2.1 第2课时 等式性质与不等式性质 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学“等式性质与不等式性质”同步练，以“诊断-应用-证明-拓展”分层设计，通过基础判断、性质比较、综合证明、范围求解构建从概念到能力的巩固路径，培养推理能力与符号意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础诊断|等式与不等式性质概念|判断正误题强化概念辨析，夯实基础| |理解应用|性质比较大小|多选题结合特殊值法，培养推理意识| |综合证明|性质综合证明|证明题训练逻辑推理，深化性质应用| |技能拓展|代数式范围求解|计算题提升性质灵活运用，发展模型意识|

第2课时　等式性质与不等式性质 【学习目标】 　　掌握不等式的性质:(1)能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;(2)能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式. ◆ 知识点一　等式的基本性质 性质1　如果a=b,那么　　　　.  性质2　如果a=b,b=c,那么　　　　.  性质3　如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4　如果a=b,那么ac=bc. 性质5　如果a=b,c≠0,那么=. ◆ 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac　　　bc  c的 符号 a>b,c<0⇒ac　　　bc  5 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向、同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a-c<b-c,则a<b. (　 ) (2)若a+c>b+d,则a>b,c>d. (　 ) (3)若a>b,c>d,则>. (　 ) (4)若ac2>bc2,则a>b. (　 ) ◆ 探究点一　利用不等式性质比较大小 例1 (1)(多选题)[2026·漳州一中高一期中] 已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式不一定成立的是 (　 ) A.> B.< C.a2>b2 D.a|c|≥b|c| (2)(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若b>a>0,c>0,则> D.若a>b>0,则a+>b+ 变式 (1)(多选题)设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是 (　 ) A.若a>b,则ac>bc B.若a|c|>b|c|,则a>b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则a3>b3 (2)(多选题)已知a<b<0,c>d,则下列选项正确的是 (　 ) A.a-c<b-d B.> C.> D.a5+b5<a2b3+a3b2 [素养小结] 解不等式成立问题的常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. ◆ 探究点二　利用不等式的性质证明不等式 例2 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1. (1)证明:ab+bc+ca<0; (2)若a>b,证明:a3>b3. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)已知a>b>c>d,求证:<. (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. [素养小结] 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式,解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. ◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式范围 例3 设2<a<7,1<b<2,求a+3b,2a-b,的取值范围. 变式 (1)已知1<a<6,3<b<4,则2a-b的取值范围为　　　　,的取值范围为　　　　.  (2)若-1<a+b<3,2<a-b<4,则3a-b的取值范围为　　　　.  [素养小结] 求代数式的取值范围需注意两点: (1)严格运用不等式的性质,即两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除; (2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等式性质与不等式性质 【课前预习】 知识点一 b=a　a=c 知识点二 >　< 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√ [解析] (1)不等式a-c<b-c两边同时加上c,可得a<b,所以此说法正确. (2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误. (3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误. (4)若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,所以此说法正确. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)BC　(2)AD　[解析] (1)对于选项A,因为c2≥0,所以c2+1≥1,又a>b,所以>一定成立,故A错误;对于选项B,当a>b>0或b<a<0时,<,此时不等式成立,当a>0>b时,>,此时不等式不成立,符合题意,故B正确;对于选项C,当a>b>0时,a2>b2,此时不等式成立,当a=1,b=-2时,满足a>b,但a2<b2,此时不等式不成立,符合题意,故C正确;对于选项D,因为|c|≥0,且a>b,所以a|c|≥b|c|一定成立,故D错误.故选BC. (2) 对于A,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴>0,∴ac2×>bc2×,∴a>b,故A正确;对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时,满足a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-c<b-d,故B错误;对于C,当a=1,b=2,c=1时,满足b>a>0,c>0,但此时=,=2,<,故C错误;对于D,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a×>b×,∴>,由不等式的同向可加性,可得a+>b+,故D正确.故选AD. 变式　(1)BD　(2)ACD　[解析] (1)对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若a|c|>b|c|,则|c|≠0,即|c|>0,所以a>b,故B正确;对于C,取a=1,b=c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故C错误;对于D,若a>b,则由不等式的性质可知a3>b3,故D正确.故选BD. (2)∵c>d,∴-c<-d,又a<b<0,∴a-c<b-d,故A正确;当c=1,d=-1时,=a,=-b,∵-b>0>a,∴<,故B错误;∵a<b<0,∴-=>0,∴>,故C正确;∵a<b<0,∴a2>b2>0,a3<b3<0,∴a3-b3<0,则a2(a3-b3)<b2(a3-b3),即a5-a2b3<b2a3-b5,即a5+b5<b2a3+a2b3,故D正确.故选ACD. 探究点二 例2　证明:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).∵abc=1,∴a,b,c均不为0,则a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0. (2)由题可知,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),∵a2+ab+b2=+b2>0,a>b,即a-b>0,∴a3-b3>0,即a3>b3. 变式　证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,∴a-d>b-c>0,则<. (2)∵c<d<0,∴-c>-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,∴-===>0,∴>. 探究点三 例3　解:∵2<a<7,1<b<2, ∴4<2a<14,3<3b<6,-2<-b<-1,<<1,∴5<a+3b<13,2<2a-b<13,1<<7. 变式　(1)-2<2a-b<9　<< (2)3<3a-b<11　[解析] (1)由1<a<6,得2<2a<12,由3<b<4,得-4<-b<-3,∴-2<2a-b<9.由3<b<4,得9<3b<12,则0<<<,又0<2<2a<12,∴<<. (2)3a-b=(a+b)+2(a-b),因为-1<a+b<3,2<a-b<4,即4<2(a-b)<8,所以3<(a+b)+2(a-b)<11,故3a-b的取值范围为3<3a-b<11. 学科网（北京）股份有限公司 $