＝1，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AB平分∠EBD， ∴∠ABE＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠ABE， 又∵∠AEB＝∠BEC， ∴△AEB∽△BEC； （2）解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠EAF， ∴AB＝AC， ∴AC＝AE， ∴AD是△BCE的中位线， ∴AD∥BE，BE＝2AD＝2×1＝2， ∵EF∥AB， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴AF＝BE＝2， ∵点P为AF中点， ∴AP＝FPAF2＝1， 由轴对称的性质得：PK＝PA，∠APQ＝∠KPQ， ∴点K在以P为圆心，AP为半径的圆弧上， ∵PD＝AP+AD＝1+1＝2， ∴PD＝BD， ∴△PDB是等腰直角三角形， ∴∠BPD＝45°，P、K、B三点共线有两种情况： ①如图2﹣1，当点Q在AE上时， 则∠APQ∠BPD45°＝22.5°， 作PQ的垂直平分线交AP于点H，连接QH，过点Q作QG⊥AP于点G， 则PH＝QH， ∴∠HQP＝∠APQ＝22.5°， ∴∠QHG＝∠HQP+∠APQ＝22.5°+22.5°＝45°， ∴△QGH是等腰直角三角形， ∴QG＝GH，QHGH， ∵tan∠CAD2，tan∠EAF， ∴2， 设AG＝x，则QG＝GH＝2x，PH＝QHGH＝2x， ∵AP＝AG+GH+PH＝1， ∴x+2x+2x＝1， 解得：x＝3﹣2， ∴AQx（3﹣2）＝32， 即t的值为32； ②如图2﹣2，当点Q在EF上时， 则∠BPD＝∠FPK＝45°， 由轴对称的性质得：∠APQ＝∠KPQ， ∴∠BPQ＝∠FPQ（180°+45°）﹣45°＝67.5°， 过点Q作QG⊥AF于点G，过点P作PR⊥AF， 则QG∥PR，∠BPR＝90°﹣∠BPD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠PQG＝∠QPR＝∠BPQ﹣∠BPR＝67.5°﹣45°＝22.5°， 作PQ的垂直平分线交QG于点H，连接PH， 则PH＝QH， ∴∠HQP＝∠HPQ＝22.5°， ∴∠PHG＝∠HQP+∠HPQ＝22.5°+22.5°＝45°， ∴△PGH是等腰直角三角形， ∴PG＝HG，HPPG， ∵EF∥AB， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠F， ∵tan∠CAD2，tanF， ∴2， ∴QG＝2FG， 设PG＝HG＝x，则QH＝PHPGx， ∴QG＝QH+HGx+x， ∴FGQGxx， ∵FP＝FG+PG＝1， ∴xx+x＝1， 解得：x， ∴FG＝FP﹣PG＝1， ∴FQFG， ∵四边形ABEF是平行四边形， ∴EF＝AB， ∴AE+EQ＝AE+EF﹣FQ， 综上所述，t的值为32或； （3）解：如图3，过点E作ES⊥FM交FM延长线于点S，ET⊥AM于点T， ∵FM＝FN， ∴∠EMS＝∠FMN＝∠N， ∵FN∥MA， ∴∠N＝∠EMT， ∴∠EMS＝∠EMT， ∵ES⊥FM，ET⊥AM， ∴ES＝ET， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠EAF， ∴AB＝AC， ∴sin∠BAD，cos∠BAD，tan∠BAD2， ∵EF∥AB， ∴∠EFA＝∠BAD， ∴∠EFA＝∠EAF， ∴AE＝FE＝2， ∴Rt△ESF≌△Rt△ETA（HL）， ∴∠EFM＝∠EAM， ∴M、E、A、F四点共圆， ∴∠EMS＝∠EAF＝∠EFA， ∴∠EMS＝∠BAD， ∵ES⊥FS，AF⊥FS， ∴ES∥AF， ∴∠EFA＝∠SEF， ∴∠SEF＝∠BAD， ∴sin∠SEF＝sin∠BAD，cos∠SEF＝cos∠BAD， 即，， ∴SF＝4，ES＝2， ∵tan∠EMStan∠BAD＝2， ∴MSES＝1， ∴FM＝SF﹣MS＝4﹣1＝3， 即FM的长为3． 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、锐角三角函数定义、勾股定理、圆内接四边形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义是解题的关键，属于中考常考题型． 19．（2026•沁阳市模拟）小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx+a和直线yx+m．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出a，m的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出a的最大值． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）①a＝2.2，m＝7.8；②小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏；（2）2.4． 【分析】（1）①依据题意，把（8，3.8）分别代入抛物线解析式和直线解析式可得a和m的值； ②取y＝2.7，分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，比较后可得所求的数值； （2）易得直线最远经过点（16，0），代入一次函数解析式，求得n的值，进而取x＝8，求得y的值，代入二次函数解析式可得c的最大值． 【解答】解：（1）①由题意，∵抛物线经过点（8，3.8）， ∴3.882+8+a． ∴a＝2.2． ∵yx+m经过点（8，3.8）， ∴3.88+m， ∴m＝7.8． ②当y＝2.7时，2.7x2+x+2.2， ∴x2﹣10x+5＝0， ∴x1＝5+28（不合题意，舍去），x2＝5﹣2， 又∵2.7x+7.8， ∴x＝10.2． ∵10.2＞5﹣2， ∴小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏． （2）由题意得：yx+m经过点（16，0）， ∴016+m， ∴m＝8， ∴yx+8， 当x＝8时，y＝4， ∴yx2+x+a经过点（8，4）， ∴482+8+a， ∴a＝2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用．理解并应用二次函数和一次函数的交点坐标解决相关问题是解决本题的关键． 20．（2025•山西模拟）在正方形ABCD中，AB＝2，E是射线CB上的一个动点．连接BD，过点E作EF∥BD，与正方形的一边交于点F，连接AE，AF．设EC的长为x，△AEF的面积为y． （1）如图1，当点E在BC边上时（不与B，C两点重合），EF交边CD于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在CB的延长线上时，点F落在边AB上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求△AEF面积的最大值． 【考点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；函数自变量的取值范围．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】（1）；（2）2＜x＜4；当x＝3时，△AEF面积最大值为0.5． 【分析】（1）依据题意，根据正方形的性质得出：AB＝CD＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∠ABF＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，再证得∠CEF＝∠CFE，得出CF＝CE＝x，然后求出三角形面积即可； （2）依据题意，先证明BF＝BF＝x＝2，得出AF＝AB﹣BF＝4﹣x，根据点F落在边AB上时，且不与A，B两点重合，求出2＜x＜4，写出，然后根据二次函数性质求出最大值即可． 【解答】解：（1）由题意，∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2， ∴∠ABC＝∠C＝∠ADC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴EF∥∥BD， ∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠CFE＝∠CDB＝45°， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CF＝CE＝x， ∴BE＝DF＝2﹣x， ∴S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF ． ∴． （2）∵EF∥BD， ∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠EFB＝∠ABD＝45°． ∴∠BEF＝∠EFB， ∵BE＝BF， ∴BE＝BF＝x﹣2， ∴AF＝AB﹣BF＝4﹣x， ∵点F落在边AB上时，且不与A，B两点重合， ∴ ∴2＜x＜4． ∵， 且， ∴当x＝3时，y最大，且△AEF面积最大值为0.5． 【点评】本题主要考查了求二次函数解析式，正方形的性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 考点卡片 1．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 2．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 3．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 4．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 5．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 6．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 7．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 8．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 9．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 10．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 11．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 12．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 13．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 15．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 16．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 17．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 18．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 19．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 20．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 21．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 22．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 23．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 24．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 25．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 26．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 27．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 28．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 29．平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 30．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 31．相似形综合题 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 32．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 33．用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 34．扇形统计图 （1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤 ①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　 ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数； ④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 35．中位数 （1）中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 36．扇形的面积 面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为n°，半径为r的扇形面积为n°πr2/360°．如果其顶角采用弧度单位，则可简化为半径乘弧长乘1/2，弧长＝半径×弧度） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $