精品解析：广东省广州市禺山高级中学2023届高三上学期第三次月考数学试题

2022学年第一学期高三第三次月考数学学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 记为数列的前项和，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个直二面角，则点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知与，满足恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 在线性回归模型拟合中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 C. 有一组样本数据，.若样本的平均数，则样本的中位数为2 D. 投掷一枚骰子10次，并记录骰子向上的点数，平均数为2，方差为1.4，可以判断一定没有出现点数6 10. 已知函数，则满足不等式的整数解可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得直线与圆相切 B. 若直线与圆交于，两点，则的最大值为4 C. 对于，圆上有4个点到直线的距离为 D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 12. 正四棱柱满足，点在线段上移动（不含端点），点在线段上移动（不含端点），并且满足.则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 直线与直线所成角为定值 C. 三角形是锐角三角形 D. 三棱锥的体积随着点位置的变化而变化 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 的展开式中的系数为________（用数字作答）． 14. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 15. 设，，则________． 16. 已知点是椭圆上的动点，点为直线上的动点，对给定的点，则的最小值为________． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 某公司为了增强员工的凝聚力，计划组织40名员工到某疗养院参加疗养活动，疗养院活动丰富多彩，其中包含羽毛球、卡拉OK、爬山、单车、乒乓球、篮球、桌球、游泳等活动．根据前期的问卷调查，得到下列列联表： 喜欢打羽毛球 不喜欢打羽毛球 合计 男员工 8 2 10 女员工 8 22 30 合计 16 24 40 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断喜欢打羽毛球与性别有关？ （2）若从40名员工中按比例分层抽样选取8人，再从这8人中随机抽取3人参加文艺表演，记抽到男员工的人数为，求的分布列与数学期望． 附：， 19. 已知的内角，，对应的边分别为，，，且，，成等差数列，三边均为正整数，，．点在边上，且． （1）求的面积； （2）若的外接圆半径为，的内切圆半径为，求的值． 20. 在三棱锥中，，，，分别为，的中点，，，分别为，，的中点，平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 21. 双曲线的左、右顶点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该双曲线交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为． （1）求曲线的方程； （2）动点，在曲线上，已知点，直线，分别与轴相交的两点关于原点对称，点在直线上，，证明：存在定点，使得为定值． 22. 已知函数，． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年第一学期高三第三次月考数学学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合补集和交集的定义进行求解即可. 【详解】由已知可得或，因此，， 故选：D 2. 已知复数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法公式，求解，再求. 【详解】因为， 所以，所以． 故选：A． 3. 在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果. 【详解】解析： ． 故选：C． 4. 某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型公式，结合条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为所有基本事件的个数为，三次抽到的号码之和为6，包括3次号码都不一样，分别是1，2，3，基本事件的个数为；号码都一样全是2，基本事件的个数为1，故事件包含的基本事件的个数为，事件包含的基本事件的个数为1，事件包含的基本事件个数为1， 所以，， 由条件概率公式可得， 故选：C． 5. 记为数列的前项和，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由与的关系可得是以1为公差的等差数列，进而可得，再利用裂项相消法求和即可 【详解】由得，即①， 当时，②， ①-②得，， 即， 即， 所以，且， 所以是以1为公差的等差数列， 又， 所以， 则，时也符合， 则， 则． 故选：B． 6. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个直二面角，则点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点在平面内作，证明，利用余弦定理得到，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，二面角的平面角为， 故平面，平面，， 在中，，，，则，， ，则，， ，， ． 故选：D 7. 已知与，满足恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意知，恒成立，构造新函数，即利用导数求出函数的最小值，只要，即可得出实数的取值范围． 【详解】设，由题可知恒成立， 所以可等价于．由于， 当时，，即函数在上单调递增， 而，不符合题意； 当时，恒成立，满足题意； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 函数在上单调递减，函数在上单调递增． 所以当，函数取得最小值，最小值为， 当时，；当时，； 当时，（舍去）； 综上所述，实数的取值范围为， 故选：D． 【点睛】关键点睛：构造新函数，利用导数的性质是解题的关键. 8. 已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦型函数的对称性，结合导数的性质、余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由函数的一条对称轴为， 可得， 所以，，，， ， 由在区间上不单调， 所以在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以， 所以，， 又，所以，所以， 当时，，此时的最小正整数为5． 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数研究原函数的单调性是解题的关键. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 在线性回归模型拟合中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 C. 有一组样本数据，.若样本的平均数，则样本的中位数为2 D. 投掷一枚骰子10次，并记录骰子向上的点数，平均数为2，方差为1.4，可以判断一定没有出现点数6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布期望公式、相关系数的性质，结合平均数、中位数、方差的定义逐一判断即可. 【详解】对于，若，则，故A正确； 对于B，若越大，则样本的线性相关性越强，故B不正确； 对于C，有两种情况：1，2，3和2，2，2，故C正确； 对于D，若出现点数6， 则，此时其方差不可能是1.4，所以D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数，则满足不等式的整数解可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】，且， 故函数为偶函数， ， 当时，，对称轴为， 故在区间上单调递增， 因为是偶函数，所以由，故，解得． 故选：BC． 11. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得直线与圆相切 B. 若直线与圆交于，两点，则的最大值为4 C. 对于，圆上有4个点到直线的距离为 D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据切线的斜率是否存在，判断A；根据弦长的最大值是直径，判断B；首先计算圆心到直线的距离，再利用数形结合判断C；根据圆系方程判断D. 【详解】由，则圆心且半径为， A：因为直线过定点，若直线与圆相切，则直线的斜率不存在，即，故不正确； B：当直线经过圆心时，取最大值即圆的直径，故正确； C：因为圆心到直线的距离，所以，所以圆上有4个点到直线的距离为，故正确； D：当时直线，曲线，即一定过直线与圆的交点，故正确． 故选：BCD． 12. 正四棱柱满足，点在线段上移动（不含端点），点在线段上移动（不含端点），并且满足.则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 直线与直线所成角为定值 C. 三角形是锐角三角形 D. 三棱锥的体积随着点位置的变化而变化 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正四棱柱的性质、异面直线的定义，结合异面直线所成角的定义、三棱锥的体积公式逐一判断即可. 【详解】如图所示，设，为，的中点，即为上下底面的中心， 的中点为，则的中点也是， 又∵，由对称性可得也是的中点， 所以与交于点，故不是异面直线，故错误； 因为是正四棱柱，所以是正方形，因此， 因为平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，∴，故B正确； 设，则，设，， 易得，， ， 因为，∴为锐角； 因为， 当时取得最小值为，∴为锐角； 因为， 当时取得最小值为，∴为锐角， 故为锐角三角形，故C正确； 三棱锥也可以看作和的组合体，由于是固定的，，到平面的距离是不变的，（∵易知，平行与平面，故体积不变， 故D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点睛：根据正四棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥体积的性质是解题的关键. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 的展开式中的系数为________（用数字作答）． 【答案】0 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可 【详解】的展开式通项为， 所以，． 故所求的系数为． 故答案为：0． 14. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，由求解即可 【详解】， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 所以， 故的取值范围是． 故答案为：． 15. 设，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用平方法，结合同角的三角函数关系式、两角和余弦公式进行求解即可. 【详解】由， ， ，得， 所以， 故． 故答案为：1 16. 已知点是椭圆上的动点，点为直线上的动点，对给定的点，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据点关于直线对称性，结合两点间距离最短、配方法进行求解即可 【详解】设点关于直线对称的点为， 所以有， ∴，故， ∴当，，三点共线时，可取得最小值，此时， 设，由得 ∴ ∵，∴当时，，故的最小值为16． 故答案为：16． 【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短，结合配方法是解题的关键. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合与之间的关系进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 ）∵数列是以1为公差的等差数列，且， ∴， ∴， 当时，． 当时，上式也成立．∴； 【小问2详解】 ∴① ∴② ①-②得： ， ， ， ∴. 18. 某公司为了增强员工的凝聚力，计划组织40名员工到某疗养院参加疗养活动，疗养院活动丰富多彩，其中包含羽毛球、卡拉OK、爬山、单车、乒乓球、篮球、桌球、游泳等活动．根据前期的问卷调查，得到下列列联表： 喜欢打羽毛球 不喜欢打羽毛球 合计 男员工 8 2 10 女员工 8 22 30 合计 16 24 40 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断喜欢打羽毛球与性别有关？ （2）若从40名员工中按比例分层抽样选取8人，再从这8人中随机抽取3人参加文艺表演，记抽到男员工的人数为，求的分布列与数学期望． 附：， 【答案】（1）可推断喜欢打羽毛球与性别有关 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）计算出的值，参照表格即可得结果； （2）根据分层抽样的概念得出男、女员工的人数，得的所有可能取值为0，1，2 ，分别计算出对应的概率得出分布列以及期望. 【小问1详解】 ， ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，可推断喜欢打羽毛球与性别有关 【小问2详解】 若从40名员工中按比例分层抽样选取8人， 则选取的8人中共有男员工人数为：（人），女员工人数为（人） ∴的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， ∴的分布列为 0 1 2 数学期望． 19. 已知的内角，，对应的边分别为，，，且，，成等差数列，三边均为正整数，，．点在边上，且． （1）求的面积； （2）若的外接圆半径为，的内切圆半径为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合三角形内角和定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据余弦定理、正弦定理，结合三角形内切圆的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为，，成等差数列， 所以，又，得． 在中，由余弦定理得：， 整理得：， 所以，而为整数，且， 所以． 故，解得或3， 因为，所以， 所以， 即的面积为； 【小问2详解】 因为，所以，， 在中，由余弦定理得： ， 所以． 在中，由正弦定理得： ， 在等腰中，过点作于点，如图． 所以， 故， 而， 所以， 故. 20. 在三棱锥中，，，，分别为，的中点，，，分别为，，的中点，平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 连结． ∵，分别为，的中点， ∴，即四边形是梯形， ∵，为分别为，的中点， ∴，而平面，平面 ∴平面， ∵、为分别为 、的中点， ∴，而平面，平面 ∴平面，又，平面，平面， ∴平面平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵，为的中点， ∴， ∵平面，故，，两两垂直． 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 不妨设，由得，， ∵与平面所成的角为，而平面， ∴，∴， ∴，，， 易知为平面的法向量， ，， 设为平面的法向量， ∴， 令，则为平面的一个法向量， ∴， ∴平角与平面的夹角的余弦值为. 21. 双曲线的左、右顶点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该双曲线交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为． （1）求曲线的方程； （2）动点，在曲线上，已知点，直线，分别与轴相交的两点关于原点对称，点在直线上，，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合直线斜率公式进行求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，结合垂直直线的性质进行求解即可. 【小问1详解】 当轴时，把代入双曲线方程中，得， 设，， ， 所以，得， 所以的方程：； 【小问2详解】 证明：设直线的方程为，，， ，整理得， 则，，， 直线，分别与轴相交的两点为，， ∴直线方程为， 令，则，同理， 可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 当时，， 此时直线方程为恒过定点，显然不可能， ∴，直线方程为，恒过定点 ∵，设中点为，∴ ∴为定值，∴存在使为定值． 【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 22. 已知函数，． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，函数的极大值为，函数的极小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合构造新函数法、函数零点的定义，利用分类讨论思想进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，函数可得， 当，时，； 当，时，； 当时，， 所以函数的单调增区间为和， 函数的单调减区间为， 函数的极大值为，函数的极小值为； 【小问2详解】 函数的定义域为， 则， 令，则， 所以，函数在上为增函数，且． ①当时，即当时，对任意的恒成立， 所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意； ②当时，即当时，则存在使得， 当时，，此时，则函数在上单调递减， 当时，，此时，则函数在上单调递增， 由于函数有两个零点， 当时，；当时，． 可得 ， 可得，解得． 【点睛】关键点睛：构造新函数，利用导数的性质、分类讨论思想进行求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $