重难必刷题组特训(3)-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

重难必刷题组特训（三） (时间：45分钟分数：36分) 1.(3分)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB =AC,边BA绕点B顺时针旋转30°得到 线段BP,连接PA,PC,过点P作PD AC于点D,则∠DAP= ,∠DPC 2.(10分)国家推行“节能减排，低碳经济”政 策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经 销商购进A,B两种型号的低排量汽车，其 中A型汽车的进货单价比B型汽车的进 货单价多2万元；花50万元购进A型汽 车的数量与花40万元购进B型汽车的数 量相同. (1)求A,B两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：A型汽车的每周销 售量yA(台)与售价xA(万元/台)满足 函数关系yA=一xA+18;B型汽车的 每周销售量y(台)与售价x(万元/ 台)满足函数关系yB=一xB十14.若A 型汽车的售价比B型汽车的售价高 1万元/台，设每周销售这两种车的总 利润为w万元. ①当A型汽车的利润不低于B型汽车 的利润，求B型汽车的最低售价； ②求当B型号的汽车售价为多少时， 每周销售这两种汽车的总利润最大？ 最大利润是多少万元？ 35 3.(11分)【问题背景】数学兴趣小组活动时， 王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD 的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的 解决方法，作△ACD关于点D中心对称 的图形，其中点A的对应点是点M.请你 帮助小明完成画图和后面的解答， 图2 【尝试运用】如图2，AD是△ABC的中线， AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF= 90°，试判断线段AD与EF的关系，并加 以证明； 【迁移拓展】如图3，AD是△ABC的中线， AE AF AB AC =k,∠BAE=∠CAF=90,直 接用含k的代数式写出△AEF与△ACD 之间的面积关系 36 4.(12分)如图1，已知抛物线y=a.x2十bx一 4的对称轴为直线x=1,交x轴于点A, B,交y轴于点C,点A的坐标为（一2,0）， B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； (2)如图2，过点B的直线与y轴负半轴交 于点F,与抛物线交于另一点E, tan∠ABF=2(n>0). ①若n=3,在直线BE下方的抛物线 上有一点P,过点P作PQ∥x轴交直 线BE于点Q,求PQ的最大值及此时 点P的坐标； ②直线AE与y轴交于点G,设△BGE 的面积为S,请直接写出S与n的函数 解析式及n的取值范围. —37 5.(选做)【观察猜想】(1)我们知道，正方形 的四条边都相等，四个角都为直角.如图 1,在正方形ABCD中，点E,F分别在边 BC,CD上，连接AE,AF,EF,并延长CB 到点G,使BG=DF,连接AG.若∠EAF =45°，则BE,EF,DF之间的数量关系为 【类比探究】(2)如图2，当点E在线段BC 的延长线上，且∠EAF=45时，试探究BE, EF,DF之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】(3)如图3，在Rt△ABC中， AB=AC,D,E在BC上，∠DAE=45°， 若△ABC的面积为12，BD·CE=4,则 △ADE的面积为 D 图1 图2 图3 —38线上，理 时，过点 ∠MD1F OMC= CM= ...MF (a>0), -a). 十2)-2 D1(3, OF=a 理可证 Rt△COM≌Rt△MFD2(AAS),∴.CO=MF=2, D2F=OM=a+2.∴.D2(-a,a十2)..点D2在 抛物线上∴日×(-a)2-6×(-a)-2=a十 2.解得a1=8,a2=一3（舍去），∴.D2(-8,10). D. A X 图3 综上所述，存在点M,使点D恰好落在该抛物线 上，点D的坐标为D1(3,一1)或D2(-8,10). 重难必刷题组特训（三） 1.15°75°2.解：(1)设B型汽车的进货单价 为x万元，A型汽车的进货单价为(x十2)万元. 根据题意，得P2一解得=8，经检会：=8 是原分式方程的解，A型汽车进货单价为8十2 =10(万元).答：A种型号汽车的进货单价为10 万元，B种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设 B型号的汽车售价为1万元/台，则A型汽车的 售价为(t+1)万元/台，①根据题意，得(t十1 10)[-(t+1)+18]≥(t-8)(-t+14),解得t≥ ./的鼓小值为号，即B型汽车的最低偕价 为万元/台.答：B型汽车的最低售价为万 元/台；②根据题意，得w=(t+1一10)[一(t+1) +18]+(t-8)(-t+14)=-2t+48t-265= -2(t-12)2+23..'-2<0,当t=12时，e有最 大值为23.答：A、B两种型号的汽车售价各为13 万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润 最大，最大利润是23万元.3.解：【问题背景】 作图如图4.由中心对称的性质知△MDB≌ △ADC,∴.BM=AC=6.在△ABM中，AB BM<AM<AB+BM,..8-6<AM<8+6,2 <AM<14..1<AD<7; 6 图4 图5 【尝试运用】EF=2AD,EF⊥AD.理由如下：如 图5，延长AD到点M,使得DM=AD,延长DA 交EF与点V,连接BM,CM.由前面知，△BDM ≌△CDA,∴.BM=AC,∠BMA=∠CAM.∴.AC ∥BM..∠BAC+∠ABM=180°.∠BAE= ∠FAC=90°，.∠BAC+∠EAF=180°.. ∠ABM=∠EAF.AC=AF,.BM=AF.. AB=EA,∴.△ABM≌△EAF..AM=EF, ∠BAM=∠AEF..AM=2AD,∴.EF=2AD. .∠BAM+∠EAN=90°，∴.∠AEF+∠EAN =90°.∴.∠ENA=90°..EF⊥AD;【迁移拓展】 如图6，延长AD到点M,使得DM=AD,延长 DA交EF与点N,连接BM, 图6 可知，BM=AC器A-6需 AF BM E=k.又由(2)可知∠ABM=∠EAF, △BAM∽△AEF.SA = AF 12 SABAM B =2., DM=AD,.SAABM=2 SABDM.又△MBD≌ △ACD,SAw=2SaA.·2SA S△EE=k2,即 S△AEE SAA 2k2. 4.解：(1)由题意得 6 1 2a 解得a=2·抛物线的解析 4a-2b-4=0, b=-1. 式为y号产-一4.对称销为直线=1，点 A的坐标为（一2,0），.点B(2×1+2,0),即B (4,0):(2)①当n=3时，tan∠ABF=OE OB 号：℉=号0F=6,设直线BE的解析式 为y=kx十b2(k≠0)，由题意得 4k+b2=0, 解得 1b2=-6, (=号六直线BF的解析式为y=受一6.设 b2=-6, / P(m,m-m-4小.：PQ/x轴g=p= 2m-m-4.0-6=m-m-d0 1 m-4.∴PQ=m-r+号m-=一(m 号)+子m=号时，PQ的最大值为是此 时点P(2一餐)：@：an∠ABF-8E=受 OB=4,∴.OF=2n,即F(0,-2n).设直线BE的 解析式为y=kx十b(k≠0)，由题意得 4k十b:一0·解得 =公 1b3=-2n, ∴.直线BE的解析 b3=-2n. 1 式为y=分1-2m联立 y=2x2-x-4 =分x-2m 得 --4=分x-2m,整理，得x2-(2+nx十4n 8=0,[x-(n-2)](x-4)=0,解得x1=n-2, =4.E(n-2,2m-3m).设直线AE解析 式为y1=a1x+b(a≠0).则由题意，得 -2+么=-3n解得a号3 -2a1+b1=0, b1=n-6. 直线AE解析式为y=(?-3)十n-6.令x= 0,则y1=n-6.∴.G(0,n一6).当点G在点C下 方时，即n一6<一4，则0<n<2,如图3： 图3 图4 图5 此时S=SAGB十S△GE= G (n-) =2（-211十64-n十2整理，得S=号r -12n+18(0<n<2);当点G在y轴上方时，n -6>0,即n>6.如图4：此时S=S△ABE一S△ABG -2AB(0g-w)S=2×6×(2r-3m n+6)=r-12m+18(n>6).当点G在点0 与点C之间，一4<n-6<0,即2<n<6,如图5： 6 此时S=ESAABE SAABG=7AB·(G一E),S =2x6×(a-6-2r+3m）=-号r+12m 18(2<n<6).综上：S= 号n12n+18(0<n<2或n>6), 5.(1)EF -号r+12m-182<<6. =BE+DF解：【类比探究】(2)EF=BE-DF, 理由如下：如图2，在BC上截取BG=DF,连接 AG. B G 图2 ,四边形ABCD为正方形，.AD=AB,∠ABG =∠ADC=90°..∠ADF=90°=∠B..BG= DF,.△ADF≌△ABG(SAS)..AF=AG, ∠DAF=∠BAG.四边形ABCD为正方形， ∠BAD=90°.，∠EAF=45°，.∠DAE+ ∠DAF=45°.∴.∠BAG+∠DAE=45°. ∠GAE=∠EAF=45°.在△AGE和△AFE中， (AG=AF, ∠GAE=∠EAF,∴.△AGE≌△AFE(SAS). AE=AE, .'.GE=EF..GE=BE-BG=BE-DF,.EF =BE-DF.(3)5 2025年中考数学模拟试卷（一） 1.D2.D3.A4.B5.A6.C7.A8.B 9.D10.D11.>12.4 13.a+114.-1 (答案不唯一)15.√616.解：原式=3一3-1 +1=0.17.证明：O是CD的中点，.OD= CO.,四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC,AD=BC.∴.∠D=∠OCE.在△ADO和 f∠D=∠OCE, △ECO中，OD=OC, .△AOD≌ ∠AOD=∠EOC, △EOC(ASA).∴.AD=CE..BC=CE. 18.解：如图，过点A作AC⊥MN,垂足为C,过 点O作OD⊥AC,垂足为D,由题意，得OM= CD=3m,OM∥AC,∴.∠OAD=∠BOM=53°. 在Rt△AOD中，AO=3m,.AD=OA·cos53° =3×0.6=1.8(m).∴.AC=AD+CD=1.8+3 =4.8(m).答：点A位于最高点时到地面的距离 为4.8m. 8